1.1.2 空间向量的数量积运算课后同步作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础辨析、中档应用、综合探究三层设计，构建从概念理解到空间应用的知识巩固路径，培养数学抽象与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础（1-7题）|数量积性质与基本运算|单选形式聚焦概念辨析，如第1题考查数量积核心性质，强化抽象能力| |中档（8-13题）|几何体中数量积应用|多选与填空结合，如第8题四棱柱向量关系判断，提升推理能力| |提升（14-15题）|综合运算与空间建模|解答题整合向量表示、夹角计算，如15题平行六面体问题，体现空间观念与模型意识|

1.1.2 空间向量的数量积运算课后同步作业 （限时：45分钟） 1．对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 【答案】C 【分析】根据空间向量的概念逐项判断即可. 【详解】选项A：若，，则与不一定平行，如在正方体中，    满足，，此时，故A说法错误； 选项B：表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以与不一定相等，B说法错误； 选项C：向量的数量积满足乘法分配律，所以，C说法正确； 选项D：若，则与模长相等，方向不一定，所以与不一定相等，D说法错误； 故选：C 2．三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】A 【分析】三棱锥中，由题意可得任意两条棱的夹角为60°，又分别是的中点，再根据数量积的定义求解． 【详解】 分别是的中点，且，即， 又三棱锥的所有棱长都为，任意两条棱的夹角为60°， ， 故选：A. 3．如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据、，应用向量数量积的运算律及夹角公式求直线与BM所成角的余弦值，进而求其正弦值. 【详解】设，， 由， 所以， 因为， 所以， ， 所以，直线与BM所成角的正弦值为. 故选：C 4．如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算可得，结合空间向量数量积的运算律计算可得. 【详解】由题意得，，，，， ∴，，. ∵， ∴ . 故选：D. 5．在平行六面体中，，，则的长为（    ） A．10 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】应用空间向量加法的几何意义有，再由向量数量积的运算律求的长. 【详解】如下图，， 所以 ， 所以. 故选：C. 6．在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得正三角形，过点作，垂足为，从而得到向量在上的投影向量为. 【详解】因为在正方体中，, 所以正三角形，过点作，垂足为. 则，所以向量在上的投影向量为. 故选：B 7．线段在平面内，，且，则两点间的距离为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，，即得，又，再由，利用数量积的运算即可求解. 【详解】由，，，得，， 得到，又所以， ， ，∴. 8．（多选）在四棱柱中，，，为底面的中心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由向量加减法的几何意义判断AB,利用数量积和夹角模长公式判断CD可得答案. 【详解】对于选项A，，正确； 对于选项B，，错误； 对于选项C，，错误； 对于选项D，易得为正三角形， 故，正确； 故选：AD． 9．（多选）平行六面体的底面是正方形，，，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．点在平面内 C． D．直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】由平方可判断A；利用空间向量共面的基本定理可判断B选项；求出，利用空间向量数量积的运算性质可判断C选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，如下图所示：    因为， 所以 ， ，故A正确； 对于B选项，由题意可知、分别为正方形、的中心， 所以，同理可得， 所以， 所以 ， 所以， 所以、、共面，故点在平面内，B对； 对于C选项， ，故，C错； 对于D选项， ， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为，D对. 故选：ABD. 10．（多选）在三棱锥中，为边长为2的正三角形，，，设二面角的大小为，，G为的重心，则下列选项正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则在平面PAC内的投影向量为 D．若，则 【答案】ACD 【分析】A选项,利用重心的向量性质，结合向量减法推导向量表达式.B选项,取AC中点O，结合二面角得向量夹角，将分解为，通过向量模长平方公式计算判断.C选项,由二面角为90°得平面，根据投影向量定义确定的投影向量.D选项,由得为等边三角形，利用的向量表达式，通过向量模长平方公式计算的长度. 【详解】对于A选项，因为， 所以，故A正确. 对于B选项，如图，取中点，过作且，连接，则平面. 因为△为正三角形，所以，， 因为，所以，所以， 所以二面角的平面角为，则. ，则，则， 因为，，，，， 所以 ， 所以，故B不正确. 对于C选项，若，则平面平面， 由于平面平面，平面且， 所以平面PAC， 所以在平面PAC内的投影向量为，故C正确. 对于D选项，若，则为等边三角形，. 因为， 所以 ， 所以，故D正确. 故选：ACD 11．在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且，则对角线长为_____ 【答案】 【详解】由题意得， 所以 ， 故对角线. 12．在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且，则的长为__________. 【答案】 【分析】利用空间向量数量积的运算性质可求得的长. 【详解】如下图所示： 由空间向量数量积的定义可得，， 同理可得， 所以 ， 故. 故答案为：. 13．已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】设O为中点，先由题设得和，进而得点M在以O为球心，半径为的球上，接着设 ，再将转化成即可计算求解. 【详解】如图，O为中点，则由题意且， 所以. 因为，则即， 所以点M在以O为球心，半径为的球上， 设，则， 所以. 故答案为：. 14．如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且.    (1)用向量表示； (2)求； (3)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解； （2）利用向量的模与数量积的关系求解即可； （3）利用向量的夹角公式计算即可求解. 【详解】（1） ； （2） （3）因为， 所以 . . 由正四面体的棱长为2，可得， 所以. 15．如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，． (1)试用，，表示向量，并求向量的长度； (2)求； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)，长度为； (2)； (3). 【分析】（1）根据平行六面体的性质，结合已知条件，运用向量加法表示向量，再结合已知条件求出向量的模； （2）利用向量数量积的运算规则计算求解； （3）先求出向量数量积，再分别求出向量的模，最后利用向量夹角余弦公式求解． 【详解】（1）由平行六面体的性质可知， 是的中点， ， ， ， ， ． （2）． （3），， ， 又， ， ， 异面直线与所成角的余弦值为． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.2 空间向量的数量积运算课后同步作业 （限时：45分钟） 1．对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 2．三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 3．如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（    ） A． B． C．1 D． 4．如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（   ） A． B．2 C． D．1 5．在平行六面体中，，，则的长为（    ） A．10 B．12 C． D． 6．在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．线段在平面内，，且，则两点间的距离为（   ） A．5 B． C． D． 8．（多选）在四棱柱中，，，为底面的中心，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选）平行六面体的底面是正方形，，，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．点在平面内 C． D．直线与所成角的余弦值为 10．（多选）在三棱锥中，为边长为2的正三角形，，，设二面角的大小为，，G为的重心，则下列选项正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则在平面PAC内的投影向量为 D．若，则 11．在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且，则对角线长为_____ 12．在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且，则的长为__________. 13．已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是_______． 14．如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且.    (1)用向量表示； (2)求； (3)求向量与夹角的余弦值. 15．如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，． (1)试用，，表示向量，并求向量的长度； (2)求； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $