2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“直线与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理从位置关系的几何法（圆心到直线距离与半径比较）和代数法（联立方程判别式）判断，到相交弦长计算、切线方程求解及实际问题应用的完整知识链条，搭建递进式学习支架。 该资料设计亮点突出，通过诊断分析题夯实基础认知，探究点结合变式练习培养学生推理能力（数学思维），实际问题案例（如隧道行车、海监船监测）引导用数学语言表达现实世界。课中助力教师分层教学，课后学生可借素养小结梳理方法，有效查漏补缺。

2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1　直线与圆的位置关系 【学习目标】 　　1.能用几何方法和代数方法描述直线与圆的三种位置关系. 　　2.能根据给定直线、圆的方程,通过研究联立方程组解的情况或通过计算圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系. 　　3.知道直线与圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用,会用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题. ◆ 知识点一　直线与圆的位置关系 直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 　　个  　　个  　　个  几 何 法 计算圆心到直线的距离:d= 　  d=r 　  代 数 法 由 消元得到一元二次方程,计算方程的判别式Δ 　  　  Δ<0 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交. (　 ) (2)若直线与圆相交,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解. (　 ) (3)若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解. (　 ) ◆ 知识点二　利用坐标法解决平面几何问题 利用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何要素,如点、直线、圆,把平面几何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论. ◆ 探究点一　直线与圆的位置关系的判定 例1 若直线4x-3y+a=0与圆x2+y2=100有如下位置关系:①相交,②相切,③相离.试分别求实数a的值或取值范围. 变式 (1)[2026·南昌中学高二月考] 圆x2+y2=1与直线x+y+1=0的位置关系是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 (2)直线l:xcos θ+ysin θ-1=0与圆O:x2+y2=1的位置关系为 (　 ) A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定 [素养小结] 直线与圆的位置关系的判断方法: (1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. (2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. (3)直线系法:若直线恒过定点,则可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系. ◆ 探究点二　直线与圆的相交弦问题 例2 已知圆O:x2+y2=8内有一点P0(-1,2),过点P0且倾斜角为的直线与圆O相交于A,B两点,求弦AB的长. 变式 (1)[2026·无锡高二期中] 已知圆的方程为x2+y2+2x-4y+1=0,则直线2x-y+6=0被圆截得的弦长为 (　 ) A. B. C.4 D.2 (2)已知直线ax-y+3=0与圆(x-5)2+(y-4)2=37相交于A,B两点,且弦AB的长为6,求a的值. [素养小结] 求圆截直线所得的弦长|AB|的方法: (1)几何法:用弦心距d,半径r及弦长的一半作为直角三角形的三边长,利用勾股定理求解,即+d2=r2,得|AB|=2. (2)代数法:设交点A(x1,y1),B(x2,y2),直线斜率为k(k≠0),用弦长公式|AB|==|x1-x2|=|y1-y2|求解. ◆ 探究点三　圆的切线 例3 (1)[2026·十堰八校教联体高二联考] 过圆x2+y2=5上一点M(1,2)作圆的切线l,则l的方程为 (　 ) A.x+2y-3=0 B.x-2y+3=0 C.2x+y-5=0 D.x+2y-5=0 (2)过点M(4,2)作圆C:(x-1)2+(y+2)2=9的切线,切点为N,则|MN|=　　　　.  变式 已知点P(1,4)和圆M:x2+(y-2)2=1,求圆M过点P的切线方程. [素养小结] 1.过一点的圆的切线方程的求法 (1)当点在圆上时,圆心与该点的连线与切线垂直,从而求得切线的斜率,用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程. (2)当点在圆外时,过该点的切线有两条,但在用设斜率的方法来解题时可能求出的切线只有一条,这时另一条切线的斜率不存在. 2.求切线长的方法 如图,设点M(x0,y0)为圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一点,过点M作圆的切线,切点为P,则|MP|==. 拓展 [2026·四川射洪中学高二期中] 点Q为直线l:x+y-2=0上的一点,过点Q作圆C:(x+2)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则四边形QACB面积的最小值为 (　 ) A. B.2 C.2 D.4 ◆ 探究点四　利用直线与圆的方程解决实际问题 例4 如图所示是某圆弧形山体隧道的示意图,其中路面AB为16米,最大高度CD为4米,以C为坐标原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. (1)求该圆弧所在圆的方程. (2)若某种汽车的宽为2.5米,高为1.6米,车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米,同时车顶不能与隧道有剐蹭,那么该隧道最多可以并排行驶多少辆该种汽车(将汽车看作长方体)? 变式 [2026·海南中学高二月考] 如图,已知一艘海监船O上配有雷达,其监测范围是半径为25 km的圆形区域,一艘外籍轮船从位于海监船正东方向40 km的A处出发,沿直线向位于海监船正北方向30 km的B处行驶,速度为28 km/h.以O为原点,正东、正北方向分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系. (1)求外籍轮船航行路径所在的直线方程. (2)这艘外籍轮船能否被海监船监测到?若能,持续监测多长时间? [素养小结] 解决直线与圆的实际问题的一般方法: (1)建立适当的直角坐标系(一般以圆心作为原点),用坐标和方程表示实际问题中的点、直线与圆. (2)利用直线与圆的有关知识,结合问题的结论,求解直线与圆的相关问题. (3)根据运算结果解释实际含义,进而解决实际问题. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1　直线与圆的位置关系 【课前预习】 知识点一 2　1　0　d<r　d>r　Δ>0　Δ=0 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)√　[解析] (1)直线与圆有公共点,也可能相切. (2)若直线与圆相交,则必有公共点,故直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解. (3)若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆相离,故直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解. 【课中探究】 探究点一 例1　解:方法一:由消去y,得25x2+8ax+a2-900=0,则Δ=(8a)2-4×25(a2-900)=-36a2+90 000. ①当直线与圆相交时,Δ>0,即-36a2+90 000>0,解得-50<a<50. ②当直线与圆相切时,Δ=0,即a=50或a=-50. ③当直线与圆相离时,Δ<0,即a<-50或a>50. 方法二:圆x2+y2=100的圆心坐标为(0,0),半径r=10, 则圆心到直线4x-3y+a=0的距离d==. ①当直线与圆相交时,d<r,即<10,解得-50<a<50. ②当直线与圆相切时,d=r,即=10,解得a=50或a=-50. ③当直线与圆相离时,d>r,即>10,解得a<-50或a>50. 变式　(1)A　(2)C　[解析] (1)圆x2+y2=1的圆心(0,0)到直线x+y+1=0的距离d==<1,所以圆x2+y2=1与直线x+y+1=0的位置关系是相交.故选A. (2)圆心坐标为(0,0),半径r=1,圆心到直线l的距离d==1=r,所以直线l与圆O相切,故选C. 探究点二 例2　解:方法一(几何法):由已知得直线AB的斜率k=tan=-1,所以直线AB的方程为y-2=-(x+1), 即y=-x+1,可得圆心O到直线AB的距离d=. 又半径r=2,所以弦长|AB|=2=2×=. 方法二(代数法):由已知得直线AB的斜率k=tan=-1, 所以直线AB的方程为y-2=-(x+1),即y=-x+1,代入x2+y2=8,得2x2-2x-7=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=1,x1x2=-,所以|AB|=|x1-x2|==. 变式　(1)A　[解析] 圆的方程可整理为(x+1)2+(y-2)2=4,所以圆心为(-1,2),半径为2,又圆心到直线2x-y+6=0的距离d==,所以弦长为2×=.故选A. (2)解:因为圆的方程为(x-5)2+(y-4)2=37, 所以圆心为(5,4),半径r=, 则圆心(5,4)到直线ax-y+3=0的距离d=. 因为弦AB的长为6, 所以2=2=6,可得d=, 则=,整理可得15a2-10a-9=0,解得a=. 探究点三 例3　(1)D　(2)4　[解析] (1)圆x2+y2=5的圆心为O(0,0),则直线OM的斜率kOM==2,因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直,所以kl·kOM=-1,则kl==-,所以直线l的方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.故选D. (2)连接CM,CN,易知圆心为C(1,-2),半径r=3,因为MN是圆C的切线,所以MN⊥CN,又|CM|==5,所以|MN|===4. 变式　解:∵12+(4-2)2>1,∴点P(1,4)在圆M:x2+(y-2)2=1外. 方法一(几何法):过点P作圆M的切线,当切线的斜率存在时,设切线方程为y-4=k(x-1),即kx-y-k+4=0, 可得=1,解得k=,故切线方程为3x-4y+13=0. 当切线的斜率不存在时,切线方程为x=1. ∴切线方程为3x-4y+13=0或x=1. 方法二(代数法):过点P作圆M的切线,当切线的斜率存在时,设切线方程为y-4=k(x-1), 由消去y,得(k2+1)x2-2k(k-2)x+k2-4k+3=0, 由Δ=4k2(k-2)2-4(k2+1)(k2-4k+3)=0,解得k=,故切线方程为3x-4y+13=0. 当切线的斜率不存在时,切线方程为x=1. ∴切线方程为3x-4y+13=0或x=1. 拓展　A　[解析] 如图,连接AB,QC,由圆的方程知圆心为C(-2,0),半径为1,因为QA,QB为圆的切线,所以AB⊥QC,CA⊥QA,CB⊥QB,|QA|=|QB|,S四边形QACB=|QA||AC|=|QA|,要使得S四边形QACB最小,只需|QA|最小,由切线长公式知,只需|QC|最小.当QC⊥l时,|QC|min==2,此时|QA|==,所以S四边形QACB的最小值是.故选A. 探究点四 例4　解:(1)由圆的对称性可知,该圆弧所在圆的圆心在y轴上,设圆的半径为r米,则r2=82+(r-4)2,解得r=10,所以圆心为(0,-6),故该圆弧所在圆的方程为x2+(y+6)2=100. (2)设与该种汽车等高且能通过该隧道的车的最大宽度为d米,则+(6+1.6)2=102,解得d=2. 若该隧道并排行驶5辆该种汽车,则需要的宽度至少为5×2.5+4×0.5=14.5(米), 因为14.5>2,所以该隧道不能并排行驶5辆该种汽车. 若该隧道并排行驶4辆该种汽车,则需要的宽度至少为4×2.5+3×0.5=11.5(米),因为11.5<2,所以该隧道能并排行驶4辆该种汽车. 综上所述,该隧道最多可以并排行驶4辆该种汽车. 变式　解:(1)由题意得A(40,0),B(0,30), 则直线AB:+=1,即3x+4y-120=0, 故外籍轮船航行路径所在的直线方程为3x+4y-120=0. (2)点O到直线AB的距离d==24(km),而r=25 km>24 km(r为圆形区域的半径), 所以外籍轮船能被海监船监测到. 直线被圆截得的弦长l=2=14(km), 所以外籍轮船被持续监测的时间为=(h). 学科网（北京）股份有限公司 $