6.3 第2课时 对数函数图象与性质的综合应用-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦对数函数图象与性质的综合应用，涵盖图象变换（平移、翻折）、反函数、对数型函数的值域与单调性及实际应用。通过复习对数函数基本图象与性质导入，以“基础变换→复合应用→实际建模”为脉络，搭建从单一函数到综合问题的学习支架。 其亮点在于以题型为载体，通过典例研析、通性通法总结和跟踪训练，培养学生用数学眼光观察图象特征、用数学思维分析复合函数单调性（如分解内外函数结合定义域），用数学语言表达实际问题（如销售奖金模型）。学生能系统掌握解题方法，提升逻辑推理与应用能力，教师可借助结构化资源高效开展教学。

6.3　对数函数 第2课时　对数函数图象与性质的综合应用 第六章　幂函数、指数函数和对数函数 1 目 录 CONTENTS 典例研析 课时作业 典例研析 >> 目录 3 题型一　与对数函数有关的图象变换 （1）（链接教科书第155页例3）画出函数y＝log2（x＋1）与y＝ log2（x－1）的图象，并指出这两个函数的图象与函数y＝log2x的图象的 关系； 数学·必修第一册（SJ） 目录 解： 由函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度得到函数y＝log2 （x＋1）的图象， 由函数y＝log2x的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝log2（x－1）的 图象， 图象如图所示. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）试画出函数h（x）＝｜logax｜的图象，并根据图象写出函数h （x）的单调区间. 解： 因为a＝5，所以h（x）＝｜log5x｜.h（x） 的图象如图所示. 由图象可以知道，函数h（x）＝｜log5x｜的减区间是 （0，1），增区间是（1，＋∞）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 【母题探究】 　（变条件、变设问）若函数y＝a｜x｜（a＞0，且a≠1）的值域为[1， ＋∞），则函数y＝loga｜x｜的大致图象是（　　） 解析：　因为｜x｜≥0，且y＝a｜x｜的值域为[1，＋∞），所以a＞1. 当x＞0时，y＝loga｜x｜＝logax在（0，＋∞）上是增函数，又函数y＝ loga｜x｜为偶函数，图象关于y轴对称，所以y＝loga｜x｜的大致图象 应为选项A. √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 对数函数图象的变换方法 （1）有关对数函数图象的平移也符合“左加右减，上加下减”的规律； （2）作y＝｜f（x）｜的图象时，保留y＝f（x）的x轴及上方图象不 变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可； （3）作y＝f（｜x｜）的图象时，保留y＝f（x）（x≥0）图象不变， 当x＜0时，y＝f（｜x｜）的图象与y＝f（x）（x＞0）的图象关于y轴 对称. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点 （　　） A. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析：　因为y＝lg ＝lg（x＋3）－1，所以将y＝lg x的图象上所有 点向左平移3个单位长度，就得到y＝lg（x＋3）的图象，再将y＝lg（x＋ 3）的图象上的所有点向下平移1个单位长度，就得到y＝lg（x＋3）－1的 图象. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 画出函数y＝｜log2（x＋1）｜的图象，并写出函数的值域及单调区间. 解：函数y＝｜log2（x＋1）｜的图象如图所示.由图象知，其值域为[0，＋∞），减区间是（－1，0]，增区间是[0，＋∞）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型二　反函数 若函数f（x）与g（x）的图象关于直线y＝x对称，函数f（x）＝ （ ）－x，则f（2）＋g（4）＝（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析：　因为函数f（x）与g（x）的图象关于直线y＝x对称，f（x） ＝（ ）－x＝2x，所以g（x）＝log2x，所以f（2）＋g（4）＝22＋log24 ＝6. √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 反函数的性质 （1）同底数的指数函数与对数函数互为反函数； （2）互为反函数的两个函数的定义域与值域互换； （3）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称. 数学·必修第一册（SJ） 目录 若函数y＝f（x）是函数y＝2x的反函数，则f（f（2））＝（　　） A. 16 B. 0 C. 1 D. 2 解析：　函数y＝2x的反函数是y＝log2x，即f（x）＝log2x.所以f（f （2））＝f（log22）＝f（1）＝log21＝0.故选B. √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型三　对数型函数的性质及应用 角度1　对数型函数的值域（最值） 求下列函数的值域： （1）y＝log3（2x－1），x∈[1，2]； 解： ∵1≤x≤2，∴1≤2x－1≤3，∴0＝log31≤log3（2x－1） ≤log33＝1. ∴函数y＝log3（2x－1），x∈[1，2]的值域是[0，1]. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）f（x）＝log2 ·log2 （1≤x≤4）. 解： ∵f（x）＝log2 ·log2 ＝（log2x－2）·（log2x－1）＝ － ， 又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2， ∴当log2x＝ ，即x＝ ＝2 时，f（x）取最小值－ ；当log2x＝0， 即x＝1时，f（x）取得最大值2， ∴函数f（x）的值域是 . 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 求对数型函数值域（最值）的方法 　　对于形如y＝logaf（x）（a＞0，且a≠1）的复合函数，其值域（最 值）的求解步骤如下： （1）分解成y＝logau，u＝f（x）两个函数； （2）求f（x）的定义域； （3）求u的取值范围； （4）利用y＝logau的单调性求解. 数学·必修第一册（SJ） 目录 角度2　对数型函数的单调性 （链接教科书第157页练习3题）求函数f（x）＝lo （x2－2x－3） 的单调区间. 解：设t＝x2－2x－3＞0，得x＞3或x＜－1， 由于t＝（x－1）2－4在（3，＋∞）上单调递增，在（－∞，－1）上单 调递减， 又y＝lo t在定义域内是减函数， 因而函数f（x）＝lo （x2－2x－3）的单调递增区间为（－∞，－1）， 单调递减区间为（3，＋∞）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 1. 解决对数型复合函数的单调性问题的关键：一是看底数是大于1还是大 于0小于1，当底数未明确给出时，则应对底数进行分类讨论；二是运用复 合函数的单调性法则来判断其单调性；三是要注意其定义域. 2. 对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即y＝ logaf（x）（a＞0，且a≠1）型；另一类是对数函数为内函数，即y＝f （logax）（a＞0，且a≠1）型. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. （2026·南通月考）已知函数f（x）＝lg（x2－4x－5）在（a，＋ ∞）上单调递增，则a的取值范围是（　　） A. （2，＋∞） B. [2，＋∞） C. （5，＋∞） D. [5，＋∞） 解析：　由x2－4x－5＞0得x＞5或x＜－1，所以f 的定义域为 ∪（5，＋∞），因为y＝x2－4x－5在（5，＋∞）上单调递 增，所以f（x）＝lg（x2－4x－5）在（5，＋∞）上单调递增，所以 a≥5.故选D. √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 若函数f（x）＝ax＋loga（x＋1）在[0，1]上的最大值和最小值之和 为a，则a＝（　　） A. B. C. 2 D. 4 解析：　由题意得f（x）在[0，1]上单调递增或单调递减，∴f（x）的 最大值或最小值在端点处取得，即f（0）＋f（1）＝a，即1＋a＋loga2 ＝a，∴loga2＝－1，解得a＝ . √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型四　对数函数模型的实际应用 （链接教科书第164页复习题8题）某公司制定了一个激励销售人员的 奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15％进行奖励；当 销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5（A＋1）进行 奖励.记奖金为y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）. （1）写出奖金y关于销售利润x的解析式； 解：由题意知y＝ 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少 万元？ 解： 由题意知1.5＋2log5（x－9）＝5.5， 即log5（x－9）＝2， 所以x－9＝52，解得x＝34. 所以老江的销售利润是34万元. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 对数函数应用题的解题思路 （1）依题意，找出或建立对数增长型数学模型； （2）依实际情况确定解析式中的参数； （3）依题设及对数函数知识解决数学问题； （4）得出结论. 数学·必修第一册（SJ） 目录 某种动物的数量y（单位：只）与时间x（单位：年）的函数关系式为y＝ alog2（x＋1），若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为 （　　） A. 300只 B. 400只 C. 500只 D. 600只 解析：　由题意，知100＝alog2（1＋1），得a＝100，则当x＝7时，y ＝100log2（7＋1）＝100×3＝300.故选A. √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 函数y＝loga（x－1）（0＜a＜1）的图象可能是（　　） 解析：　函数y＝loga（x－1）的图象是由y＝logax的图象向右平移1个 单位长度得到的，因为0＜a＜1，所以y＝loga（x－1）在（1，＋∞）上 单调递减，故A图象符合.故选A. √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. “每天进步一点点”可以用数学知识来诠释，假如你今天的数学水平是 1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与 y之间的函数关系式是（　　） A. y＝log1.05x B. y＝log1.005x C. y＝log0.95x D. y＝log0.995x 解析：　由题意得x＝（1＋5‰）y＝1.005y，化为对数函数得y＝ log1.005x. √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. （2026·锡山高中月考）函数f（x）＝ln（x2－2x－8）的单调递增区 间是 ⁠. 解析：由x2－2x－8＞0，即 ＞0，得x＜－2或x＞4，故f （x）的定义域为 ∪ ，令t＝x2－2x－8，则f（x） ＝g ＝ln t，因为t＝x2－2x－8在 上单调递增，在 上单调递减，且g ＝ln t在 上单调递增，所以f（x）＝ ln 在 上单调递增，在 上单调递减，故 函数f（x）＝ln（x2－2x－8）的单调递增区间是 . （4，＋∞） 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，其图象 经过点（ ， ），则a＝ 　​ 　. 解析：由题意得f（x）＝logax（a＞0，且a≠1，x＞0），因为f（x） 的图象过点（ ， ），所以loga ＝ ，所以 ＝ ，所以a2＝2， 所以a＝ （负值舍去）. ​ 数学·必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 30 1. 已知函数f（x）＝3lo x的定义域为[3，9]，则函数f（x）的值域是 （　　） A. （－∞，－6] B. [－6，－3] C. [－3，0） D. （0，＋∞） 解析：　∵y＝lo x在（0，＋∞）上是减函数，∴当3≤x≤9时，lo 9≤lo x≤lo 3，即－2≤lo x≤－1，∴－6≤3lo x≤－3，∴函数f （x）的值域是[－6，－3].故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 如图为函数y＝m＋lognx的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确 的是（　　） A. m＜0，n＞1 B. m＞0，n＞1 C. m＞0，0＜n＜1 D. m＜0，0＜n＜1 解析：　根据图象可知，函数y＝m＋lognx（m，n是常数）是减函 数，所以0＜n＜1；又当x＝1时，y＜0，即y＝m＋logn1＝m＜0.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 函数f（x）＝loga[（a－1）x＋1]在定义域上（　　） A. 是增函数 B. 是减函数 C. 先增后减 D. 先减后增 解析：　当a＞1时，y＝logat和t＝（a－1）x＋1都是增函数，所以f （x）是增函数；当0＜a＜1时，y＝logat和t＝（a－1）x＋1都是减函 数，所以f（x）是增函数.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 设函数f（x）＝ln（1＋x）－ln（1－x），则（　　） A. f（x）为奇函数，在（0，1）上单调递增 B. f（x）为奇函数，在（0，1）上单调递减 C. f（x）为偶函数，在（0，1）上单调递增 D. f（x）为偶函数，在（0，1）上单调递减 解析：　函数f（x）的定义域为（－1，1），f（－x）＝ln（1－x）－ ln（1＋x）＝－f（x），∴f（x）为奇函数.f（x）＝ln ＝ln（ － 1），又y＝ －1在（0，1）上单调递增，∴f（x）在（0，1）上单调 递增.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 5. 〔多选〕函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0且a≠1）的反函数，则 下列结论正确的是（　　） A. f（x2）＝2f（x） B. f（2x）＝f（x）＋f（2） C. f ＝f（x）－f（2） D. f（2x）＝2f（x） 解析： 　因为函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0且a≠1）的反函 数，所以f（x）＝logax（a＞0且a≠1）.所以f（x2）＝logax2＝2logax＝ 2f（x），f（2x）＝loga（2x）＝loga2＋logax＝f（x）＋f（2）， f ＝loga（ x）＝logax－loga2＝f（x）－f（2）.所以选项A、B、C 正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕已知a＞0，且a≠1，则函数y＝a－x与y＝loga（－x）的图 象可能是（　　） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　当a＞1时，y＝a－x是减函数，图象恒过点（0，1），y＝ loga（－x）是减函数，定义域为（－∞，0），图象恒过点（－1，0）， C选项符合题意；当0＜a＜1时，y＝a－x是增函数，图象恒过点（0， 1），y＝loga（－x）是增函数，定义域为（－∞，0），图象恒过点（－ 1，0），D选项符合题意.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 7. 函数f（x）＝｜lo x｜的单调递增区间是 ⁠. 解析：f（x）的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为 [1，＋∞）. [1，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 8. 设a＞1，函数f（x）＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差 为 ，则a＝ ⁠. 解析：∵a＞1，∴f（x）＝logax在[a，2a]上单调递增，∴loga（2a） －logaa＝ ，即loga2＝ ，∴ ＝2，a＝4. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 9. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现 鲑鱼的游速可以表示为函数v＝ log3 ，单位是m/s，其中O表示鱼的耗 氧量的单位数.当一条鱼的耗氧量是2 700个单位时，它的游速 是 m/s；一条鱼静止时耗氧量的单位数为 ⁠. 解析：当O＝2 700时，v＝ log3 ＝ log3 ＝ log327＝ （m/s）.一 条鱼静止时，v＝0，则 log3 ＝0，所以 ＝1，所以O＝100. ​ 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 10. 设函数f（x）＝lg （a∈R），且f（1）＝0. （1）求a的值； 解： 函数f（x）＝lg （a∈R），且f（1）＝0， 则f（1）＝lg ＝0.则 ＝1，解得a＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）判断f（x）在区间（0，＋∞）上的单调性，并用单调性的定义 证明. 解： f（x）＝lg 在区间（0，＋∞）上单调递减. 证明：设0＜x1＜x2，f（x1）－f（x2）＝lg －lg ＝lg ＝lg（x2 ＋1）－lg（x1＋1）， 因为0＜x1＜x2，所以lg（x2＋1）＞lg（x1＋1），所以f（x1）－f（x2） ＞0， 即f（x1）＞f（x2），即函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 11. 函数f（x）＝lg（｜x｜－1）的大致图象是（　　） 解析：　由f（x）的定义域为（－∞，－1）∪（1，＋∞），且f（－ x）＝lg（｜－x｜－1）＝lg（｜x｜－1）＝f（x），得f（x）是偶函 数，由此知C、D错误.又当x＞1时，f（x）＝lg（x－1）在（1，＋∞） 上单调递增，所以B正确.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 12. 〔多选〕设偶函数f（x）＝loga｜x－b｜在（－∞，0）上单调递 增，则下列说法正确的是（　　） A. f（a＋1）＞f（b＋2） B. f（a＋1）＜f（b＋2） C. f（1）＝0 D. f（1）＞0 解析： 　由于函数f（x）＝loga｜x－b｜是偶函数，所以b＝0，又函 数f（x）在（－∞，0）上单调递增，所以f（x）在（0，＋∞）上单调 递减，则0＜a＜1，所以有1＜a＋1＜2.因为f（a＋1）＝loga｜a＋ 1｜，f（b＋2）＝loga2，所以f（a＋1）＞f（b＋2）.又f（x）＝ loga｜x｜，所以f（1）＝0.故选A、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 13. 〔一题多解〕若函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数的图象经过点 （ ， ），则a＝ 　​ 　. 解析：法一　函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数是f（x）＝logax （a＞0，a≠1），则loga ＝ ，∴ ＝ ，∴a2＝2，∴a＝ . ​ 法二　∵函数y＝ax（a＞0，a≠1）的反函数的图象过点（ ， ）， ∴函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象过点（ ， ），则 ＝ ，∴a2 ＝2，∴a＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 14. 已知函数y＝f（x）的图象与g（x）＝logax（a＞0，a≠1）的图象 关于x轴对称，且g（x）的图象过点（9，2）. （1）求函数f（x）的解析式； 解： 因为g（x）＝logax（a＞0，a≠1）的图象过点（9，2）， 所以loga9＝2，解得a＝3，所以g（x）＝log3x. 又因为函数y＝f（x）的图象与g（x）＝log3x的图象关于x轴对称，所 以f（x）＝lo x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）若f（3x－1）＞f（－x＋5），求x的取值范围. 解：因为f（3x－1）＞f（－x＋5）， 即lo （3x－1）＞lo （－x＋5）， 则 解得 ＜x＜ ， 所以x的取值范围为{x｜ ＜x＜ }. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 $