章末检测（五）函数概念与性质-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

**基本信息** 本单元卷聚焦“函数概念与性质”章末检测，通过定义域、单调性、奇偶性等核心考点，结合定义证明、实际应用（如化学试剂厂利润问题）及抽象函数性质探究，全面考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配高中数学单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|定义域、值域、奇偶性判断|如第3题结合函数图象辨析奇偶性与单调性，渗透直观想象| |多项选择|3/18|分段函数性质、奇函数应用|如第10题综合奇函数定义与单调性解不等式，考查逻辑推理| |填空题|3/15|定义域求解、参数范围|第14题通过分段函数不等式考查分类讨论思想| |解答题|5/77|单调性证明、实际应用、抽象函数|第15题用定义证明单调性（数学思维），16题利润问题体现数学建模（数学语言表达现实世界）|

章末检测（五）　函数概念与性质 （时间：120分钟　满分：150分） 　　 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数f（x）＝＋的定义域为（　　） A.[－3，－2）∪（－2，＋∞）　B.（－3，－2） C.[－3，＋∞） D.（－2，＋∞） 解析：A　要使函数有意义，需满足解得x≥－3且x≠－2，则函数定义域为[－3，－2）∪（－2，＋∞）.故选A. 2.已知函数f（x）＝x2－的定义域为[1，2]，则其值域为（　　） A.[－1，1] B.[－1，3] C.[0，3] D.[1，3] 解析：B　因为y＝x2，y＝－在[1，2]上均单调递增，所以f（x）＝x2－在[1，2]上单调递增，又f（1）＝12－＝－1，f（2）＝22－＝3，所以值域为[－1，3].故选B. 3.下列函数中是奇函数且在区间（0，＋∞）上单调递减的是（　　） A.f（x）＝－｜x｜ B.f（x）＝ C.f（x）＝x3 D.f（x）＝ 解析：D　选项A为偶函数，选项B为非奇非偶函数，选项C是增函数.故选D. 4.已知定义在区间[0，2]上的函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝－f（2－x）的图象为（　　） 解析：B　由y＝f（x）的图象知f（0）＝0，f（1）＝1.对于y＝－f（2－x），当x＝2时，y＝0，图象过点（2，0），排除D.当x＝1时，y＝－f（1）＝－1，排除A、C，故选B. 5.已知函数f（x）＝若f（－a）＋f（a）≤0，则实数a的取值范围是（　　） A.[－1，1] B.[－2，0] C.[0，2] D.[－2，2] 解析：D　依题意，可得 或 或解得－2≤a≤2.故选D. 6.函数y＝｜x－2｜＋｜2x－2｜的最小值为（　　） A.0　　　　B.1 C.　　　　D.2 解析：B　y＝｜x－2｜＋｜2x－2｜＝由于y＝4－3x在（－∞，1）上单调递减，y＝x在[1，2]上单调递增，y＝3x－4在（2，＋∞）上单调递增，故y＝｜x－2｜＋｜2x－2｜在x＝1处取得最小值，最小值为1.故选B. 7.设函数f（x）＝，则下列函数中为奇函数的是（　　） A.f（x＋1）＋1 B.f（x＋1）－1 C.f（x－1）＋1 D.f（x－1）－1 解析：C　易知f（x）＝＝＝－1＋，显然f（x）＝－1＋是由函数y＝向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到的，而y＝为奇函数，所以只需将f（x）逆向平移，即向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得奇函数，即f（x－1）＋1为奇函数.故选C. 8.定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足＜0，且f（2）＝4，则不等式f（x）－＞0的解集为（　　） A.（4，＋∞） B.（0，4） C.（0，2） D.（2，＋∞） 解析：C　由题意，设g（x）＝xf（x），因为＜0，即＜0，所以函数g（x）在（0，＋∞）上单调递减，不等式f（x）－＞0，即＞0，等价于xf（x）－8＞0，即xf（x）＞8，又由f（2）＝4，则g（2）＝2·f（2）＝8，所以不等式xf（x）＞8的解集为（0，2）.故选C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知函数f（x）＝则下列结论正确的是（　　） A.f（x）的定义域为R B.f（x）的值域为R C.f（x）为奇函数 D.f（x）为增函数 解析：ACD　根据分段函数的定义可知，f（x）的定义域为R，选项A正确；f（x）的值域为（－∞，－1）∪{0}∪（1，＋∞），选项B不正确；画出函数图象（图略）可知，选项C、D正确.故选A、C、D. 10.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x2＋x，则下列说法正确的是（　　） A.f（－2）＝－6 B.f（x）在定义域R上为增函数 C.当x∈（－∞，0）时，f（x）＝－x2－x D.不等式f（x－1）＜6的解集为（－∞，3） 解析：ABD　因为f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x2＋x，所以当x∈（－∞，0）时，f（x）＝－f（－x）＝－[（－x）2＋（－x）]＝－x2＋x，所以选项C不正确；因为f（－2）＝－（－2）2＋（－2）＝－6，所以选项A正确；二次函数f（x）＝x2＋x的对称轴为x＝－，所以当x∈（0，＋∞）时，f（x）单调递增，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，而f（x）是奇函数，它的图象关于原点对称，所以f（x）在定义域R上为增函数，因此选项B正确；因为f（x）是奇函数，f（－2）＝－6，所以f（2）＝6，于是由f（x－1）＜6⇒f（x－1）＜f（2）⇒x－1＜2⇒x＜3，所以选项D正确.故选A、B、D. 11.对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f（x）＝4－x2，g（x）＝x2，下列关于函数F（x）＝min{f（x），g（x）}的说法正确的是（　　） A.函数F（x）是偶函数 B.方程F（x）＝0有三个解 C.函数F（x）有3个单调区间 D.函数F（x）有最大值为4，无最小值 解析：AB　当4－x2≤x2，即x≤－或x≥时，F（x）＝4－x2；当4－x2＞x2，即－＜x＜时，F（x）＝x2.则F（x）＝画出图象如图.对于A，因F（x）＝F（－x），且x∈R，则函数F（x）是偶函数，故A正确；对于B，由图可得F（x）＝0有三个解，故B正确；对于C，由图可得F（x）有4个单调区间，故C错误；对于D，由图可得F（x）有最大值为2，无最小值，故D错误.故选A、B. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.函数f（x）＝的定义域为[－1，1]. 解析：要使f（x）＝有意义，则1－x2≥0，解得－1≤x≤1，故函数f（x）＝的定义域为[－1，1]. 13.已知函数f（x）＝的定义域为R，求实数k的取值范围. 解析：由题可得，kx2－4x＋3≥0对∀x∈R恒成立，当k＝0时，不满足题意；当k≠0时，要使kx2－4x＋3≥0对∀x∈R恒成立，则有，解得k≥，所以实数k的取值范围是. 14.已知实数a≠0，函数f（x）＝若f（1－a）≥f（1＋a），则实数a的取值范围是　[－2，－1]∪（0，＋∞）　. 解析：当a＞0时，1－a＜1，1＋a＞1，∴f（1－a）≥f（1＋a）⇒（1－a）2＋2a≥－（1＋a），整理得a2＋a＋2≥0⇒a∈R，则a＞0；当a＜0时，1－a＞1，1＋a＜1，∴f（1－a）≥f（1＋a）⇒－（1－a）≥（1＋a）2＋2a，整理得a2＋3a＋2≤0⇒（a＋1）·（a＋2）≤0⇒－2≤a≤－1，综上，实数a的取值范围是[－2，－1]∪（0，＋∞）. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知函数f（x）＝x－. （1）判断f（x）在区间（0，＋∞）上的单调性，并用定义进行证明； （2）求f（x）在区间[1，3]上的最大值与最小值. 解：（1）函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增，证明如下：任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝－＝x1－x2＋－＝x1－x2＋＝（x1－x2）·， 因为0＜x1＜x2，所以x1－x2＜0， 且1＋＞0，即（x1－x2）＜0， 所以f（x1）＜f（x2），故f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增. （2）由（1）知f（x）在[1，3]上递增， 所以f（x）min＝f（1）＝1－＝－1， f（x）max＝f（3）＝3－＝. 16.（本小题满分15分）某化学试剂厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是万元. （1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求x的取值范围； （2）要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润. 解：（1）由题意可知，2≥30. 整理得（5x＋1）（x－3）≥0， 解得x≤－或x≥3. 又1≤x≤10， 所以3≤x≤10. 所以x的取值范围是[3，10]. （2）易知获得的利润y＝ ＝120，x∈[1，10]， 令t＝∈， 则y＝120（－3t2＋t＋5）. 当t＝，即x＝6时，ymax＝610， 故该工厂应该选取6千克/小时的生产速度，此时利润最大，且最大利润为610万元. 17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝ （1）在本题给出的坐标系中画出函数f（x）的图象，并求f（f（－1））的值； （2）若f（f（m））＝8，求实数m的值； （3）若f（x）在[－1，a]上的值域为[－1，1]，求实数a的取值范围. 解：（1）画出图象如图所示， f（－1）＝－1＋2＝1，所以f（f（－1））＝f（1）＝1－2＝－1. （2）因为f（f（m））＝8，令t＝f（m），即f（t）＝8. 由（1）中图象可得t＞0，所以f（t）＝t2－2t＝8，即t2－2t－8＝0，即（t－4）（t＋2）＝0， 解得t＝4或t＝－2（舍去），即f（m）＝4，由（1）中图象可得m＞0，所以f（m）＝m2－2m＝4，即m2－2m－4＝0，解得m＝1＋或m＝1－（舍去）. （3）f（1）＝－1，由f（x）在[－1，a]上的值域为[－1，1]，结合（1）中图象，令x2－2x＝1，解得x＝1＋或x＝1－（舍去），故实数a的取值范围是[1，1＋]. 18.（本题满分17分）已知函数y＝f（x），x∈R，对任意的x，y∈R，f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，且当x＞0时，f（x）＜1. （1）求f（0）的值； （2）判断并证明f（x）的单调性； （3）设函数g（x）＝f（x）－1，判断g（x）的奇偶性并说明理由. 解：（1）令x＝y＝0得f（0）＝f（0）＋f（0）－1⇒f（0）＝1. （2）f（x）在R上单调递减.证明如下： 设x1＜x2，因为f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1， 所以f（x2）＝f（x2－x1＋x1）＝f（x2－x1）＋f（x1）－1， 所以f（x1）－f（x2）＝－f（x2－x1）＋1， 因为x2－x1＞0，所以f（x2－x1）＜1， 所以f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故f（x）在R上单调递减. （3）令y＝－x得f（0）＝f（x）＋f（－x）－1，所以f（x）＋f（－x）－2＝0⇒f（x）－1＋f（－x）－1＝0⇒g（x）＋g（－x）＝0，所以g（－x）＝－g（x）， 所以g（x）是奇函数. 19.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝是定义在R上的奇函数. （1）求实数m的值； （2）判断函数f（x）在[－1，1]上的单调性，并用单调性定义给出证明； （3）设g（x）＝kx－k2＋3，若∀x1∈[－1，1]，∀x2∈[0，1]，都有f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数k的取值范围. 解：（1）由函数f（x）＝是定义在R上的奇函数，得f（0）＝－m＝0，解得m＝0， 此时f（x）＝，f（－x）＝＝－＝－f（x），f（x）是奇函数， 所以m＝0. （2）函数f（x）在[－1，1]上单调递增.证明如下： 设∀x1，x2∈[－1，1]，x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝－＝ ＝，由－1≤x1＜x2≤1，得x1x2－1＜0，x2－x1＞0，（＋1）（＋1）＞0， 则f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在[－1，1]上单调递增. （3）由（2）得f（x）max＝f（1）＝1， 由∀x1∈[－1，1]，∀x2∈[0，1]，都有f（x1）≤g（x2）恒成立，得g（x）在[0，1]上的最小值不小于1， 即当0≤x≤1时，g（x）≥1恒成立， 当k＞0时，函数g（x）在[0，1]上单调递增，g（x）min＝g（0）＝－k2＋3， 则－k2＋3≥1，而k＞0，因此0＜k≤； 当k＝0时，g（x）＝3≥1恒成立，因此k＝0； 当k＜0时，函数g（x）在[0，1]上单调递减，g（x）min＝g（1）＝k－k2＋3， 则k－k2＋3≥1，而k＜0，因此－1≤k＜0， 综上，实数k的取值范围是[－1，]. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $