重难点专题04 函数的值域（专项训练）数学苏教版高一必修第一册

重难点专题04 函数的值域问题 重难点一 直接法 核心思路：利用基本函数的性质（单调性、有界性）直接判断值域。 适用场景：一次函数等基础函数。 3. 重难点二 配方法 核心思路：对二次函数（或可化为二次函数的表达式）配方，结合开口方向求最值，进而确定值域。 适用场景：二次函数、含二次项的复合函数。 1.下列函数与的值域相间的是(    ) A. B. C. D. 【答案】AC  【解析】【分析】 配方可求出的值域为，然后求每个选项的函数的值域，找出与已知函数值域相同的即可． 本题考查了函数值域的定义及求法，基本不等式求函数值域的方法，配方求二次函数值域的方法，反比例函数的值域，考查了计算能力，属于中档题． 【解答】 解：， 该函数的值域是， 的值域是；的值域是；，当且仅当时等号成立，该函数的值域为； 对于，设，，则， ，该函数的值域为． 故选：． 2.函数的值域为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的值域，属基础题． 利用二次函数的性质求出对称轴，根据单调性求解． 【解答】 解：因为函数， 对称轴，开口向下， 在上单调递增， 且， ， 所以的值域为． 故答案为． 3.函数的值域是            ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数的性质，着重考查二次函数的最值，考查分析解决问题的能力，属于基础题． 利用二次函数在的最值即可求得答案． 【解答】 解：， 其对称轴在闭区间内， 函数在时，， ， 该函数的值域为． 故答案为． 4.函数，的值域为           【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的值域及二次函数的性质． 根据题意先配方，求出函数的对称轴，利用二次函数的单调性即可求出结果． 【解答】 解：， 函数的对称轴， 此函数在上的最小值为：，最大值为：， 函数的值域是． 故答案为． 5.函数的值域为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的值域，是基础题． 利用二次函数的最值求解即可． 【解答】解：，所以当时，． 故答案为 6.已知，则的值域为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查求二次函数的值域，属于基础题． 根据二次函数的图像即可求解． 【解答】 解：，开口向上，对称轴为， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， ， 所以的值域为． 故答案为： 重难点三 分离常数法 核心思路：将分式函数化为 “常数 + 分子为常数的分式” 形式，利用分母不为 0 求值域。 适用场景：一次分式函数。 1.函数的值域是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题是考查反比例型函数的值域． 用分离常数方法，将式子变形成反比例型函数，根据反比例型函数的值域，来求的取值范围． 【解答】 解：， ，， 函数的值域为． 故选：． 2.函数在区间上的值域为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的值域问题，属于中档题． 将函数变形后判断出函数的单调性后可求值域． 【解答】 解：，该函数在上单调递增． 因为， 故值域为， 故答案为 3.已知函数，则函数的值域为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的值域，熟练掌握分离常数法是解答本题的关键． 利用分离常数法，可得函数的值域． 【解答】 解：函数， ， ， 故函数的值域是， 故答案为． 4.函数，的值域是________． 【答案】  【解析】【分析】本题考查的是求函数的值域，属于基础题． 分离常数单调，根据函数的单调性即可求出闭区间上的值域． 【解答】解：因为函数，，对称中心为，那么函数在定义域内为减函数，因此函数的值域为． 故答案为． 5.函数的值域为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的值域求解，属于较易题。 在求函数的值域时分离常数法是常用的方法之一，适当变形后，再利用双勾函数的性质，求出值域，也可以利用单调性来求出值域．利用分离常数将式子变形，再利用双勾函数的性质即能求出函数的值域． 【解答】 解：， ， 故函数的值域为 故答案为 6.函数的值域是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查求函数的值域，属于基础题目． 采用分离常数法即可求解． 【解答】 解：因为，． 所以值域为． 故答案为． 7.函数的值域为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的值域，运用分离常数法变形函数后，根据反比例函数的性质即可求解． 【解答】 解：，，． 即函数的值域为 故答案为 8.函数的定义域是          ；值域是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数定义域和值域的求解，属于中档题． 由分母不等于求得定义域，分离常数，结合二次函数及不等式的性质求出值域即可． 【解答】 解： 由，得， 即函数的定义域为， 又， 因为且， 所以或， 则或， 所以函数的值域为． 故答案为；． 9.求下列函数值域： 【答案】解：， ， ， ， 即 的值域为； ， 令，则， ，令， ， 故的值域为  【解析】本题考查函数值域的概念，配方法求二次函数的值域，以及根据函数的性质求函数值域的方法，换元法求函数值域的方法． 根据函数的性质即可求出； 利用换元法，结合二次函数的性质即可求出． 10求函数的值域； 求函数的值域． 函数的值域． 【答案】解：令 ，则； 则， 因为，当时，，即， 则的值域为． 解：， 因为，所以， 所以值域是． 解：因为， 则， 所以值域为：．  【解析】本题考查函数值域的求解方法，属于中档题． 利用换元法即可求值域； 利用分离常数法即可求值域； 利用配方法即可求值域． 11.求下列函数的值域： ； ． 【答案】解：令，，则， 从而 ， 则对称轴为：，且函数图象开口向下， ， 当时，函数取得最大值为，无最小值， 故的值域为； ，， 即函数的值域为：．  【解析】本题主要考查函数值域的求解，一元二次函数的性质是解决本题的关键． 用换元法，转化为二次函数求值域，注意换元后的定义域； 分离常数，利用定义域和不等式的性质进而求值域． 12.求下列函数的值域        【答案】解：令，则且， ， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，， 因而函数的值域为 故函数的值域为；   定义域， 此时原函数化为， 即， 判别式， 即， 可得或， 函数的值域为．   【解析】本题考查了函数值域的求法，属于中档题； 令，则且，由换元法，转化成二次函数即可； 当时，此时原函数化为，即，由判别式法即可得出结果． 13.求下列函数值域：             ；     ． 【答案】解：， ，，， ，即函数的值域为； ， ，开口向上，对称轴为， 当时，， 当或时，， 函数的值域为； ， ， ，即函数的值域为．  【解析】本题主要考查了求函数的值域，属于中档题． 将函数化为，根据的范围可求出值域； 求出对称轴，根据函数在定义域内的单调性可求出函数的值域； 先求出的范围，即可求出函数的值域． 14.求函数的值域； 已知求函数的值域． 【答案】解：函数， 函数的值域为且； 设，， 则， ， ， 函数的值域为．  【解析】本题考查函数的值域，考查配方法的运用，属于中档题． 利用分离常数法得，可得函数的值域； 换元，利用配方法求函数的值域． 15.求下列函数的值域： ， ， 【答案】解：设，则，． 由，可知，所以，所以函数的值域为 ，因为，如图所示，所以函数的值域为． ，显然可取到以 外的一切实数，即函数的值域为   【解析】本题考查函数的值域 设，利用换元法可得，然后根据二次函数性质可得最值，即可求解； 根据二次函数的性质即可求解； 分离常数可得，即可求解。 16.求下列函数的值域： ， ， ． 【答案】解，且， ． 函数的值域为． 配方得． ，画函数图象如图所示， 由图知， ，即函数的值域为． ， 故该函数是由反比例函数向上平移了个单位长度得到的， 故值域为． ， 函数的值域为   【解析】本题考查求函数的值域，属中档题． 将定义域内的值逐个代入解析式求解函数值，再组成集合，即得值域； 根据二次函数的图象与性质求解即可； 分离常数，根据反比例函数的性质求值域即可． 重难点四 换元法 核心思路：通过换元将复杂函数转化为基础函数（二次、一次、根号函数等），简化求解。 适用场景：含根号、三角函数复合、高次函数。 1.函数的值域为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：函数中，，， 则 ， 而，因此， 所以函数的值域为． 故选：． 2.函数的值域是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查利用换元法求函数的值域，考查二次函数值域的求法，属于基础题． 令，把原函数转化为关于的一元二次函数求解． 【解答】 解：令，则， 原函数化为， 函数的值域是． 故选C． 3.函数的值域为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查函数的值域，属于中档题． 令，，则，根据二次函数的性质，即可得出函数的值域． 【解答】解：令，， 则，， ， 即函数的值域为． 故选D ． 4.函数的值域为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查函数值域的求解，是基础题． 利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质求解即可． 【解答】 解：设，则，， 则函数等价于 ， 当且仅当时，函数取得最大值， 即函数的值域为， 故选A． 5.函数的值域是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查函数值域的求法，考查换元法． 令，则，原函数变成，再求值域即可． 【解答】 解：令，则，， 原函数变成， 因为，所以当时取等号． 故函数的值域是． 故选A． 6.函数的最大值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了求函数的值域，属于中档题． 利用换元法将函数转化为二次函数在给定区间求最值． 【解答】 解：的定义域为 令， 则， 则， ，此时， 函数的最大值为． 故答案为． 7.函数的值域为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查求函数的值域，二次函数的性质，换元法，属于中档题． 设，换元转化二次函数问题，注意的取值范围，根据二次函数的性质求解． 【解答】解：设，，， 函数可转化为，， 的图象开口方向向下，对称轴为， 函数在上单调递增，在上单调递减， 又当时，， 函数的值域是， 故答案为． 8.函数的值域是__________． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的值域，属于基础题． 设  ，可知  ，将问题转化为关于  的二次函数值域的求解问题，根据二次函数性质可求得结果． 【解答】 解：  ，  ，则  ， 设  ，则  ，  ，  ，  ， 即  的值域为  ． 故答案为：  ． 重难点五 判别式法 核心思路：将函数整理为关于x的一元二次方程，利用 “方程有实数解则求值域。 适用场景：二次分式函数（分子分母均为二次，且分母恒不为 0）， 重难点六 基本不等式法 核心思路：利用 “一正二定三相等” 的基本不等式求最值，进而确定值域。 适用场景：含 “和 + 积” 结构的函数。 1.求最值： 已知，求的最大值； 已知，，且，求的最小值． 【答案】解：因为，则， 当且仅当，即时，取等号， 故的最大值为， ， ， 当且仅当，即时，取等号， 故最小值为．  【解析】本题考查基本不等式的运用，属于基础题． 利用基本不等式求解即可． 由得，将其展开然后利用基本不等式可求解最值． 2.已知，求函数的最大值； 已知，正实数集，且，求的最小值． 【答案】解：，， 故， ， ， 故当时，； ，，， 当且仅当，即时，等号成立， 当，时，．  【解析】由已知可得，，结合基本不等式可求； 由，展开后利用基本不等式即可求解． 本题主要考查了利用基本不等式求解最值的应用，解题的关键是利用的代换配凑基本不等式的应用条件． 3.已知，，且，求的最大值 若，求的最小值． 【答案】解：，， ， 当且仅当且，即，时取等号， 解得，， 故的最大值． 解：因为，所以， 所以 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为．  【解析】 本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题． 由已知得，，解不等式可求； 将转化为，再利用基本不等式求解． 4.当时，求的最大值； 当时，求函数的最小值． 【答案】解：因为，所以，则，当且仅当，即时取等号， 所以，当时，取最大值． 当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取最小值．  【解析】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑，属于基础题． 由已知，然后结合基本不等式即可求解； 由已知，然后结合基本不等式即可求解． 5.已知，求函数的最大值． 【答案】解：因为， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以．  【解析】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 利用基本不等式，，当且仅当取等号求解． 6.求下列函数的最值． 求函数的最小值． 已知，求函数的最大值． 【答案】解：，， ， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为， ， ， ， 当且仅当即时，等号成立， 故有最大值．  【解析】本题考查由基本不等式求最值或取值范围，属于中档题． 将转化为是解题的关键； 将转化为是解题的关键，注意一正，二定，三相等即可． 7.求下列函数的最值． 若正实数，满足求的最小值； 已知，求的最大值． 【答案】解：，，，， 当且仅当，即，时取等号， 的最小值为． ，， 当且仅当，即时取等号， 的最大值为．   【解析】本题考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题． 由已知等式可得，根据，利用基本不等式可求得结果； 将函数化为，利用基本不等式可求得结果． 8.已知函数． 当时，求在上的最小值； 若，求的取值范围，并求的最大值． 【答案】解：当时，， 当时， ． 当且仅当，即时，等号成立． 所以在上的最小值为． 因为，所以，解得， 所以，所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最大值为． 综上所述：的取值范围为，的最大值为．   【解析】本题主要考查基本不等式的应用． 化简整理，根据基本不等式可求出结果； 解不等式求出的取值范围，结合基本不等式求出的最大值即可。 9.求函数的最大值； 求函数的最小值； 已知，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围． 【答案】解：由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以原函数的最大值为． 由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以原函数的最小值为． 由， 则． 当且仅当，即时取到最小值． 若恒成立，则的范围为．  【解析】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题． 先进行分离变形，然后结合基本不等式即可求解； 对函数解析式变形，利用基本不等式求解最值； 先常数代换变形，再利用基本不等式求解最值． 10.求下列函数的最值 求函数的最小值． 求函数的最小值． 设，，若，求的最小值． 若正数，满足，求的最小值． 【答案】解：，故函数的最小值为，当且仅当，即时，等号成立； ，故函数的最小值为，当且仅当，即时，等号成立； 由题得，代入原式，得，故原始最小值为，当且仅当，即时，等号成立； 由题得，则，当且仅当时，等号成立，故最小值为．  【解析】本题考查基本不等式的应用，正确利用公式是关键，属于较难题． 原式可化为，进而求出最小值； 原式可化为，求出最小值； 利用换元思想，原式可化为，再利用基本不等式即可； 本题涉及基本不等式中“”的妙用，将化为，然后根据，再利用基本不等式求最小值即可． 21 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题04 函数的值域问题 重难点一 直接法 核心思路：利用基本函数的性质（单调性、有界性）直接判断值域。 适用场景：一次函数等基础函数。 3. 重难点二 配方法 核心思路：对二次函数（或可化为二次函数的表达式）配方，结合开口方向求最值，进而确定值域。 适用场景：二次函数、含二次项的复合函数。 1.下列函数与的值域相间的是(    ) A. B. C. D. 2.函数的值域为          ． 3.函数的值域是            ． 4.函数，的值域为           5.函数的值域为          ． 6.已知，则的值域为          ． 重难点三 分离常数法 核心思路：将分式函数化为 “常数 + 分子为常数的分式” 形式，利用分母不为 0 求值域。 适用场景：一次分式函数。 1.函数的值域是(    ) A. B. C. D. 2.函数在区间上的值域为          ． 3.已知函数，则函数的值域为          ． 4.函数，的值域是________． 5.函数的值域为          ． 6.函数的值域是          ． 7.函数的值域为          ． 8.函数的定义域是          ；值域是          ． 9.求下列函数值域： 10求函数的值域； 求函数的值域． 函数的值域． 11.求下列函数的值域： ； ． 12.求下列函数的值域        13.求下列函数值域：             ；     ． 14.求函数的值域； 已知求函数的值域． 15.求下列函数的值域： ， ， 16.求下列函数的值域： ， ， ． 重难点四 换元法 核心思路：通过换元将复杂函数转化为基础函数（二次、一次、根号函数等），简化求解。 适用场景：含根号、三角函数复合、高次函数。 1.函数的值域为(    ) A. B. C. D. 2.函数的值域是(    ) A. B. C. D. 3.函数的值域为(    ) A. B. C. D. 4.函数的值域为(    ) A. B. C. D. 5.函数的值域是(    ) A. B. C. D. 6.函数的最大值为          ． 7.函数的值域为          ． 8.函数的值域是__________． 重难点五 判别式法 核心思路：将函数整理为关于x的一元二次方程，利用 “方程有实数解则求值域。 适用场景：二次分式函数（分子分母均为二次，且分母恒不为 0）， 重难点六 基本不等式法 核心思路：利用 “一正二定三相等” 的基本不等式求最值，进而确定值域。 适用场景：含 “和 + 积” 结构的函数。 1.求最值： 已知，求的最大值； 已知，，且，求的最小值． 2.已知，求函数的最大值； 已知，正实数集，且，求的最小值． 3.已知，，且，求的最大值 若，求的最小值． 4.当时，求的最大值； 当时，求函数的最小值． 5.已知，求函数的最大值． 6.求下列函数的最值． 求函数的最小值． 已知，求函数的最大值． 7.求下列函数的最值． 若正实数，满足求的最小值； 已知，求的最大值． 8.已知函数． 当时，求在上的最小值； 若，求的取值范围，并求的最大值． 9.求函数的最大值； 求函数的最小值； 已知，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围． 10.求下列函数的最值 求函数的最小值． 求函数的最小值． 设，，若，求的最小值． 若正数，满足，求的最小值． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $