6.3 第1课时 对数函数的概念、图象与性质-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

6.3　对数函数

 

第1课时　对数函数的概念、图象与性质

　　

　　已知细胞分裂个数y与分裂次数x满足y＝2x.

【问题】　（1）如果知道了细胞的个数y，如何确定分裂的次数x呢？

（2）问题（1）中的关系式中，x是关于y的函数吗？

（3）如果用x表示自变量，用y表示函数，那么这个函数是什么？

知识点一　对数函数的概念

一般地，函数y＝　logax　（a＞0，a≠1）叫作对数函数，它的定义域是　（0，＋∞）　.

提醒：在对数函数的定义表达式y＝logax（a＞0，a≠1）中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数.

知识点二　对数函数的图象及性质

 

提醒：（1）当0＜a＜1时，底数越小，图象越靠近x轴；（2）当a＞1时，底数越大，图象越靠近x轴.

【想一想】

　底数a的取值与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象有什么关系？

提示：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”.

知识点三　反函数

　当a＞0，a≠1时，y＝logax称为y＝ax的反函数.反之，y＝ax也称为y＝logax的反函数.一般地，如果函数y＝f（x）存在反函数，那么它的反函数记作y＝　f－1（x）　.

提醒：反函数性质的再理解：①互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称；②反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域.

【想一想】

　对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）与y＝lox（a＞0且a≠1）有什么关系？

提示：在同一坐标系内，y＝logax（a＞0且a≠1）的图象与y＝lox（a＞0且a≠1）的图象关于x轴（即直线y＝0）对称.

1.〔多选〕下列说法正确的是（　　）

A.对数函数的定义域为R

B.函数y＝log2（2x）是对数函数

C.函数y＝log0.3x是减函数

D.对数函数的图象一定在y轴右侧

解析：CD　A中，对数函数的定义域为（0，＋∞），故A错误；函数y＝log2（2x）不是对数函数，故B错误；函数y＝log0.3x是减函数，故C正确；对数函数的图象一定在y轴右侧，故D正确.故选C、D.

2.函数f（x）＝log2（x＋1）的定义域为（　　）

A.（－1，＋∞） B.[－1，＋∞）

C.（－∞，－1） D.（－∞，－1]

解析：A　由x＋1＞0得x＞－1，故f（x）的定义域为（－1，＋∞）.故选A.

3.若函数f（x）＝（a2＋a－5）logax是对数函数，则a＝　　2　.

解析：由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.又a＞0且a≠1，所以a＝2.

4.函数f（x）＝loga（2x－1）＋2的图象恒过定点（1，2）.

解析：令2x－1＝1，得x＝1，又f（1）＝2，故f（x）的图象恒过定点（1，2）.

　　

题型一　对数函数的概念

（1）下列函数中是对数函数的是（　B　）

A.y＝3log2x B.y＝log6x

C.y＝logx5 D.y＝log2x＋1