2.1 直线的倾斜角与斜率 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

**基本信息** 聚焦直线平行垂直判定，分层设计基础巩固、中档综合、提升拓展三级梯度，通过概念辨析、几何应用到综合问题解决，培养运算能力与推理意识，适配新授课知识内化与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一知识点（斜率、倾斜角计算）|直接考查定义与公式应用（如第1-5题斜率计算）| |中档层|知识综合（平行垂直性质辨析、几何图形应用）|结合图形与多知识点融合（如第10题折叠问题）| |提升层|综合应用（复杂情境问题解决）|含探究性与跨情境综合题（如第16题四点坐标关系证明）|

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 1.D　[解析] 因为直线l1的斜率为1,l1⊥l2,所以直线l2的斜率为-1,故直线l2的倾斜角为135°,故选D. 2.A　[解析] 由题意知==1,=tan 135°=-1,因为·=-1,所以l1⊥l2.故选A. 3.C　[解析] 因为直线l1的一个方向向量为a1=(k,1),直线l2的一个方向向量为a2=(2-k,k),l1∥l2,所以a1∥a2,则k2=2-k,解得k=-2或k=1.故选C. 4.A　[解析] ∵B(2,1),C(0,2),∴kBC==-,设BC边上的高所在直线的斜率为k1,则kBC·k1=-1,∴k1=2.故选A. 5.B　[解析] 因为直线l1经过两点A(4,2y+1),B(2,-3),所以直线l1的斜率k1==y+2.因为直线l2的倾斜角为π,所以直线l2的斜率k2=tanπ=-1.因为l1∥l2,所以k1=k2,即y+2=-1,所以y=-3.故选B. 6.ABC　[解析] 对于A,若l1∥l2,则k1=k2,A正确;对于B,若k1=k2,则l1 ∥ l2,B正确;对于C,若l1 ∥ l2,则α1=α2,C正确;对于D,若l1⊥l2,则k1k2=-1,D不正确.故选ABC. 7.-　[解析] 由题意知,直线l1的斜率k1=tan α1=tan 30°=,设直线l2的斜率为k2,因为l1⊥l2,所以k1·k2=-1,所以k2=-. 8.　[解析] 设直线l的倾斜角为α(0≤α<π),因为直线l平行于第二、四象限的平分线,所以直线l的斜率k=-1,所以tan α=-1,可得α=. 9.解:(1)因为l'的斜率为2,且l∥l',直线l经过点A(-1,2),B(1,m),所以=2,解得m=6. (2)因为l'的一个方向向量的坐标为(-1,3),所以l'的斜率为=-3,又因为l⊥l',所以直线l的斜率为-=,即=,解得m=. 10.D　[解析] 设A(2,0),B(-2,4),则直线AB的斜率为=-1.由题意知,过点(2025,2026)和点(a,b)的直线与直线AB平行,所以=-1,整理得a+b=2025+2026=4051.故选D. 11.D　[解析] 设点C的坐标为(x,y),∵直线AH的斜率kAH==0,BC⊥AH,且点B的横坐标为6,∴x=6,又kBH==2,BH⊥AC,∴kAC==-,则y=-2,∴点C的坐标为(6,-2).故选D. 12.ACD　[解析] 设P(x,0),易知当x=1或x=6时,不合题意,因此x≠1且x≠6,可得kMN==-1,kMP=-,kNP=.当M为直角顶点时,kMN·kMP=(-1)·=-1,解得x=-2,此时点P的坐标为(-2,0).当N为直角顶点时,kMN·kNP=(-1)·=-1,解得x=8,此时点P的坐标为(8,0).当P为直角顶点时,kMP·kNP=-·=-1,整理得x2-7x=0,解得x=0或x=7,此时点P的坐标为(0,0)或(7,0).故选ACD. 13.矩形　[解析] 由题得kOP==t,kRQ===t,kOR==-,kPQ===-,所以kOP=kRQ,kOR=kPQ,从而OP∥RQ,OR∥PQ,所以四边形OPQR为平行四边形.又kOP·kOR=-1,所以OP⊥OR,故四边形OPQR为矩形. 14.解:(1)设Q(0,y),因为kMN==3,PQ⊥MN, 所以kPQ=-,故=-,解得y=1,所以Q(0,1). (2)设Q(x,0),因为∠NQP=∠NPQ,所以kNQ=-kNP, 又kNQ=,kNP=-2,所以=2,解得x=1, 所以Q(1,0),结合M(1,-1),得MQ⊥x轴, 故直线MQ的倾斜角为90°. 15.4+　[解析] 由题意知,直线l1的倾斜角为30°+30°=60°,所以直线l1的斜率k1=tan 60°=.当m=1时,直线AB的斜率不存在,此时l2的斜率为0,不满足l1∥l2.当m=3时,直线AB的斜率为0,此时l2的斜率不存在,不满足l1∥l2.当m≠1且m≠3时,直线AB的斜率为=,所以l2的斜率k2=.因为l1∥l2,所以k1=k2,即=,解得m=4+. 16.解:(1)当m=-2时,直线AB⊥x轴,C(1,1),D(0,3),直线CD与x轴不垂直,即直线AB与直线CD不平行,不符合题意; 当m=-1时,直线CD⊥x轴,A(-1,4),B(-2,-1),直线AB与x轴不垂直,即直线AB与直线CD不平行,不符合题意; 当m≠-2且m≠-1时,直线AB,CD的斜率都存在,且直线AB的斜率kAB=,直线CD的斜率kCD=. 因为直线AB与直线CD平行,所以kAB=kCD,即=,整理可得m2-m=0,解得m=0或m=1. 经检验,m=0,m=1均符合题意. 综上所述,当直线AB与直线CD平行时,m=0或m=1. (2)证明:若m=1,则A(1,4),B(-2,1),C(1,1),此时AC⊥x轴,BC⊥y轴,所以∠ACB=90°; 若m≠1,则直线AC的斜率kAC=,直线BC的斜率kBC=-,此时kAC·kBC=-1,所以∠ACB=90°. 综上所述,无论m取何值,总有∠ACB=90°. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 1.若直线l1的斜率为1,l1⊥l2,则直线l2的倾斜角为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.45° B.60° C.90° D.135° 2.已知直线l1经过A(-3,4),B(-8,-1)两点,直线l2的倾斜角为135°,那么l1与l2 (　 ) A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直 3.已知直线l1的一个方向向量为a1=(k,1),直线l2的一个方向向量为a2=(2-k,k),若l1∥l2,则k= (　 ) A.-2 B.1 C.-2或1 D.0或2 4.若△ABC的三个顶点为A(1,0),B(2,1),C(0,2),则BC边上的高所在直线的斜率为 (　 ) A.2 B.-2 C.- D. 5.若直线l1经过两点A(4,2y+1),B(2,-3),直线l2的倾斜角为π,且l1∥l2,则y的值为 (　 ) A.-1 B.-3 C.0 D.2 6.(多选题)若l1与l2为两条不重合的直线,它们的倾斜角分别为α1,α2,斜率分别为k1,k2,则下列说法正确的是 (　 ) A.若l1∥l2,则k1=k2 B.若k1=k2,则l1∥l2 C.若l1∥l2,则α1=α2 D.若l1⊥l2,则k1k2=1 7.如图所示,直线l1的倾斜角α1=30°,l1⊥l2,则直线l2的斜率为　　　　.  8.已知直线l平行于第二、四象限的平分线,则直线l的倾斜角为　　　　(用弧度制表示).  9.(13分)[2026·沈阳二十二中高二月考] 已知直线l经过点A(-1,2),B(1,m). (1)若l'的斜率为2,且l∥l',求m的值; (2)若l'的一个方向向量的坐标为(-1,3),且l⊥l',求m的值. 10.张老师玩折纸游戏,他将一张画了直角坐标系(两坐标轴的单位长度相同)的纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2,4)重合,点(2025,2026)与点(a,b)重合,则a+b= (　 ) A.4048 B.4049 C.4050 D.4051 11.已知△ABC的两个顶点为A(-2,2),B(6,4),若H(5,2)是△ABC的垂心,则点C的坐标为 (　 ) A.(6,2) B.(-2,2) C.(-4,-2) D.(6,-2) 12.(多选题)[2026·西安一中高二月考] 已知点M(1,3),N(6,-2),点P在x轴上,若△MNP为直角三角形,则点P的坐标可能是 (　 ) A.(0,0) B.(2,0) C.(7,0) D.(8,0) 13.在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0,则四边形OPQR的形状为　　　　.  14.(15分)已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0). (1)若点Q在y轴上,且满足PQ⊥MN,求点Q的坐标; (2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角. 15.直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,将直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,若直线l1与l2平行,且l2与直线AB垂直,其中A(1,m-1),B(m,2),则实数m的值是　　　　.  16.(15分)已知A(m,4),B(-2,m),C(1,1),D(m+2,3)四点. (1)当直线AB与直线CD平行时,求m的值; (2)求证:无论m取何值,总有∠ACB=90°. 学科网（北京）股份有限公司 $