2.4 圆的方程 2.4.2 圆的一般方程 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

本高中数学讲义核心知识点为圆的一般方程，通过圆的标准方程配方过渡，明确其结构特点及D²+E²-4F的条件，结合诊断分析、例题变式构建从理解到应用的学习支架，涵盖方程互化、求方程、轨迹及最值问题。 资料以探究点驱动，例1参数范围判断培养数学思维的推理能力，例3轨迹方程探究发展数学眼光的抽象与几何直观，课中助力教师分层教学，课后变式与素养小结帮助学生巩固方法，查漏补缺。

2.4.2　圆的一般方程 【学习目标】 　　1.能描述圆的一般方程的方程结构与代数意义. 　　2.能熟练进行圆的标准方程与一般方程间的互化. 　　3.能根据给定圆的几何要素求出圆的一般方程. ◆ 知识点一　圆的一般方程 将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(*)配方得　　　　　　　　　　　　　　　　　　.  当D2+E2-4F>0时,方程(*)表示以　　　　为圆心,　　　　　　为半径的圆,我们把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)叫作圆的一般方程.  (1)圆的一般方程的特点是:①x2和y2的系数都是　　　　;②没有　　　　这样的二次项;③D2+E2-4F　　　　0.  (2)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0并不一定表示圆.当其系数满足D2+E2-4F>0时,它表示　　　　;当D2+E2-4F=0时,它表示一个　　　　;当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解,它不表示任何图形.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程. (　 ) (2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程. (　 ) (3)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆,则E≠0. (　 ) (4)在圆的一般方程中,当D=0时,圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的圆心在x轴上. (　 ) ◆ 知识点二　轨迹方程 轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形,点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式.在解析几何中,常常把图形看作点的轨迹(集合). ◆ 探究点一　圆的一般方程的理解 例1 若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求: (1)实数m的取值范围; (2)圆心坐标和半径. 变式 (1)[2026·江门一中高二月考] 已知方程x2+y2+2x+3y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(-3,+∞) B. C. D. (2)[2026·浙江卓越高中联盟高二联考] 下列方程一定表示圆的是 (　 ) A.x2+y2-2x-4y-6=0 B.x2+xy+y2-5=0 C.x2+y2+2ax+2by=0(a,b∈R) D.x2+y2+2x+4y+6=0 ◆ 探究点二　求圆的一般方程 例2 (1) 已知圆C经过点A(0,2)和点B(1,3),且圆心C在直线x-y-1=0上,求圆C的方程; (2)已知△ABC的三个顶点为A(-1,5),B(5,5),C(6,-2),求△ABC外接圆的方程. 变式 已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为,求: (1)圆C的一般方程; (2)圆C关于直线x-y=0对称的圆的一般方程. [素养小结] 求圆的方程主要有两种方法:(1)定义法;(2)待定系数法.定义法是根据题目利用定义判断曲线为圆,求出圆心坐标和半径长;待定系数法是列出关于D,E,F的方程组,求出D,E,F,从而求得圆的一般方程. ◆ 探究点三　与圆有关的轨迹方程 例3 已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求: (1)直角顶点C的轨迹方程; (2)直角边BC的中点M的轨迹方程. 变式 已知平面内的动点M与两个定点A(-1,1),B(-1,4)的距离的比为,记动点M的轨迹为曲线Γ,求曲线Γ的方程,并说明其形状. [素养小结] 求与圆有关的轨迹方程的常用方法 (1)直接法:根据题目的条件,建立适当的平面直角坐标系,设出动点坐标,并找出动点坐标所满足的关系式. (2)定义法:当列出的关系式符合圆的定义时,可利用定义写出动点的轨迹方程. (3)代入法:若动点P(x,y)随着圆上的另一动点Q(x1,y1)的运动而运动,且x1,y1可用x,y表示,则可将点Q的坐标代入已知圆的方程,即得动点P的轨迹方程. ◆ 探究点四　与圆有关的最大(小)值问题 例4 已知圆C经过点(2,5),(5,2),(2,-1). (1)求圆C的方程; (2)设点P(x,y)在圆C上运动,求(x+2)2+(y+1)2的最大值与最小值. 变式 (1)已知实数x,y满足方程y=,则的最大值为　　　　,x2+y2的最小值为　　　　.  (2)已知圆C过点(1,0),(1,4),(3,2).设点P(x,y)为圆C上任意一点,则x2+y2+2x+3的最小值为　　　　,最大值为　　　　.  [素养小结] 解决与圆有关的最大(小)值问题的方法 (1)形如u=的最值问题,可转化为定点(a,b)与动点(x,y)连线的斜率的最值问题; (2)形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题; (3)形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离的最值问题. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4.2　圆的一般方程 【课前预习】 知识点一 +=　 (1)①1　②xy　③>　(2)圆　点 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)√　(4)×　[解析] (1)圆的一般方程与标准方程可以互化. (2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时需满足D2+E2-4F>0. (3)由圆的一般方程的定义知结论正确. (4)当D=0时,圆心在y轴上;当E=0时,圆心在x轴上;当F=0时,圆过原点. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)根据题意知(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0, 即4m2+4-4m2-20m>0,解得m<,故m的取值范围为. (2)由x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0得(x+m)2+(y-1)2=1-5m,故圆心坐标为(-m,1),半径r=. 变式　(1)B　(2)A　[解析] (1)方程x2+y2+2x+3y+m=0可化为(x+1)2+=-m,因为方程x2+y2+2x+3y+m=0表示圆,所以-m>0,解得m<,即实数m的取值范围是.故选B. (2)对于A,x2+y2-2x-4y-6=0等价于(x-1)2+(y-2)2=11,表示圆,故A符合题意;对于B,x2+xy+y2-5=0含xy项,不表示圆,故B不符合题意;对于C,x2+y2+2ax+2by=0(a,b∈R),易知a=b=0时,不表示圆,故C不符合题意;对于D,x2+y2+2x+4y+6=0,因为22+42-4×6=-4<0,所以方程不表示圆,故D不符合题意.故选A. 探究点二 例2　解:(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0),则圆心为, 由题意得解得所以圆C的方程为x2+y2-4x-2y=0. (2)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),将A(-1,5),B(5,5),C(6,-2)的坐标分别代入,可得解得 所以△ABC外接圆的方程为x2+y2-4x-2y-20=0. 变式　解:(1)圆C的标准方程为+=-3, 则圆心为,半径为, 所以解得或 又圆心在第二象限,所以D=2,E=-4, 故圆C的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0. (2)由(1)知圆C的圆心为C(-1,2),设C关于直线x-y=0对称的点为C'(m,n),则解得 所以圆C关于直线x-y=0对称的圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=2,故一般方程为x2+y2-4x+2y+3=0. 探究点三 例3　解:(1)设顶点C的坐标为(x,y),因为AC⊥BC,且A,B,C三点不共线,所以x≠3且x≠-1. 又kAC=,kBC=,且kAC·kBC=-1,所以·=-1,化简得x2+y2-2x-3=0. 因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1). (2)设点M(a,b),点C(x0,y0), 因为B(3,0),M是边BC的中点, 所以a=,b=,于是有x0=2a-3,y0=2b. 由(1)知,点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1),所以+-2x0-3=0(x0≠3且x0≠-1), 可得(2a-4)2+(2b)2=4(a≠3且a≠1), 即(a-2)2+b2=1(a≠3且a≠1). 因此,动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(x≠3且x≠1). 变式　解:设M(x,y),由=, 得=,化简得x2+y2+2x-3=0, 即(x+1)2+y2=4, 故曲线Γ的方程是(x+1)2+y2=4,曲线Γ是以点(-1,0)为圆心,半径为2的圆. 探究点四 例4　解:(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 则解得 ∴圆C的方程为x2+y2-4x-4y-1=0,即(x-2)2+(y-2)2=9. (2)设点M(-2,-1),则(x+2)2+(y+1)2表示点P(x,y)与点M(-2,-1)间距离的平方.圆心C(2,2)与M(-2,-1)间的距离d==5,圆C的半径R=3,则点P与点M间距离的最大值为d+R=8,最小值为d-R=2, 所以(x+2)2+(y+1)2的最大值为64,最小值为4. 变式　(1)1　6-4　(2)14-8　14+8　[解析] (1)由y=变形可得(x-2)2+y2=2(y≥0),故曲线y=是以M(2,0)为圆心,为半径的圆在x轴及其上方的部分,即为半圆.设=k,则表示半圆上的点P(x,y)与原点O连线的斜率.易知当直线y=kx与半圆在第一象限相切于点P时,k取得最大值,连接PM,此时有OP⊥PM,又|PM|=,|OM|=2,所以∠POM=45°,此时k=tan 45°=1,所以的最大值是1.x2+y2表示半圆上的点(x,y)与原点间距离的平方,由平面几何知识知, (x2+y2)min=(2-)2=6-4. (2)设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则解得所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,圆C的圆心为(1,2),半径r=2.x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2,易知表示点P(x,y)与点A(-1,0)之间的距离,即|PA|,又|AC|==2,所以|PA|min=|AC|-r=2-2,|PA|max=|AC|+r=2+2,则x2+y2+2x+3的最小值为(2-2)2+2=14-8,最大值为(2+2)2+2=14+8. 学科网（北京）股份有限公司 $