1.3 交集、并集-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学集合的交集、并集及区间核心知识点，从篮球社团招募的实际问题切入，通过文字、符号、图形语言系统梳理概念定义与运算性质，再拓展区间表示，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以情境化引入培养数学抽象，用Venn图和数轴辅助理解发展直观想象，题型分类与母题探究提升逻辑推理。课中助力教师结构化教学，课后练习题及解析帮助学生巩固知识、查漏补缺。

1.3　交集、并集 课标 要求 1.理解两个集合的交集与并集的含义，能求两个集合的交集与并集（数学抽象、数学运算）. 2.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用（数学运算、直观想象）. 3.会用集合的语言简洁、准确地表达数学的研究对象，在观察、分析、抽象、类比得到集合的数学知识的过程中提升学生的思维能力（数学抽象、逻辑推理）. 　　 　　某学校篮球社团开始招募新成员，对招募成员的要求有两个：①高一年级在校男生；②身高1.80米以上.如果满足条件①的同学组成的集合记为A，满足条件②的同学组成的集合记为B，能成为篮球社团新成员的同学组成的集合记为C. 【问题】　（1）满足①或满足②的同学能成为集合C的元素吗？ （2）集合A，B，C之间具有怎样的关系？ 　 知识点一　交集 文字语言 由所有属于集合A　且　属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作　A∩B　（读作“　A交B　”） 符号语言 A∩B＝　{x｜x∈A，且x∈B}　 图形语言 运算性质 A∩B＝　B∩A　，A∩A＝　A　，A∩⌀＝⌀∩A＝　⌀　，A∩∁UA＝⌀，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A⊆B⇔A∩B＝A 提醒：（1）A∩B仍是一个集合；（2）文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B；（3）如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝⌀. 知识点二　并集 文字语言 由所有属于集合A　或者　属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作　A∪B　（读作“　A并B　”） 符号语言 A∪B＝　{x｜x∈A，或x∈B}　 图形语言 运算性质 A∪B＝　B∪A　，A∪A＝　A　，A∪⌀＝⌀∪A＝　A　，A∪∁UA＝U，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A⊆B⇔A∪B＝B 提醒：（1）A∪B仍是一个集合；（2）并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. 【想一想】 1.集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？ 提示：不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和. 2.若x∈（A∩B），则x∈（A∪B）吗？反之，若x∈（A∪B），则x∈（A∩B）吗？ 提示：若x∈（A∩B），则x∈（A∪B）成立； 反之，若x∈（A∪B），则x∈（A∩B）不一定成立. 知识点三　区间及相关概念 1.区间的概念及记法 设a，b是两个实数，而且a＜b，我们规定： 定义 名称 符号 数轴表示 {x｜a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x｜a＜x＜b} 开区间 （a，b） {x｜a≤x＜b} 左闭右开区间 [a，b） {x｜a＜x≤b} 左开右闭区间 （a，b] 2.无穷大：实数集R可以用区间表示为　（－∞，＋∞）　，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”. 3.特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示 {x｜x≥a} [a，＋∞） {x｜x＞a} （a，＋∞） {x｜x≤b} （－∞，b] {x｜x＜b} （－∞，b） 【想一想】 1.区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？ 提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示. 2.“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？ 提示：“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数.以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号. 1.（2026·赣榆期中）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，5}，则A∩B＝（　　） A.{1} B.{1，3} C.{1，3，4} D.{1，2，4} 解析：B　A∩B＝{1，2，3}∩{1，3，5}＝{1，3}.故选B. 2.设集合A＝{1，3，4}，集合B＝{0，3}，则A∪B中的元素个数为（　　） A.3 B.4 C.5 D.32 解析：B　根据并集的定义得A∪B＝{0，1，3，4}，则A∪B中的元素个数为4.故选B. 3.已知集合A＝{－1，0，1}，则满足A∪B＝{－1，0，1，2}的集合B可能是（　　） A.{－1，0} B.{0，1} C.{－1，0，1} D.{0，2} 解析：D　{－1，0，1}∪{0，2}＝{－1，0，1，2}.故选D. 4.集合{x｜2＜x＜3}可用区间表示为　（2，3）　. 解析：集合{x｜2＜x＜3}可用区间表示为（2，3）. 　　 题型一　集合的交集和并集 角度1　求两集合的交集 （链接教科书第14页例1）（1）设集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，则图中阴影部分表示的集合为（　C　） A.{－1，0} B.{0，2} C.{0，1} D.{－1，0，1，2，3} （2）设集合A＝{x｜x＞－1}，B＝{x｜x≤1}，则A∩B＝　{x｜－1＜x≤1}　. 解析：（1）图中阴影部分表示集合A，B的公共部分，即A∩B，A∩B＝{－1，0，1}∩{0，1，2，3}＝{0，1}.故选C. （2）如图，在同一条数轴上分别作出集合A，B， 由图可知A∩B＝{x｜－1＜x≤1}. 通性通法 求两个集合交集的方法 （1）对于元素个数有限的集合，将两个集合中的所有公共元素找出组成集合即可； （2）对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍. 角度2　求两集合的并集 （链接教科书第14页例1）（1）已知集合A＝{－1，0，4}，B＝{0，1，2，3}，则A∪B＝（　D　） A.{－1，0} B.{－1，0，0，1，2，3，4} C.{0，1} D.{－1，0，1，2，3，4} （2）设集合A＝{x｜1≤x≤3}，B＝{x｜2＜x＜4}，则A∪B＝（　C　） A.{x｜2＜x＜3} B.{x｜2≤x≤3} C.{x｜1≤x＜4} D.{x｜1＜x＜4} 解析：（1）A∪B＝{－1，0，4}∪{0，1，2，3}＝{－1，0，1，2，3，4}.故选D. （2）A∪B＝{x｜1≤x＜4}.故选C. 通性通法 求集合并集的2种基本方法 （1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解（其中两集合的公共元素只写一次）； （2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由连续实数组成的数集，则可以借助数轴分析求解. 1.（2026·南京月考）已知集合A＝{x｜x＝2k－1，k∈N*}，B＝{1，4，5，6}，则A∩B＝（　　） A.{5} B.{1，5} C.{3，4，5} D.{1，3，6，7} 解析：B　集合A是奇数集，所以A∩B＝{1，5}.故选B. 2.（2026·无锡质检）设集合A＝{x｜x＜2}，B＝{x｜－2＜x＜3}，则A∪B＝（　　） A.{x｜x＜3} B.{x｜x＜2} C.{x｜x＞－2} D.{x｜－2＜x＜2} 解析：A　根据并集运算的定义得，A∪B＝{x｜x＜3}.故选A. 题型二　交集和并集的综合运用 （链接教科书第14页例2）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种.求该网店： （1）第一天售出但第二天未售出的商品有多少种？ （2）这三天售出的商品最少有多少种？ 解：（1）设第一天售出的商品为集合A，则A中有19个元素，第二天售出的商品为集合B，则B中有13个元素. 由于前两天都售出的商品有3种，则A∩B中有3个元素. Venn图如图所示，所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19－3＝16（种）. （2）由（1）知，前两天售出的商品为19＋13－3＝29（种），当第三天售出的18种商品都是前两天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少，售出的商品最少为29种. 通性通法 　　在解决有关集合交集、并集的实际应用问题时，常借助Venn图来求解. 　（2026·徐州质检）某校向1班50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，有33人赞成B，且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（　　） A.15 B.18 C.21 D.24 解析：C　设对A，B都赞成的学生人数为x，则对A，B都不赞成的学生人数为x＋1.作出Venn图如图所示， 由30－x＋x＋33－x＋x＋1＝50，解得x＝21.所以对A，B都赞成的学生人数为21.故选C. 题型三　区间及其表示 把下列数集用区间表示： （1）{x｜x≥－1}； （2）{x｜－1＜x＜1}； （3）{x｜0＜x＜1，或2≤x≤4}. 解：（1）{x｜x≥－1}＝[－1，＋∞）. （2）{x｜－1＜x＜1}＝（－1，1）. （3）{x｜0＜x＜1，或2≤x≤4}＝（0，1）∪[2，4]. 通性通法 用区间表示数集的方法 （1）区间左端点值小于右端点值，区间两端点之间用“，”隔开； （2）含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号； （3）以“－∞”“＋∞”为区间的一端时必须用小括号. 1.集合{x｜－2＜x≤2，且x≠0}用区间表示为（－2，0）∪（0，2]. 解析：{x｜－2＜x≤2，且x≠0}＝（－2，0）∪（0，2]. 2.已知区间（a＋1，7]，则实数a的取值范围是　（－∞，6）　. 解析：由题意可知a＋1＜7，即a＜6，所以实数a的取值范围是（－∞，6）. 题型四　由集合的并集、交集求参数 （链接教科书第22页习题9题）已知集合A＝{x｜－3＜x≤4}，集合B＝{x｜k＋1≤x≤2k－1}，若A∪B＝A，求k的取值范围. 解：由A∪B＝A，得B⊆A. ①当B＝⌀，即k＋1＞2k－1时，k＜2，满足A∪B＝A. ②当B≠⌀时，要使A∪B＝A， 只需解得2≤k≤. 综合①②可知，k的取值范围是. 【母题探究】 1.（变条件）把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，求k的取值范围. 解：由A∩B＝A可知A⊆B. 所以即 所以k的取值范围为⌀. 2.（变条件）把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x｜－3＜x≤5}”，求k的值. 解：由题意可知解得k＝3.所以k的值为3. 通性通法 利用集合交集、并集的性质解题的方法 （1）在利用集合的交集、并集的性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理； （2）当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B＝⌀的情况，切不可漏掉. 1.（2026·泰州质检）已知集合A＝[－1，＋∞），B＝（a，＋∞），且A∩B＝A，则（　　） A.a＞－1 B.a≥－1 C.a＜－1 D.a≤－1 解析：C　因为A∩B＝A，所以A⊆B，则a＜－1，故C正确.故选C. 2.已知集合A＝{x｜x≤－1或x≥3}，B＝{x｜a＜x＜4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是（－∞，－1]. 解析：利用数轴，若A∪B＝R，则a≤－1. 1.（2026·海安月考）设集合A＝{1，2，6}，B＝{x｜1≤x≤5}，则A∩B＝（　　） A.{2} B.{1，2} C.{1，2，6} D.{x｜1≤x≤5} 解析：B　A∩B＝{1，2}.故选B. 2.〔多选〕若集合A＝{－1，2，3，4}，B＝{1，2，3，5}，则（　　） A.A∩B＝{2，3} B.A∪B＝{－1，1，2，3，4，5} C.A⊆B D.A∩B＝A∪B 解析：AB　A∩B＝{2，3}，A∪B＝{－1，1，2，3，4，5}，A、B正确，C、D错误.故选A、B. 3.（2026·盐城月考）已知集合M＝{－1，0，5，7}，N＝{x｜x＜m}，若集合M∩N中只含有一个元素，则实数m的取值范围是　（－1，0]　. 解析：因为M＝{－1，0，5，7}，N＝{x｜x＜m}，且集合M∩N中只含有一个元素，所以－1＜m≤0，则实数m的取值范围是（－1，0]. 4.已知集合A＝，集合B＝{x｜2x－1＜3}，求A∩B，A∪B. 解：解不等式组得－2＜x＜3， 即A＝{x｜－2＜x＜3}. 解不等式2x－1＜3，得x＜2，即B＝{x｜x＜2}， 在数轴上分别表示集合A，B，如图所示. 则A∩B＝{x｜－2＜x＜2}，A∪B＝{x｜x＜3}. 　　 　　 1.已知集合A＝{－3，0，2}，B＝{0，1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是（　　） A.{0，1} B.{0} C.{－3，2，3} D.{－3，0，1，2，3} 解析：D　由Venn图可知阴影部分所表示的集合是A∪B，故A∪B＝{－3，0，1，2，3}.故选D. 2.（2026·徐州期中）设集合M＝{x｜－1＜x＜1}，N＝{x｜0≤x＜2}，则M∩N＝（　　） A.{x｜－1＜x＜2} B.{x｜0≤x＜1} C.{x｜0＜x＜1} D.{x｜－1＜x＜0} 解析：B　M∩N＝{x｜－1＜x＜1}∩{x｜0≤x＜2}＝{x｜0≤x＜1}.故选B. 3.集合M＝{1，3，a}，N＝{2，a2}.若M∪N＝{1，2，3，4，16}，则a＝（　　） A.0 B.1 C.2 D.4 解析：D　∵M∪N＝{1，2，3，4，16}，∴a＝4，a2＝16或a＝16，a2＝4，解得 a＝4.故选D. 4.设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，3，4}，N＝{2，4，5}，则M∩（∁UN）＝（　　） A.⌀ B.{4} C.{1，3} D.{2，5} 解析：C　由题意知，∁UN＝{1，3}，所以M∩（∁UN）＝{1，3}.故选C. 5.〔多选〕若集合M⊆N，则下列结论正确的是（　　） A.M∩N＝M B.M∪N＝N C.M⊆M∩N D.（∁NM）∩N＝M 解析：ABC　因为M⊆N，所以M∩N＝M，M∪N＝N，M⊆M∩N，（∁NM）∩N＝∁NM，故A、B、C正确，D错误.故选A、B、C. 6.〔多选〕设全集U＝{x∈Z｜－3＜x＜5}，A＝{－2，2}，B＝{－2，4}，则下列命题正确的有（　　） A.U＝{－2，－1，0，1，2，3，4} B.A∩B＝{－2} C.A∪B＝{－2} D.（∁UA）∪B＝{－2，－1，0，1，3，4} 解析：ABD　U＝{x∈Z｜－3＜x＜5}＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，故A正确；因为A＝{－2，2}，B＝{－2，4}，所以A∩B＝{－2}，A∪B＝{－2，2，4}，故B正确，C错误；又∁UA＝{－1，0，1，3，4}，则（∁UA）∪B＝{－2，－1，0，1，3，4}，故D正确.故选A、B、D. 7.（2026·连云港质检）若A＝{（x，y）｜y＝－4x＋6}，B＝{（x，y）｜y＝5x－3}，则A∩B＝　{（1，2）}. 解析：由解得所以A∩B＝{（1，2）}. 8.已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∩B＝B，则实数a＝　2　. 解析：因为A∩B＝B，所以B⊆A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即a＝1时，A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；当a＋2＝a2时，a＝－1（舍去）或a＝2，此时A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，符合题意.综上，实数a＝2. 9.设全集U＝R，M＝{x｜x＜－2，或x＞2}，N＝{x｜1≤x≤3}.如图所示，则阴影部分所表示的集合为　{x｜－2≤x＜1}　. 解析：阴影部分所表示的集合为∁U（M∪N）＝（∁UM）∩（∁UN）＝{x｜－2≤x≤2}∩{x｜x＜1或x＞3}＝{x｜－2≤x＜1}. 10.设集合A＝{－2}，B＝{x｜ax＋1＝0，a∈R}，若A∪B＝A，求a的值. 解：∵A∪B＝A，∴B⊆A. ∵A＝{－2}≠⌀， ∴B＝⌀或B≠⌀. 当B＝⌀时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0； 当B≠⌀时，此时a≠0，则B＝， ∴－∈A，即有－＝－2，得a＝. 综上，a＝0或a＝. 11.（2026·苏州质检）已知集合M＝{2，a2}，P＝{－2，－2a}，若M∪P有三个元素，则实数a的取值集合为（　　） A.{－1，0} B.{－1，0，1} C.{－2，－1，0} D.{－2，0} 解析：C　由题意得2≠－2，a2≠－2，当a2＝－2a时，解得a＝0或a＝－2，符合题意；当－2a＝2时，解得a＝－1，符合题意.综上所述，实数a的取值集合为{－2，－1，0}.故选C. 12.（2026·南京一中月考）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（　　） A.20人 B.17人 C.15人 D.12人 解析：B　两次运动会都参赛的有3人，只参加田径运动会的有8－3＝5人，只参加球类运动会的有12－3＝9人，由Venn图可知，（8－3）＋3＋（12－3）＝17.故选B. 13.已知集合A＝{x｜x＜1或x＞4}，B＝{x｜m＜x＜2m＋3}，若A∪B＝R，则实数m的取值范围为　　. 解析：由{x｜x＜1或x＞4}∪{x｜m＜x＜2m＋3}＝R，则解得＜m＜1. 14.已知集合A＝{x｜5≤x≤7}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}. （1）当m＝3时，求A∪B和A∩B； （2）若A∩B＝⌀，求实数m的取值范围. 解：（1）当m＝3时，B＝{x｜4≤x≤5}. 所以A∪B＝{x｜5≤x≤7}∪{x｜4≤x≤5}＝{x｜4≤x≤7}， A∩B＝{x｜5≤x≤7}∩{x｜4≤x≤5}＝{5}. （2）当B＝⌀时，有m＋1＞2m－1，则m＜2； 当B≠⌀时，可得或 解得2≤m＜3或m＞6. 综上可得，实数m的取值范围是（－∞，3）∪（6，＋∞）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $