精品解析：福建莆田第一中学2025-2026学年下学期第一学段考试试卷高二数学

莆田一中2025−2026学年度下学期第一学段考试试卷 高二数学 选择性必修一､选择性必修二､选择性必修三 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，，则为（ ） A. 10 B. －10 C. 12 D. －12 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量坐标运算求解. 【详解】由题意，. 故选：A 2. 袋中装有大小相同的个黑球，个白球，从袋中每次任意取出个球且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用随机变量的定义可得出结果. 【详解】因为取到白球时停止，所以最少取球次数为，即第一次就取到了白球； 最多次数是次，即把所有的黑球取完之后才取到白球． 由题意可知，随机变量的可能取值有. 3. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排列数定义可判断A选项；利用排列数公式可判断B选项；利用组合数的性质可判断C选项；利用组合数公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，由排列数的定义可得，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，由组合数的性质可得，C错； 对于D选项，，故，D对. 4. 盒中有个玩具，其中有个是坏的，现从盒中随机地抽取个，在至少一个玩具是坏的条件下，另一个是好的的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记事件从盒中随机地抽取个，至少有一个玩具是坏的，记事件从盒中随机地抽取个，恰好为一个是好的，一个是坏的，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】记事件从盒中随机地抽取个，至少有一个玩具是坏的， 记事件从盒中随机地抽取个，恰好为一个是好的，一个是坏的， 则，， 由条件概率公式可得. 5. 已知是各项均为正数的数列的前项和，，则是为等差数列的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，结合两者之间的推出关系判断即可. 【详解】由，得数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以，所以，即为等差数列，充分性成立. 若为等差数列，设其公差为，则， 故， 当时，， 当时，， 当时，满足上式，此时，所以； 当时，不满足上式，此时， 当时，， 当时，， 因为无解，不成立， 因此，必要性不成立. 故是为等差数列的充分不必要条件. 6. 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，超市统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高 气温 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为400（单位：瓶）时，（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，每瓶酸奶正常售出时的利润为2元，六月份这种酸奶一天的进货量为400瓶， 又利润为800元，故每瓶酸奶都能正常售出，说明每天需求量大于等于400瓶， 从而可得最高气温不低于25，由表中数据不低于25的天数为， 又总天数为， 所以. 7. 如图，将、、、四个数字填在个“”中，每个“”中填一个数字，有线段连接的两个不能填相同数字，四个数字都使用，则不同的填数方法数有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定填、、三点填法数，再讨论点、、的填法种数，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】如图，计算不同填数方法有两类办法： 因为四个数字都使用，先填、、，有种填法，再从、、中选一处填第四个数，如，再填， 若与同，则有种填法，若与不同，则有种填法， 于是有种填法. 8. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算以及空间向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值. 【详解】因为，所以，可得， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为点、分别为、的中点，所以，， 所以， 因为、、不共面，所以，所以，故. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设离散型随机变量的分布列如下所示，若离散型随机变量满足，则下列说法正确的是（ ） 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由分布列性质求得，再由求概率判断A、B，均值和方差的求法求判断C，由期望和方差的性质求判断D. 【详解】对于A，由分布列的性质有，可得，故A对； 对于B，由，故B对； 对于C，， ，故C对； 对于D，所以，故D错. 故选：ABC 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 二项式系数最大的项是第项 B. 展开式中常数项为第项 C. 展开式中第项、第项、第项的系数成等差数列 D. 展开式中奇数项的二项式系数和为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二项式系数的单调性可判断A选项；利用二项展开式通项可判断B选项；利用组合数公式可判断C选项；利用展开式中奇数项的二项式系数和可判断D选项. 【详解】对于A选项，的展开式共项，二项式系数最大的项是第项，A对； 对于B选项，展开式通项为， 令可得，不符合题意，故展开式中无常数项，B错； 对于C选项，展开式中第项的系数为、第项的系数为、第项的系数为， 因为， 所以，即展开式中第项、第项、第项的系数成等差数列，C对； 对于D选项，展开式中奇数项的二项式系数和为，D错. 11. 记为数列的前项和，已知，为实数，则（ ） A. 当时，不是等比数列 B. 当时，则 C. 当时，数列的前项和为 D. 当时，数列第项的值最大 【答案】ABCD 【解析】 【分析】求出数列的通项公式，结合等比数列的定义可判断A选项；求出数列的通项公式，结合作差法可判断B选项；利用错位相减法可判断C选项；令，利用作差法判断数列的单调性，进而求得其最大项，可判断D选项. 【详解】因为为数列的前项和，已知，为实数， 对于A选项，当时，，则， 当时，，不满足，故， 故当时，不是等比数列，A对； 对于B选项，当时，，则，解得， 当时，由可得，两式作差得， 所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，则， 所以，所以，B对； 对于C选项，由B选项可得， 设数列的前项和为， 则， ， 两式作差可得： 故，C对； 对于D选项，当时，，则，解得， 当时，由可得，两式作差得， 所以，所以是首项为，公比为的等比数列，故， 令，则， , 令，则， 故当时，，单调递增；当时，，单调递减； 又，则， 又，； 故当时，，； 当时，，； 故数列满足，故其第项的值最大 ，D对. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 请举一个随机变量的例子：__________. 【答案】用于植树造林的棵树苗，已知每棵树苗的成活率为，记这棵树苗中成活的棵数为（答案不唯一）. 【解析】 【分析】根据二项分布的定义可得答案. 【详解】用于植树造林的棵树苗，已知每棵树苗的成活率为，记这棵树苗中成活的棵数为，则. 13. 甲、乙两人同时对飞碟进行射击，两人击中的概率分别为、，飞碟被一人击中而击落的概率为，若两人都击中，飞碟必定被击落，则飞碟被击落的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】记事件飞碟被人击中，事件飞碟被击落，则，，求出、的值，利用全概率公式可求得的值. 【详解】记事件飞碟被甲击中，事件飞碟被乙击中，则，， 记事件飞碟被人击中，事件飞碟被击落，则，， 其中， ， 由全概率公式可得. 14. 甲､乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字，乙的卡片上分别标有数字.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所得卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】固定乙的出牌顺序，从而得到甲的所有出牌顺序个数，及甲的总得分不小于2的出牌顺序个数，得到答案 【详解】不妨设乙的出牌的顺序为， 而甲的卡片上分别标有数字，1有4个位置可以选择，7有3个位置可以选择， 剩余的两个3位置确定，故出牌的顺序有种情况， 其中甲要多得分，需保证出牌时，用3对乙的2，用7对乙的4，故最多得2分， 若甲的总得分为2，则甲的出牌顺序为或或或，有4种选择， 甲的总得分不小于2的概率为. 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知随机变量的分布列如表所示 （1）求证：； （2）若随机变量满足，求证：. 【答案】（1） ， （2） 因为，所以 ， 所以 . 【解析】 【分析】（1）将方差公式展开，利用期望公式和化简即可求证. （2）利用方差的定义计算即可证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，已知甲、乙、丙三人能破译密码的概率分别为、、. （1）若甲、乙、丙都去破译密码，求密码能被成功破译的概率； （2）若只安排一个人去破译密码，甲、乙、丙被选到的概率分别为、、，求密码能被成功破译的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用对立事件和独立事件的概率公式可求得结果； （2）利用全概率公式求解即可. 【小问1详解】 记事件密码被甲成功破译，事件密码被乙成功破译，事件密码被丙成功破译， 则，，， 若甲、乙、丙都去破译密码，则密码能被成功破译的概率为. 【小问2详解】 记事件密码被成功破译，记事件、、分别表示甲、乙、丙被选中， ，，，，， 由全概率公式可得 . 17. 如图①所示，矩形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接、，得到图②的四棱锥，为中点. （1）若为线段中点，求证：、、、四点共面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1） 取中点，连接、，由为中点，得， 依题意，，所以，所以、、、四点共面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，借助三角形中位线性质，结合平行公理，利用共面判定定理进行证明即可； （2）借助面面垂直的性质，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求出大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，由，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面， 过作，则平面， 又、平面，于是，， 在矩形中，，，则， 以点为原点，直线、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、，，， ， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设直线BC与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的大小为. 18. 已知数列是单调递增的等比数列，是的前项和，是数列的前项和，且. （1）若， ①求的通项公式； ②求证：是等比数列； （2）若是等比数列，，且，求证：. 【答案】（1）①； ②因为，且，所以， 又因为是数列的前项和， 所以当时，， 当时，， 综上，，当时，， 所以是首项为公比为的等比数列； （2） 因为是等比数列，，设等比数列公比为，所以，且， 因为，令，所以，所以， 设数列的公比为，又因为数列是单调递增的，所以，所以， 所以，， ，所以， 所以，所以，所以 所以. 【解析】 【分析】（1）①应用方程组计算求解，再应用数列是等比数列，计算求解通项公式；②应用计算得出，最后应用等比数列定义计算证明； （2）应用等比数列求和公式结合及化简计算，最后应用放缩法计算证明； 【小问1详解】 ①因为，令， 所以，且，所以或， 又因为数列是单调递增的等比数列，所以，所以， 所以，设等比数列公比为，，所以； ②略 【小问2详解】 略 19. 某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由个元件组成时设备正常运行的概率）. （1）若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； （2）已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. ①请用表示； ②设备升级后，已知该企业现有控制系统中有个元件（此时该系统处于正常运行），若增加个元件，则单位时间内的期望利润是否提高？ 【答案】（1） 期望为， （2）①②若，增加个元件后利润提高； 若时，增加2个元件后利润没有提高. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解； （2）①先写出升级改造后单位时间内产量的分布列，求出设备升级后单位时间内的利润，即为； ②分以下三种情况讨论：（i）原系统中至少有个元件正常工作；（ii）原系统中恰好有个元件正常工作，新增个元件中至少有个正常工作；（iii）原系统中恰好有个元件正常工作，新增个元件全部正常工作，再对三种情况进行求和，得到，计算，与作比较，再根据判断即可. 【小问1详解】 因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为、、、， 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以， 所以， ， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， . 【小问2详解】 ①升级改造后单位时间内产量的分布列为 产量 0 设备运行概率 所以升级改造后单位时间内产量的期望为， 所以 产品类型 高端产品 一般产品 产量（单位：件） 利润（单位：元） 2 1 设备升级后单位时间内的利润为，即. ②若增加个元件，则第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其概率为； 第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增个元件中至少有个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增个元件全部正常工作， 其概率为. 所以 ， 则， 所以当时，，即增加个元件设备正常工作的概率变大； 当时，，即增加个元件设备正常工作的概率没有变大. 又因为， 所以当时，增加个元件后利润提高；当时，增加个元件后利润没有提高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田一中2025−2026学年度下学期第一学段考试试卷 高二数学 选择性必修一､选择性必修二､选择性必修三 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，，则为（ ） A. 10 B. －10 C. 12 D. －12 2. 袋中装有大小相同的个黑球，个白球，从袋中每次任意取出个球且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 盒中有个玩具，其中有个是坏的，现从盒中随机地抽取个，在至少一个玩具是坏的条件下，另一个是好的的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是各项均为正数的数列的前项和，，则是为等差数列的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，超市统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高 气温 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为400（单位：瓶）时，（ ） A. 1 B. C. D. 7. 如图，将、、、四个数字填在个“”中，每个“”中填一个数字，有线段连接的两个不能填相同数字，四个数字都使用，则不同的填数方法数有（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设离散型随机变量的分布列如下所示，若离散型随机变量满足，则下列说法正确的是（ ） 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 A. B. C. D. 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 二项式系数最大的项是第项 B. 展开式中常数项为第项 C. 展开式中第项、第项、第项的系数成等差数列 D. 展开式中奇数项的二项式系数和为 11. 记为数列的前项和，已知，为实数，则（ ） A. 当时，不是等比数列 B. 当时，则 C. 当时，数列的前项和为 D. 当时，数列第项的值最大 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 请举一个随机变量的例子：__________. 13. 甲、乙两人同时对飞碟进行射击，两人击中的概率分别为、，飞碟被一人击中而击落的概率为，若两人都击中，飞碟必定被击落，则飞碟被击落的概率为__________. 14. 甲､乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字，乙的卡片上分别标有数字.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所得卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知随机变量的分布列如表所示 （1）求证：； （2）若随机变量满足，求证：. 16. 甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，已知甲、乙、丙三人能破译密码的概率分别为、、. （1）若甲、乙、丙都去破译密码，求密码能被成功破译的概率； （2）若只安排一个人去破译密码，甲、乙、丙被选到的概率分别为、、，求密码能被成功破译的概率. 17. 如图①所示，矩形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接、，得到图②的四棱锥，为中点. （1）若为线段中点，求证：、、、四点共面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的大小. 18. 已知数列是单调递增的等比数列，是的前项和，是数列的前项和，且. （1）若， ①求的通项公式； ②求证：是等比数列； （2）若是等比数列，，且，求证：. 19. 某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由个元件组成时设备正常运行的概率）. （1）若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； （2）已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. ①请用表示； ②设备升级后，已知该企业现有控制系统中有个元件（此时该系统处于正常运行），若增加个元件，则单位时间内的期望利润是否提高？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $