3.1 椭圆 3.1.1 椭圆及其标准方程 第1课时 椭圆及其标准方程 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

**基本信息** 聚焦椭圆定义与标准方程，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，培养数学抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|椭圆定义、标准方程、焦点坐标|选择/填空题（1-8题），直接应用概念，如已知焦点求方程| |综合层|轨迹判断、焦点三角形、面积计算|解答题（9-14题），结合几何性质，如利用椭圆定义求周长| |提升层|最值问题、参数范围、跨情境应用|探究题（15-16题），需建模分析，如|PM|+|PF₁|最大值求解|

第三章　圆锥曲线的方程 3.1　椭圆 3.1.1　椭圆及其标准方程 第1课时　椭圆及其标准方程 1.以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点,且经过点的椭圆的标准方程为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+y2=1 2.[2026·沈阳五校协作体高二期中] 已知点F(2,0)是椭圆+=1(a>0)的一个焦点,则a= (　 ) A. B.5 C. D.7 3.[2026·孝感高级中学高二月考] “方程+=1表示椭圆”是“0<m<2”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知F1,F2是两个定点,且|F1F2|=2a(a是正常数),动点P满足|PF1|+|PF2|=a2+1,则动点P的轨迹是 (　 ) A.椭圆 B.线段 C.椭圆或线段 D.直线 5.[2026·临沂高二期中] 已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F,F',过F'作倾斜角为60°的直线交椭圆C于P,Q两点,则△PQF的周长为 (　 ) A.6 B.8 C.9 D.12 6.(多选题)若方程+=1表示椭圆C,则下列结论正确的是 (　 ) A.k∈(1,9) B.椭圆C的焦距为2 C.若椭圆C的焦点在x轴上,则k∈(1,5) D.若椭圆C的焦点在y轴上,则k∈(5,9) 7.[2026·汕头一中高二期中] 已知a=4,c=,椭圆的焦点在y轴上,则椭圆的标准方程是　　　　.  8.已知椭圆+=1上的一点P到一个焦点的距离为4,到另一个焦点的距离为8,则m等于　　　　.  9.(13分)分别求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)经过点(2,3),且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点; (2)经过P(-2,1),Q(,-2) 两点. 10.[2026·常州高二期中] 已知椭圆+=1的两个焦点为F1,F2,P为椭圆上一点,则|PF1|·|PF2|的最大值为 (　 ) A.25 B.50 C.16 D.9 11.数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形少数时难入微”.事实上,很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,例如,与相关的代数问题,可以转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间距离的几何问题.结合上述观点,方程+=6的解是 (　 ) A. B.± C. D.± 12.(多选题)已知点P是椭圆E:+=1上一点,F1,F2分别是椭圆E的左、右焦点,且△F1PF2的面积为4,则下列说法正确的是 (　 ) A.点P的纵坐标为2 B.∠F1PF2= C.△F1PF2的周长为4(+1) D.△F1PF2的内切圆半径为2(+1) 13.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,且满足|PF2|=|F1F2|,则|PF1|=　　　　,△PF1F2的面积为　　　　.  14.(15分)已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为C上一点. (1)若|F1F2|=2,点P的坐标为(0,-3),求椭圆C的标准方程; (2)若PF1⊥PF2,△F1PF2的面积为4,求b的值. 15.已知F1是椭圆C:+=1的左焦点,P为椭圆C上任意一点,点M的坐标为(5,4),则|PM|+|PF1|的最大值为　　　　.  16.(15分)已知F1,F2分别为椭圆W:+y2=1的左、右焦点,M为椭圆W上的一点. (1)若点M的坐标为(1,m)(m>0),求△F1MF2的面积; (2)若点M的坐标为(x0,y0),且∠F1MF2是钝角,求x0的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章　圆锥曲线的方程 3.1　椭圆 3.1.1　椭圆及其标准方程 第1课时　椭圆及其标准方程 1.B　[解析] 因为焦点在x轴上,所以C不正确;因为c=1,所以D不正确;将代入+=1得+=≠1,所以A不正确.故选B. 2.C　[解析] 由题意得c=2,则a2=3+4=7,则a=.故选C. 3.A　[解析] 若方程+=1表示椭圆,则 可得0<m<1或1<m<2,所以“方程+=1表示椭圆”可以推出“0<m<2”,但“0<m<2”不可以推出“方程+=1表示椭圆”,所以“方程+=1表示椭圆”是“0<m<2”的充分不必要条件.故选A. 4.C　[解析] 因为 a2+1≥2a(当且仅当a=1时,等号成立),所以|PF1|+|PF2|≥|F1F2|.当a>0且a≠1时,|PF1|+|PF2|>|F1F2|,此时动点P的轨迹是椭圆;当a=1时,|PF1|+|PF2|=|F1F2|,此时动点P的轨迹是线段F1F2.故选C. 5.D　[解析] 由题意可知a2=9,∴a=3,如图,|PQ|+|PF|+|QF|=|PF'|+|QF'|+|PF|+|QF| =(|PF'|+|PF|)+(|QF'|+|QF|)=4a=12,即△PQF的周长为12,故选D. 6.CD　[解析] 由题可知又椭圆中a2≠b2,故k-1≠9-k,可得k∈(1,5)∪(5,9),故A错误.当9-k>k-1>0,即k∈(1,5)时,焦点在x轴上,c2=a2-b2=9-k-(k-1)=10-2k;当k-1>9-k>0,即k∈(5,9)时,焦点在y轴上,c2=a2-b2=k-1-(9-k)=2k-10.故B错误,C,D正确.故选CD. 7.+x2=1　[解析] 因为a=4,c=,所以b2=a2-c2=1,又焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程是+x2=1. 8.36　[解析] 若焦点在x轴上,则由椭圆的定义得4+8=2,解得m=36;若焦点在y轴上,则4+8≠2,不合题意.综上,m=36. 9.解:(1)椭圆9x2+4y2=36,即+=1,故c=,焦点为(0,),(0,-). 设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0), 则可得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. (2)设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n),将P(-2,1),Q(,-2)的坐标分别代入方程得解得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 10.A　[解析] 根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10,由基本不等式可得10=|PF1|+|PF2|≥2,所以|PF1|·|PF2|≤25,当且仅当|PF1|=|PF2|=5时取等号,即|PF1|·|PF2|的最大值为25.故选A. 11.D　[解析] 因为==,所以可以转化为M(x,1)到N(-2,0)的距离,同理,可以转化为M(x,1)到P(2,0)的距离.因为+=6,所以M(x,1)到两定点N(-2,0)和P(2,0)的距离之和为6,所以M(x,1)在以点N(-2,0)和P(2,0)为焦点的椭圆上.设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),则2a=6,即a=3,又a2-b2=4,所以b2=5,所以椭圆的方程为+=1,把y=1代入,得+=1,解得x=±.故选D. 12.BC　[解析] 设点P(x,y),由E:+=1可得a2=8,b2=4,故c=2,则△F1PF2的面积为|F1F2|×|y|=2|y|=4,解得y=±2,则点P的纵坐标为±2,故A错误;由y=±2知,点P为椭圆短轴的端点,故|PF1|=|PF2|=2,又|F1F2|=4,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以∠F1PF2=,故B正确;因为点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=4,于是△F1PF2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=4+4,故C正确;设△F1PF2的内切圆半径为r,则(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)·r=×4(+1)·r=4,解得r=2(-1),故D错误.故选BC. 13.4　8　[解析] 取线段PF1的中点M,连接MF2.在椭圆C:+=1中,a=5,b=4,c==3,则|PF2|=|F1F2|=2c=6,由椭圆的定义可得|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4.因为M为PF1的中点,所以MF2⊥PF1,所以|MF2|===4,故=|PF1|·|MF2|=×4×4=8. 14.解:(1)因为|F1F2|=2c=2,所以c=1.因为点P(0,-3)在椭圆+=1上,所以+=1, 即=1,可得b=3. 因为c2=a2-b2,所以a2=b2+c2=9+1=10, 所以椭圆C的标准方程为+=1. (2)因为PF1⊥PF2,所以△F1PF2的面积S=×|PF1|×|PF2|=4,则|PF1|×|PF2|=8.根据椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a, 由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2, 又(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|×|PF2|,所以(2a)2=(2c)2+16, 即4a2=4c2+16,即a2=c2+4, 所以b2=a2-c2=4,可得b=2. 15.13　[解析] 设椭圆C的右焦点为F2,连接PF2,MF2,由椭圆C:+=1,得a=4,b=2,所以c=2,则F2(2,0),|PM|+|PF1|=2a+|PM|-|PF2|≤8+|MF2|,当且仅当P在MF2的延长线上时,等号成立,又|MF2|==5,所以|PM|+|PF1|的最大值为13. 16.解:(1)因为点M(1,m)在椭圆W上,所以+m2=1, 又m>0,所以m=. 因为a=2,b=1,所以c==, 所以F1(-,0),F2(,0), 所以=|F1F2|·m=×2×=. (2)因为点M在椭圆W上,所以-2<x0<2. 在△F1MF2中,由余弦定理得cos∠F1MF2= = ,因为∠F1MF2是钝角,所以(x0+)2++(x0-)2+-12<0, 又因为=1-,所以<,解得-<x0<, 故x0的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $