1.2.3 直线与平面的夹角 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 围绕“直线与平面的夹角”，通过基础公式应用、几何体情境计算到动态综合问题的分层设计，系统巩固空间向量求线面角知识，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一方向向量与法向量求角|直接应用公式（如第1-2题），强化概念理解| |中档应用|结合正方体、圆柱等几何体计算|融入空间情境（如第3-6题），衔接例题题型| |综合拔高|动态问题与多知识点综合|设置体积最大、动点位置等探究（如第10、13、14题），提升推理与模型应用能力|

1.2.3　直线与平面的夹角 1.[2026·河南南阳高二月考] 若直线l的一个方向向量为u=(1,,-1),平面α的一个法向量为n=(0,0,3),则l与α所成的角为 (　 ) A. B. C.或 D.或 2.已知平面α的一个法向量为m=(4,-2,4),P(1,2,-2)是平面α外一点,Q(-1,0,1)是平面α内一点,则直线PQ与平面α所成角的正弦值为 (　 ) A. B. C. D. 3.[2025·郑州高二期中] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1B与平面BC1D1所成的角为(　 ) A. B. C. D. 4.将边长为1的正方形AA1O1O及其内部绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,的长为,的长为,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧,则直线B1C与平面AA1O1O所成角的正弦值为 (　 ) A. B. C. D. 5.在正四棱锥S-ABCD中,SA=AB=2,则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为 (　 ) A. B. C. D. 6.[2026·武汉高二期末] 如图,在矩形ABCD中,已知AB=AD,E是AD的中点,沿BE将△ABE折起到△A'BE的位置,使A'C=A'D,则A'C与平面BEDC所成角的正切值是(　 ) A.2 B. C. D. 7.(多选题)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ADC=60°,△PAD为正三角形,O为AD的中点,且平面PAD⊥平面ABCD,M是棱PC上的一点,则以下说法正确的是 (　 ) A.OM⊥PD B.OM⊥BC C.若点M为棱PC的中点,则直线OM∥平面PAB D.若=,则直线AM与平面PAB所成角的余弦值为 8.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=1,AA1=2,则直线BC1与平面ABC所成的角的正弦值为　　　　.  9.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形,AB=4,AA1=4,点B1在底面ABCD的射影为BC的中点H,则直线AD1与平面ABCD所成角的正弦值为　　　　.  10.(13分)[2026·沈阳高二期末] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等,D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点. (1)证明:EF∥平面A1CD; (2)求直线B1C与平面A1CD所成角的正弦值. 11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是AC的中点,点P在线段A1C1上,若直线OP与平面A1BC1所成的角为θ,则sin θ的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 12.(多选题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥B1D1,AD1与平面ABCD所成的角为30°,则(　 ) A.异面直线A1D与BC1所成的角为60° B.异面直线AB与A1C1所成的角为45° C.BD1与平面ADD1A1所成的角为60° D.BD1与平面ABCD所成的角的正弦值为 ★13.如图,已知四边形ABCD为圆柱的轴截面,AB=BC=2,E,F为上底面圆周上的两个动点,且EF过上底面圆心G,当三棱锥A-BEF的体积最大时,直线AC与平面BEF所成角的正弦值为　　　　.  14.(15分)[2026·贵阳高二期中] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,PA=PB=4,PC=PD=2,Q是棱PB上的动点. (1)求该四棱锥的高; (2)若直线QC与平面PAB所成角的正弦值为,试确定点Q所在的位置. 15.[2025·天津滨海新区高二期末] 如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,PA=PB=AB=2,DC=BC=1,在平面ABCD内过点D作DO∥BC交AB于点O,连接PO.设点E是平面POD内的动点,若直线AE与平面PBC所成的角为,则OE的最小值为 (　 ) A.2 B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.3　直线与平面的夹角 1.A　[解析] 设直线l与平面α所成的角为θ,θ∈,则sin θ=|cos<u,n>|===,可得θ=.故选A. 2.B　[解析] 由题可得=(-2,-2,3),因为平面α的一个法向量为m=(4,-2,4),所以所求角的正弦值为==.故选B. 3.B　[解析] 方法一:如图所示,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),C1(0,1,1),所以=(0,-1,1),=(-1,0,1),=(-1,-1,1).设平面BC1D1的一个法向量为n=(x,y,z),则令x=1,得y=0,z=1,即n=(1,0,1).设直线A1B与平面BC1D1所成角为α,α∈,则sin α=|cos<n,>|===,所以α=.故选B. 方法二:∵AB∥C1D1,且点B∈平面BC1D1,∴AB⊂平面BC1D1.如图,连接AD1,A1D,设AD1与A1D的交点为Q,连接BQ,∵AB⊥平面ADD1A1,∴AB⊥A1Q.在正方形ADD1A1中,A1Q⊥AD1,∴A1Q⊥平面ABC1D1,故∠A1BQ即为所求,∵A1Q=A1D,A1D=A1B,∴A1Q=A1B,则sin∠A1BQ==,故∠A1BQ=.故选B. 4.D　[解析] 由题意,∠AOC=,∠A1O1B1=,如图所示,以O为原点,建立空间直角坐标系,则B1,C,所以=.易知平面AA1O1O的一个法向量为n=(1,0,0).设直线B1C与平面AA1O1O所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|===.故选D. 5.C　[解析] 连接BD交AC于点O,连接OS. 方法一:SO⊥平面ABCD,以O为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得SO===,A(1,-1,0),C(-1,1,0),B(1,1,0),S(0,0,),∴=(-2,2,0),=(-1,-1,),=(1,-1,).设平面SBC的一个法向量为n=(x,y,z),则即令z=,得n=(0,2,).设直线AC与平面SBC所成的角为θ,则sin θ=|cos<n,>|===.故选C. 方法二:∵底面ABCD为正方形,且AB=2,∴S△OBC=S正方形ABCD=×(2×2)=1,由方法一知SO=,∴VS-OBC=×1×=,∵△SBC为正三角形,且BC=AB=2,∴S△SBC=.设O到平面SBC的距离为h,则VO-SBC=×h×=,解得h=,故AC与平面SBC所成角的正弦值为=,故选C. 6.B　[解析] 取BE的中点M,CD的中点N,连接A'M,MN,A'N,CM,由题意可得A'M⊥BE,A'N⊥CD,MN⊥CD,因为A'N∩MN=N,A'N,MN⊂平面A'MN,所以CD⊥平面A'MN,又A'M⊂平面A'MN,所以A'M⊥CD,因为BE与CD相交且BE,CD⊂平面BCDE,所以A'M⊥平面BCDE,则∠A'CM是A'C与平面BEDC所成的角.以B为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,令AB=1,AD=2,则M,A',C(0,2,0),则=,平面BEDC的一个法向量为=,所以sin∠A'CM=|cos<,>|===,所以tan∠A'CM=. 7.BCD　[解析] 如图①,连接OC,因为底面ABCD是边长为2的菱形,∠ADC=60°,△PAD为正三角形,O为AD的中点,所以AD⊥PO,AD⊥CO,又PO∩CO=O,PO,CO⊂平面POC,所以AD⊥平面POC,又OM⊂平面POC,所以AD⊥OM,又AD∥BC,所以OM⊥BC,故B正确;当点M为棱PC的中点时,如图①,取BP的中点N,连接MN,AN,则MN∥BC,且MN=BC,又O为AD的中点,底面ABCD是边长为2的菱形,所以AO∥BC,且AO=BC,所以MN∥AO,且MN=AO,所以四边形AOMN为平行四边形,所以OM∥AN,又OM⊄平面PAB,AN⊂平面PAB,所以OM∥平面PAB,故C正确;因为△PAD为正三角形,O为AD的中点,所以PO⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,所以PO⊥平面ABCD,又OC⊂平面ABCD,所以PO⊥OC,又OD⊥OC,OD∩OP=O,OD,OP⊂平面OPD,所以OC⊥平面OPD,又PD⊂平面OPD,所以OC⊥PD,显然PD与平面OPC不垂直,故只有当点M在C处时,有OM⊥PD,故A错误;以O为原点,建立如图②所示的空间直角坐标系,则O(0,0,0),A(1,0,0),B(2,,0),C(0,,0),P(0,0,),因为PM=PC,所以M,所以=,=(1,,0),=(-1,0,),设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),则令x=,得n=(,-1,1),设直线AM与平面PAB所成的角为θ,则sin θ=|cos<n,>|===,所以cos θ==,所以直线AM与平面PAB所成角的余弦值为,故D正确.故选BCD. 8.　[解析] 以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则B,C1(0,1,2),所以=.易知平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1),设直线BC1与平面ABC所成的角为θ,则sin θ=|cos<n,>|===,所以直线BC1与平面ABC所成的角的正弦值为. 9.　[解析] 因为点B1在底面ABCD的射影为BC的中点H,所以B1H⊥平面ABCD.以H为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.因为B1H⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以B1H⊥BC,则B1H===2,则A(4,-2,0),D(4,2,0),B(0,-2,0),B1(0,0,2),所以=+=+=(0,4,0)+(0,2,2)=(0,6,2).易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),则|cos<,n>|===,因此直线AD1与平面ABCD所成角的正弦值为. 10.解:(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,连接ED,由E,D分别为BC,AB的中点,得ED∥AC且ED=AC,又AC∥A1C1且AC=A1C1,F为A1C1的中点, 所以A1F∥AC且A1F=AC,所以ED∥A1F且ED=A1F, 所以四边形A1DEF是平行四边形,所以EF∥A1D, 又A1D⊂平面A1CD,EF⊄平面A1CD,所以EF∥平面A1CD. (2)在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等,令AB=2, 取A1B1的中点D1,连接DD1,因为D为AB的中点,所以DD1∥AA1,则DD1⊥底面ABC, 又CD⊥AB,所以DD1,DA,DC两两垂直.以D为原点,建立空间直角坐标系,如图, 则D(0,0,0),A1(2,1,0),C(0,0,),B1(2,-1,0), 所以=(-2,1,),=(2,1,0),=(0,0,).设平面A1CD的一个法向量为n=(x,y,z), 则令x=1,得n=(1,-2,0). 设直线B1C与平面A1CD所成的角为θ, 则sin θ=|cos<,n>|===, 所以直线B1C与平面A1CD所成角的正弦值为. 11.A　 [解析] 设正方体的棱长为1,=λ(0≤λ≤1),则=λ.以D为原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),O,B1(1,1,1),故==(-1,1,0),=(-λ,λ,0),又A1(1,0,1),所以P(1-λ,λ,1),所以=.连接DB1,易知DB1⊥平面A1BC1,所以=(1,1,1)是平面A1BC1的一个法向量,所以sin θ=|cos<,>|==.当λ=时,sin θ取得最大值,当λ=0或1时,sin θ取得最小值,所以sin θ的取值范围是.故选A. 12.ABD　[解析] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,连接BD,显然对角面BDD1B1是矩形,即BD∥B1D1,由AC⊥B1D1,得AC⊥BD,因此矩形ABCD是正方形,又DD1⊥平面ABCD,所以∠D1AD是AD1与平面ABCD所成的角,即∠D1AD=30°.令DD1=1,则AD=.以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(,0,0),B(,,0),A1(,0,1),C1(0,,1),D1(0,0,1).对于A,=(,0,1),=(-,0,1),则cos<,>===-,故<,>=120°,因此异面直线A1D与BC1所成的角为60°,A正确;对于B,=(0,,0),=(-,,0),则cos<,>===,故<,>=45°,因此异面直线AB与A1C1所成的角为45°,B正确;对于C,=(-,-,1),平面ADD1A1的一个法向量为n=(0,1,0),则cos<,n>===-,显然<,n>是不等于120°的钝角,因此BD1与平面ADD1A1所成的角不为60°,C错误;对于D,平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),则|cos<,m>|===,所以BD1与平面ABCD所成的角的正弦值为,D正确.故选ABD. 13.　[解析] 连接AG,BG,因为VA-BEF=VE-ABG+VF-ABG,S△ABG的值不变,所以当EF垂直于CD时,三棱锥A-BEF的体积最大,取AB的中点O,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B(0,1,0),C(0,1,2),E(-1,0,2),F(1,0,2),所以=(0,2,2),=(2,0,0),=(1,1,-2).设平面BEF的一个法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,则n=(0,2,1),设直线AC与平面BEF所成的角为θ,则sin θ===. [技巧点拨] 以垂直、对称、坐标最简化为原则建立坐标系,圆柱体建系一般都是以底面圆圆心为原点,旋转轴为坐标轴.体积问题常常应用体积分割、等体积法,将复杂几何体简单化,化一般为特殊. 14.解:(1)证明:如图,分别取AB,CD的中点E,F,连接PE,PF,EF,因为底面ABCD是边长为4的正方形,且PA=PB,所以PE⊥AB,EF⊥AB,又PE∩EF=E,PE,EF⊂平面PEF, 所以AB⊥平面PEF,又AB⊂平面ABCD,所以平面PEF⊥平面ABCD. 在平面PEF中,过点P作PO⊥EF于点O,因为平面PEF∩平面ABCD=EF,PO⊂平面PEF, 所以PO⊥平面ABCD.因为PA=PB=AB=4,PC=PD=2, 所以PE=×4=2,PF==2,EF=4, 由PE2+PF2=EF2,可得PE⊥PF,由S△PEF=PE·PF=PO·EF,可得PO==, 所以四棱锥P-ABCD的高为. (2)如图,以过点O的CD的平行线为x轴,OF,OP所在直线分别为y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.在Rt△POF中,OF===1, 则P(0,0,),A(-2,-3,0),B(2,-3,0),C(2,1,0), 所以=(2,-3,-),=(4,0,0),=(0,-4,0). 设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z), 则即可取n=(0,-1,).设=λ,λ∈[0,1],则=+=+λ=(-2λ,3λ-4,λ). 设直线QC与平面PAB所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|===,化简得18λ2-27λ+7=0,解得λ=或λ=(舍去). 故当=,即Q为BP上靠近点B的三等分点时,直线QC与平面PAB所成角的正弦值为. 15.D　[解析] 因为∠ABC=∠BCD=90°,所以AB∥CD,又DO∥BC,所以四边形DCBO是矩形,因为AB=2,DC=BC=1,所以DO=BC=CD=OB,即四边形DOBC是正方形,所以O是AB的中点,又PA=PB,所以PO⊥AB,PO==,因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PO⊂平面PAB,所以PO⊥平面ABCD.以O为坐标原点,OD,OB,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,则A(0,-1,0),B(0,1,0),C(1,1,0),P(0,0,),设E(x,0,z),则=(x,1,z),=(0,1,-),=(1,0,0).设平面PBC的一个法向量为n=(a,b,c),则取c=1,得n=(0,,1).因为直线AE与平面PBC所成的角为,所以|cos<,n>|===sin=,化简得x2=2z+2,由x2=2z+2≥0,得z≥-,又||===,所以当z=-时,||取得最小值.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $