2.2 直线的方程 2.2.2 直线的两点式方程 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

**基本信息** 本同步练围绕“直线的两点式方程”，通过基础巩固、综合应用、拓展挑战三层设计，构建“概念理解-运算技能-问题解决”的知识巩固路径，培养数学运算、几何直观与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|两点式方程直接应用、截距概念|选择/填空题（1-3,7-8），聚焦公式记忆与基本运算| |进阶层|截距关系、直线位置关系、综合计算|解答题（9,14）及多选题（6,12），强化推理与知识关联| |挑战层|几何图形中的直线应用|含菱形向量（15）、直角梯形（16）情境题，发展空间观念与创新意识|

2.2.2　直线的两点式方程 1.过点(1,2),(5,3)的直线的两点式方程为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.= B.= C.= D.= 2.直线-=1在y轴上的截距为 (　 ) A.-2 B.- C.2 D.3 3.在x轴、y轴上的截距分别是-3,4的直线方程为 (　 ) A.+=1 B.+=1 C.-=1 D.+=1 4.[2026·镇江中学高二月考] 直线l1:-=1和l2:-=1在同一坐标系中的位置可能是 (　 ) A B C D 5.过点作直线l,则满足在两坐标轴上的截距之积为2的直线l的条数为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.(多选题)已知直线l过点(0,2),(,1),则 (　 ) A.点C(2,-1)在直线l上 B.直线l的两点式方程为= C.直线l的一个方向向量的坐标为(1,-) D.直线l的截距式方程为+=1 7.已知直线l的两点式方程为=,则l的斜率为　　　　.  8.若直线l经过点P(1,-3),且与两坐标轴围成等腰直角三角形,则直线l的方程为　　　　　　　　.  9.(13分)已知三角形ABC的顶点为A(-1,5),B(-2,-1),C(4,3),M是BC边的中点. (1)求AB边所在直线的方程; (2)求中线AM所在直线的方程. 10.[2026·长春第二实验中学高二月考] 在平面直角坐标系中,曲线C:+|y|=1的周长为 (　 ) A.4 B.6 C.8 D.10 11.[2026·北京钱学森中学高二月考] 设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程为 (　 ) A.2x+y-7=0 B.2x-y-4=0 C.x+y-5=0 D.x+y-1=0 12.(多选题)下列说法正确的是 (　 ) A.在x轴和在y轴上截距相等的直线都可以用方程+=1表示 B.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行于y轴的直线 C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1) D.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程为(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0 13.若直线l与两坐标轴的交点分别为A,B,且线段AB的中点为(3,1),则直线l的方程为　　　　　　.  14.(15分)已知直线l过点P(3,4). (1)若直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍,求直线l的方程. (2)若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,求△AOB(O为坐标原点)的面积的最小值及此时直线l的方程. 15.已知菱形ABCD的边长为3,|AC|=2,E为BC边上的动点,则·的最小值为　　　　.  16.(15分)在四边形OABC中,O是坐标原点,A(2,0),点C在y轴上,点B是直线x-y=3上的动点,kBC=. (1)当点B的横坐标为5时,求边AB,BC及对角线AC所在直线的方程; (2)若四边形OABC为直角梯形,求点C的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.2　直线的两点式方程 1.B　[解析] 因为直线过点(1,2),(5,3),所以直线的两点式方程为=.故选B. 2.A　[解析] 直线-=1在y轴上的截距为-2.故选A. 3.A　[解析] 由截距式方程可得,所求直线方程为+=1.故选A. 4.A　[解析] 由截距式方程可得直线l1在x轴、y轴上的截距分别为a,-b,直线l2在x轴、y轴上的截距分别为b,-a.对于选项A,由l1的位置可得a<0,b>0,由l2的位置可得b>0,a<0,故A正确;对于选项B,由l1的位置可得a<0,b>0,由l2的位置可得b>0,a>0,故B错误;对于选项C,由l1的位置可得a<0,b<0,由l2的位置可得b>0,a<0,故C错误;对于选项D,由l1的位置可得a>0,b>0,由l2的位置可得b>0,a<0,故D错误.故选A. 5.B　[解析] 由题意可设直线l的方程为+=1(a≠0),将点的坐标代入,可得+=1(a≠0),即3a2-6a+2=0.因为Δ=36-4×3×2=12>0,所以方程3a2-6a+2=0有两个不同的实数根,故满足题意的直线l的条数为2.故选B. 6.BD　[解析] 对于A,因为直线l过点(0,2),(,1),所以直线l的斜率k1==-,设A(0,2),则kAC==-≠k1,故点C(2,-1)不在直线l上,故A错误;对于B,直线l的两点式方程为=,故B正确;对于C,若直线l的一个方向向量的坐标为(1,-),则直线l的斜率k1=-,与A的分析不符,故C错误;对于D,由B中的两点式方程,整理得截距式方程为+=1,故D正确.故选BD. 7.-　[解析] 原方程即为=-x,则y=-x-3,所以l的斜率为-. 8.x-y-4=0或x+y+2=0　[解析] ∵直线l经过点P(1,-3),且与两坐标轴围成等腰直角三角形,∴可设直线l的方程为+=1(|a|=|b|≠0),把点P(1,-3)的坐标代入可得+=1,即b-3a=ab,又|a|=|b|≠0,∴a=-b=4 或 a=b=-2,故直线l的方程为x-y-4=0或x+y+2=0. 9.解:(1)方法一:由两点式方程得AB边所在直线的方程为=,整理得6x-y+11=0. 方法二:直线AB的斜率k==6, 故直线AB的方程为y-5=6(x+1),即6x-y+11=0. (2)设M的坐标为(x0,y0),则由中点坐标公式可得x0==1,y0==1,故M(1,1), 所以直线AM的方程为=,整理得2x+y-3=0. 10.C　[解析] 在曲线C的方程+|y|=1中,用-x替换x或用-y替换y,曲线C的方程都没有变,所以曲线C关于x轴、y轴对称.当x≥0,y≥0时,曲线C的方程为+y=1,表示以点(,0)和点(0,1)为顶点的线段,其长度为=2,根据对称性知,其他三条线段的长也为2,所以曲线C:+|y|=1的周长为4×2=8.故选C. 11.C　[解析] 因为点P在直线x-y+1=0上,且点P的横坐标为2,所以点P的坐标为(2,3),易知点A为直线x-y+1=0与x轴的交点,所以A(-1,0),又点B在x轴上,且|PA|=|PB|,所以点(2,0)是AB的中点,所以B(5,0),所以直线PB的方程为=,整理得x+y-5=0.故选C. 12.BD　[解析] 对于A,若直线过原点,则直线在x轴和在y轴上的截距都为零,但此时直线不可以用方程+=1表示,故A错误;对于B,当m=0时,方程为x-2=0,此时所表示的直线与y轴平行,故B正确;对于C,当θ=90°时,tan θ不存在,此时直线方程为x=1,故C错误;对于D,设点P(x,y)是经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线上的任意一点,根据∥可得(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0,故D正确.故选BD. 13.x+3y-6=0　[解析] 由题知,直线l在x轴、y轴上的截距都存在且不为0,设直线l的方程为+=1,因为线段AB的中点为(3,1),所以=3,=1,可得a=6,b=2,则直线l的方程为+=1,即x+3y-6=0. 14.解:(1)①当直线l过原点时,符合题意,此时直线l的斜率k=,故直线l的方程为y=x,即4x-3y=0. ②当直线l不过原点时,∵直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍,∴可设直线l的方程为+=1. ∵直线l过点P(3,4),∴+=1,解得m=5, ∴直线l的方程为+=1,即2x+y-10=0. 综上所述,直线l的方程为4x-3y=0或2x+y-10=0. (2)设直线l的方程为+=1(a>0,b>0), 由直线l过点P(3,4)得+=1, ∴1≥2,得ab≥48,当且仅当a=6,b=8时取等号,∴△AOB的面积S=ab≥×48=24,故△AOB的面积的最小值为24,此时直线l的方程为4x+3y-24=0. 15.　[解析] 连接BD交AC于点O,以O为原点,AC,BD所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,如图.由题意得|OB|==,则A(-,0),B(0,),C(,0),D(0,-),故直线BC的方程为+=1,即y=-x+.设E(t,-t+),0≤t≤,则=(--t,t-),=(-t,t-2),所以·=t2+t+2t2-6t+12=3t2-5t+12=3+≥,当且仅当t=时取等号,所以·的最小值为. 16.解:设点C(0,t). (1)当点B的横坐标为5时,点B的坐标是(5,2),则kBC==,解得t=1,所以C(0,1),所以直线AB的方程为=, 即2x-3y-4=0,直线BC的方程为y=x+1,即x-5y+5=0,直线AC的方程为+=1,即x+2y-2=0. (2)因为kBC=,所以直线BC与y轴不垂直.若四边形OABC为直角梯形,则有AB⊥x轴,所以点B的横坐标为2,则B(2,-1). 由kBC=,得=,解得t=-,即C. 学科网（北京）股份有限公司 $