2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

本讲义聚焦圆的标准方程核心知识点，从确定圆的几何要素（圆心、半径）切入，结合两点间距离公式推导方程，衔接特殊圆的方程及点与圆的位置关系，构建从几何直观到代数表达的学习支架。 该资料以“数学眼光”观察圆的几何特征，“数学思维”推导方程及判断位置关系，“数学语言”表达圆的代数形式。通过诊断分析、例题变式及素养小结，课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固方法、查漏补缺。

2.4　圆的方程 2.4.1　圆的标准方程 【学习目标】 　　1.能描述确定圆的几何要素,能根据给定圆的几何要素推导出圆的标准方程. 　　2.能分析圆的标准方程中相关量的几何意义. 　　3.能根据给定圆的几何要素求出圆的标准方程. ◆ 知识点一　圆的标准方程 1.圆的标准方程 圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方程是　　　　　　　　　　　.  　　　　和　　　　分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以只要a,b,r(r>0)三个量确定了,圆的方程就唯一确定了.  2.几种常见的特殊的圆的方程 条件 方程形式 圆心在原点 x2+y2=r2(r>0) 圆过原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2≠0) 圆与x轴相切 (x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0) 圆与y轴相切 (x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0) 圆与两坐标轴都相切 (x-a)2+(y-b)2=a2(|a|=|b|≠0) 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定一个圆的几何要素是圆心和半径. (　 ) (2)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. (　 ) (3)圆(x-1)2+(y-2)2=4的圆心坐标是(1,2),半径是4. (　 ) (4)已知A为定点,点M满足MA=r(r>0),则点M的轨迹为圆. (　 ) ◆ 知识点二　点与圆的位置关系 点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断方法 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点M在圆上 |CM|　　　r  (x0-a)2+(y0-b)2　　　r2  点M在圆外 |CM|　　　r  (x0-a)2+(y0-b)2　　　r2  点M在圆内 |CM|　　　r  (x0-a)2+(y0-b)2　　　r2  ◆ 探究点一　求圆的标准方程 例1 根据下列条件,求圆的标准方程: (1)圆心为点A(2,-1),且经过点B(-2,2); (2)经过点C(0,0)和点D(0,2),半径为2; (3)E(1,2),F(3,4)为直径的两个端点. 例2 根据下列条件,求圆的标准方程: (1)过O(0,0),A(2,0),B(2,-2)三点; (2)经过A(1,2),B(-1,4)两点,且圆心在直线l:x+y-1=0上. 变式1 已知半径为5的圆C过点P(-4, 3),且圆心C在直线2x-y+1=0上,则圆C的标准方程为　　　　　　　　　　.  变式2 已知点A(1,-2),B(-1,4),求: (1)过点A,B且周长最小的圆的标准方程; (2)过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程. [素养小结] 求圆的标准方程一般有两种方法:(1)直接法.通过研究圆的几何性质,确定圆心坐标与半径长,即得到圆的标准方程.(2) 待定系数法. 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),先根据条件列出关于a,b,r的方程组,然后解出a,b,r,最后代入标准方程. ◆ 探究点二　判断点与圆的位置关系 例3 已知两点P1(3,8)和P2(5,4),求以线段P1P2为直径的圆的标准方程,并判断点M(5,3),N(3,4),P(3,5)与圆的位置关系. 变式 (1)写出圆心为点(3,4),半径为5的圆的标准方程,并判断点A(0,0),B(1,3)与该圆的位置关系. (2)已知点M(5+1,)在圆(x-1)2+y2=26的内部,求a的取值范围. 拓展 已知P(-1,-1),点Q是圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上任意一点,则|PQ|的最小值为　　　　,最大值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4　圆的方程 2.4.1　圆的标准方程 【课前预习】 知识点一 1.(x-a)2+(y-b)2=r2　圆心　半径 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)×　(4)√　[解析] (2)当m=0时,方程表示一个点;当m≠0时,方程表示一个圆. (3)圆(x-1)2+(y-2)2=4的圆心坐标是(1,2),半径是2. 知识点二 =　=　>　>　<　< 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)由题意可得圆的半径r=|AB|==5, 所以圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=25. (2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=4, 因为圆经过点C(0,0)和点D(0,2), 所以解得或 所以圆的标准方程为(x-)2+(y-1)2=4或(x+)2+(y-1)2=4. (3)因为EF的中点为(2,3),所以圆心为(2,3), 又半径r=|EF|==,所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=2. 例2　解:(1)由O(0,0),A(2,0)在圆上,得圆心在直线x=1上, 由A(2,0),B(2,-2)在圆上,得圆心在直线y=-1上,则圆心为(1,-1),半径r==, 故圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2. (2)方法一:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),依题意有可得所以圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4. 方法二:直线AB的斜率为=-1,所以线段AB的垂直平分线的斜率为1, 又线段AB的中点坐标为(0,3),所以线段AB的垂直平分线的方程为y=x+3. 由可得则圆心为C(-1,2),又圆的半径为|CA|==2, 所以圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4. 方法三:因为圆心在直线l:x+y-1=0上, 所以可设圆心的坐标为(a,1-a), 依题意有=,解得a=-1, 所以圆心坐标为(-1,2),半径r==2,所以圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4. 变式1　(x-1)2+(y-3)2=25或(x+1)2+(y+1)2=25　[解析] 设圆心C的坐标为(a,b) ,则圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=25.因为圆心C在直线2x-y+1=0上,所以2a-b+1=0.因为圆C过点P(-4,3),所以(-4-a)2+(3-b)2=25,所以或所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=25或(x+1)2+(y+1)2=25. 变式2　解:(1)连接AB,则当AB为直径时,过点A,B的圆的半径最小,从而周长最小. 易得线段AB的中点坐标为(0,1),即圆心坐标为(0,1),圆的半径为|AB|=,∴所求圆的标准方程为x2+(y-1)2=10. (2)连接AB,∵直线AB的斜率k=-3,线段AB的中点坐标为(0,1),∴线段AB的垂直平分线的方程是y-1=x,即x-3y+3=0. ∵圆心在直线2x-y-4=0上,∴直线2x-y-4=0与直线x-3y+3=0的交点即为圆心,∴圆心坐标为(3,2),半径为=2, ∴所求圆的标准方程是(x-3)2+(y-2)2=20. 探究点二 例3　解:设圆心为C(a,b),半径为r,则由C为线段P1P2的中点,得a==4,b==6,即圆心为C(4,6). 由两点间的距离公式得r=|CP1|==,所以所求圆的标准方程为(x-4)2+(y-6)2=5. 连接CM,CN,CP,则|CM|==>,|CN|==, |CP|==<, 所以点M在圆外,点N在圆上,点P在圆内. 变式　解:(1)易得圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25,点A到圆心的距离为=5,点B到圆心的距离为=<5, 所以点A在圆上,点B在圆内. (2)由题意知 即解得0≤a<1,因此a的取值范围是[0,1). 拓展　4　6　[解析] 由题意知,圆C的圆心为C(2,3),半径r=1,连接CP,则|CP|==5,所以|PQ|min=|CP|-r=5-1=4,|PQ|max=|CP|+r=5+1=6. 学科网（北京）股份有限公司 $