2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系(A) (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，以直线与圆位置关系为核心，从概念辨析到实际应用，培养数学思维与几何直观，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-8题）|位置关系判断、弦长计算、相切条件|单选/填空聚焦公式直接应用，如第1题距离法判断位置关系| |综合层（9-12题）|参数讨论、多情况分析|解答题结合倾斜角求弦长（第9题），多选题考查切线方程分类（第6题）| |提升层（13-16题）|实际情境应用、几何代数综合|航海触礁问题（第16题）融合坐标建模，切线长与向量综合（第15题）发展应用意识|

2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1　直线与圆的位置关系(A) 1.直线l:3x+4y-1=0与圆C:(x-2)2+y2=4的位置关系为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 2.直线y=x+1被圆x2+y2=2截得的弦长为 (　 ) A. B. C. D. 3.若圆(x-a)2+(y+2)2=a2与直线2x+ay-3a=0相切,则圆的面积为 (　 ) A.π B.2π C.4π D.5π 4.直线3x+4y-9=0与以C(-1,-2)为圆心的圆相交于A,B两点,若|AB|=6,则圆C的方程为 (　 ) A.(x+1)2+(y+2)2=5 B.(x+1)2+(y+2)2=25 C.(x-1)2+(y-2)2=5 D.(x-1)2+(y-2)2=25 5.已知圆C:(x-1)2+y2=1,过直线3x+4y-13=0上的动点P作圆C的一条切线,切点为A,则|PA|的最小值为 (　 ) A.2 B.4 C. D.3 6.(多选题)过点(0,1)且与圆(x-1)2+(y+2)2=1相切的直线的方程可能是 (　 ) A.x=0 B.y=0 C.4x+3y-3=0 D.3x+4y-4=0 7.设k为实数,则直线l:kx-y-4k+3=0与圆C:x2+y2-6x-8y+21=0的交点个数为　　　　.  8.若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是　　　　　　.  9.(13分)已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=4外有一点P(4,-1),过点P作直线l. (1)当直线l与圆C相切时,求直线l的方程; (2)当直线l的倾斜角为135°时,求直线l被圆C所截得的弦长. 10.[2026·十堰八校教联体高二联考] 若直线l:y=x+b与曲线C:x=有且仅有一个公共点,则实数b的取值范围是 (　 ) A.(-,]∪{-2} B.[-,]∪{-2} C.[-,)∪{2} D.(-2,2] 11.[2026·济宁高二期中] 已知圆C:x2+(y-1)2=r2(r>0),过点P(,0)的直线与圆C交于A,B两点.若|PA|=|AB|=r,则r的值为 (　 ) A. B. C. D. 12.(多选题)已知过点P(-2,-1)的直线l与圆C:(x-2)2+(y+2)2=4交于A,B两点,O为坐标原点,则 (　 ) A.|PA|>2 B.|AB|的最大值为4 C.当直线l不过圆心C时,△ABC面积的最大值为4 D.点O到直线l的距离小于 13.一条光线从点(-2,-3)发出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为　　　　　　.  14.(15分)[2026·湖北襄阳四中高二期中] 已知圆C:(x-1)2+y2=1. (1)若直线l:y=kx+2被圆C截得的弦长为,求k的值; (2)若直线y=x+a和直线y=x+b将圆C的周长四等分,求|a-b|的值. 15.(多选题)[2026·重庆育才中学高二期中] 已知圆C:x2+y2-6x+7=0和直线l:x-y+3=0,点P为直线l上的动点,过点P作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则下列说法正确的是 (　 ) A.圆心C到直线l的距离为3 B.若直线m与l平行,且与圆C相切,则直线m与l间的距离为4 C.切线长|PB|的最小值为4 D.·的最大值为- 16.(15分)[2026·哈尔滨三中高二月考] 如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向20 km处,B岛在O岛的正东方向10 km处.已知在经过O,A,B三个点的圆形区域内有未知暗礁,以O为坐标原点,正东方向为x轴的正方向,1 km为单位长度,建立平面直角坐标系. (1)写出暗礁所在区域边界的圆的方程. (2)现有一船在O岛的南偏西30°方向20 km处,正沿着北偏东45°方向行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险? 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1　直线与圆的位置关系(A) 1.A　[解析] 由题知,圆C的圆心为C(2,0),半径r=2,因为圆心C(2,0)到直线l:3x+4y-1=0的距离d==1<r=2,所以圆C与直线l相交.故选A. 2.A　[解析] 圆x2+y2=2的圆心为(0,0),半径为,所以圆心(0,0)到直线x-y+1=0的距离为=,所以直线y=x+1被圆x2+y2=2截得的弦长为2×=.故选A. 3.D　[解析] 由圆的方程为(x-a)2+(y+2)2=a2,可知圆心为(a,-2),半径为|a|,故圆心到直线2x+ay-3a=0的距离d===|a|,显然|a|≠0,所以=1,解得a2=5,于是圆的面积S=πa2=5π.故选D. 4.B　[解析] 易知C(-1,-2)到直线3x+4y-9=0的距离d==4,所以圆C的半径r==5,故圆C的方程为(x+1)2+(y+2)2=25.故选B. 5.C　[解析] 连接PC,AC,则|PA|2=|PC|2-|AC|2,所以当|PC|最小时,|PA|最小.因为圆C:(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),所以|PC|min==2,又|AC|=1,故|PA|的最小值为=.故选C. 6.AC　[解析] 当切线的斜率不存在时,切线方程为x=0,满足题意.当切线的斜率存在时,设切线方程为y=kx+1,由切线与圆(x-1)2+(y+2)2=1相切得=1,解得k=-,故切线方程为4x+3y-3=0.故选AC. 7.2　[解析] 由l:k(x-4)-y+3=0,得直线l恒过点(4,3).圆C的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=4,因为(4-3)2+(3-4)2=2<4,所以点(4,3)在圆C内,所以直线l与圆C相交,则直线l与圆C有2个交点. 8.x-y-3=0　[解析] 设圆心为C,连接PC,则C(1,0),由圆的性质知PC⊥AB,易知直线PC的斜率存在且不为0,所以kPC·kAB=-1,又直线PC的斜率kPC==-1,所以kAB=1,即直线AB的斜率为1.又直线AB过点P(2,-1),所以直线AB的方程为y-(-1)=x-2,即x-y-3=0. 9.解:(1)由题意知,圆C的圆心为(2,3),半径r=2. 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=4,此时直线l与圆C相切; 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+1=k(x-4), 即kx-y-4k-1=0,若直线l与圆C相切,则=2,解得k=-, 此时直线l的方程为3x+4y-8=0. 综上,直线l的方程为x=4或3x+4y-8=0. (2)当直线l的倾斜角为135°时,直线l的方程为y+1=-(x-4), 即x+y-3=0,圆心到直线l的距离d==,故所求弦长为2=2×=2. 10.A　[解析] 由x=,可得x2+y2=2,且x≥0,故曲线C为圆x2+y2=2在y轴及右侧的部分,作出曲线C,如图所示.当直线l:x-y+b=0与曲线C相切且切点在第四象限时,直线l与曲线C有且仅有一个公共点,此时b<0,且有=,可得b=-2;当直线l过点(0,-)时,直线l与曲线C有两个公共点,此时b=-;当直线l过点(0,)时,直线l与曲线C有且仅有一个公共点,此时b=.结合图形可知,当b∈(-,]∪{-2}时,直线l与曲线C有且仅有一个公共点.故选A. 11.C　[解析] 如图,取AB的中点D,连接CD,CB,CA,PC,因为|AB|=|CA|=|CB|=r,所以△ABC为等边三角形,所以|CD|=r,|DP|=|PA|+|AD|=r,又点C(0,1),点P(,0),所以|PC|=2.在直角三角形PCD中,|CD|2+|DP|2=|PC|2,即+=22,可得r=.故选C. 12.ABD　[解析] 圆C的圆心为C(2,-2),半径r=2,因为(-2-2)2+(-1+2)2>4,所以点P在圆C外.对于A选项,|PA|min=|PC|-r=-2=-2>2,则|PA|>2,A正确;对于B选项,当直线l过圆心C时,|AB|取得最大值,且最大值为2r=4,B正确;对于C选项,S△ABC=|CA|·|CB|sin∠ACB=×22sin∠ACB=2sin∠ACB≤2,当且仅当∠ACB=90°时,等号成立,则△ABC面积的最大值为2,C错误;对于D选项,因为kOP=,所以当OP⊥l时,直线l的斜率为-2,点O到直线l的距离最大,此时直线l的方程为y+1=-2(x+2),即2x+y+5=0,圆心C到直线l的距离为=>2,此时直线l与圆C相离,点O到直线l的距离为|OP|=,而直线l与圆C相交,故点O到直线l的距离小于,D正确.故选ABD. 13.-或-　[解析] 根据反射定律,反射光线所在直线就是过点(2,-3)所作圆的切线,设其斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0,则=1,解得k=-或-. 14.解:(1)由题意得圆心为C(1,0),半径为1,当弦长为时,弦心距为=, 可得=,解得k=-1或-7. (2)设直线y=x+a与圆C交于点E,F,直线y=x+b与圆C交于点M,N. 因为直线y=x+a和直线y=x+b将圆C:(x-1)2+y2=1的周长四等分,所以圆心位于两直线之间, 如图,连接CE,CF,CM,CN,则∠ECF=∠MCN=, 所以△ECF为等腰直角三角形,所以圆心C到直线y=x+a的距离为, 同理可得圆心C到直线y=x+b的距离为,故直线y=x+a和直线y=x+b间的距离为,所以=,即|a-b|=2. 15.ACD　[解析] 对于A,将圆的方程化成标准方程为(x-3)2+y2=2,则圆心为C(3,0),半径r=,所以圆心C到直线l的距离d==3,A正确;对于B,当直线m与l平行,且与圆C相切时,直线m与l间的距离为2或4,B错误;对于C,由切线长定理可知,|PB|==,又|CP|的最小值即为圆心到直线l的距离,所以|PB|min==4,C正确;对于D,·=r2cos∠ACB=2cos∠ACB,在Rt△APC中,cos∠ACP=,由余弦函数的单调性可知,当|CP|最小时,∠ACP取得最小值,此时∠ACB取得最小值,此时cos∠ACP==,cos∠ACB=2cos2∠ACP-1=-,所以·的最大值为2×=-,D正确.故选ACD. 16.解:(1)∵A岛在O岛的北偏东45°方向20 km处,∴A(20,20). ∵B岛在O岛的正东方向10 km处,∴B(10,0). 设过O,A,B三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 将O,A,B的坐标分别代入圆的方程,得 解得 则圆的方程为x2+y2-10x-30y=0. (2)∵圆的方程为x2+y2-10x-30y=0,∴圆心为(5,15),半径r=5. 设船起初所在的位置为C,则C(-10,-10), 由题意知该船航线所在直线的斜率为1, 则该船航线所在直线的方程为y+10=x+10,即x-y+10-10=0. ∵圆心(5,15)到直线x-y+10-10=0的距离d==5<5, ∴若不改变方向,则该船有触礁的危险. 学科网（北京）股份有限公司 $