2.2 直线的方程 2.2.2 直线的两点式方程 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“直线的两点式方程”核心知识点，以斜率公式为基础导出两点式方程，进而结合截距概念推得截距式方程，并通过表格对比点斜式、斜截式、两点式、截距式的适用范围，构建从原理到应用的完整学习支架。 该资料通过诊断分析判断题辨析概念（如两点式适用条件）培养学生推理意识，探究点结合实例（如三角形三边方程、光线反射问题）引导用数学语言表达，体现数学眼光观察现实。课中辅助教师引导知识建构，课后助力学生通过变式与拓展题查漏补缺，强化知识应用能力。

2.2.2　直线的两点式方程 【学习目标】 　　1.能根据斜率公式导出直线的两点式方程. 　　2.能利用直线的两点式方程及截距的概念,导出直线的截距式方程. 　　3.能描述截距式方程的适用范围,并能依据不同条件合理选择直线方程的形式求解. ◆ 知识点一　直线的两点式方程 当x1≠x2时,经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率k=.任取P1,P2中的一点,例如,取点P1(x1,y1),由直线的点斜式方程,得　　　　　　　　,当y2≠y1时,上式可写为　　　　　　　　.这就是经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)的直线的方程,我们把它叫作直线的两点式方程,简称两点式.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)已知直线过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则直线一定存在两点式方程. (　 ) (2)经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)的直线方程可以是=,也可以是=. (　 ) (3)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示. (　 ) ◆ 知识点二　直线的截距式方程 我们把直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫作直线l在x轴上的截距,此时直线l在y轴上的截距是b.方程　　　　　　　由直线l在两条坐标轴上的截距a与b确定,我们把方程+=1叫作直线的截距式方程,简称截距式.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)不经过原点的直线都可以用方程+=1表示. (　 ) (2)能用截距式方程表示的直线都能用两点式方程表示. (　 ) (3)过除原点外的一个定点,且在两坐标轴上的截距相等的直线有且只有1条. (　 ) ◆ 知识点三　直线方程的特殊形式 直线方程名称 直线方程形式 适用范围 点斜式 y-y0=k(x-x0) 直线存在斜率 斜截式 y=kx+b 直线存在斜率 两点式 = 直线不垂直 于坐标轴 截距式 +=1 直线在两坐标轴上 都存在截距且都不为0 ◆ 探究点一　利用两点式求直线方程 例1 已知三角形的三个顶点分别是A(-1,0),B(3,-1),C(1,3),求△ABC三边所在直线的方程. 变式 (1)若A(0,1),B(a,0),C(3,2)三点在同一条直线上,则a的值为　　　　.  (2)已知△ABC的三个顶点为A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在直线的方程为　　　　.  [素养小结] (1)由两点式求直线方程的步骤: ①设出直线所经过的两点的坐标; ②根据题中的条件,列出相关方程,解出点的坐标; ③由直线的两点式写出直线方程. (2)当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件(两点的连线不垂直于坐标轴),若满足,则考虑用两点式求直线方程. 拓展 一束光线从点A(3,2)发出,经x轴反射后经过点B(-1,6),分别求入射光线和反射光线所在直线的方程. ◆ 探究点二　利用截距式求直线方程 例2 (1)(多选题)已知直线l经过点(-3,2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等,则直线l的方程可能是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.x+y+1=0 B.x-y+5=0 C.x+3y-3=0 D.2x+3y=0 (2)[2026·泰州高二期中] 过点P(4,3)的直线在两坐标轴上的截距之和为0,则该直线的方程为　　　　　　　　　.  (3)求过点(1,1),且在y轴上的截距为在x轴上的截距2倍的直线的方程. 变式 求过点Q(5,2),且与两坐标轴围成的三角形的面积是的直线l的方程. [素养小结] 直线的截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交,那么可考虑选用直线的截距式方程,用待定系数法确定其系数即可. (2)选用直线的截距式方程时,必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直. (3)要注意直线的截距式方程的逆向应用. 拓展 在平面直角坐标系中,O为坐标原点,过点P(2,1)作直线l分别交x,y轴的正半轴于点A,B. (1)求△ABO面积的最小值及取得最小值时直线l的方程; (2)当|OA|+|OB|取得最小值时,求直线l的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.2　直线的两点式方程 【课前预习】 知识点一 y-y1=(x-x1)　= 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)√　[解析] (1)只有当x1≠x2且y1≠y2时,直线才存在两点式方程. (3)能用两点式方程表示的直线一定不垂直于坐标轴,从而斜率一定存在,故可用点斜式方程表示. 知识点二 +=1 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)×　[解析] (1)垂直于坐标轴的直线也不可以用截距式方程表示. (2)截距式方程是两点式方程的特殊形式. (3)这样的直线通常有两条:一条过原点;另一条不过原点,且在x轴和y轴上的截距相等. 【课中探究】 探究点一 例1　解:方法一:因为直线AB过点A(-1,0),B(3,-1), 所以边AB所在直线的方程为=,即x+4y+1=0; 因为直线BC过点B(3,-1),C(1,3),所以边BC所在直线的方程为=,即2x+y-5=0; 因为直线AC过点A(-1,0),C(1,3),所以边AC所在直线的方程为=,即3x-2y+3=0. 方法二:因为直线AB过点A(-1,0),B(3,-1), 所以直线AB的斜率为=-,则边AB所在直线的方程为y=-(x+1),整理得x+4y+1=0; 因为直线BC过点B(3,-1),C(1,3), 所以直线BC的斜率为=-2, 则边BC所在直线的方程为y+1=-2(x-3),整理得2x+y-5=0; 因为直线AC过点A(-1,0),C(1,3), 所以直线AC的斜率为=,则边AC所在直线的方程为y=(x+1),整理得3x-2y+3=0. 变式　(1)-3　(2)2x+y-8=0　[解析] (1)由题意得直线AC的方程为=,即y=x+1,将B(a,0)的坐标代入直线AC的方程y=x+1,得a+1=0,解得a=-3. (2)由中点坐标公式可得M(2,4),N(3,2),故中位线MN所在直线的方程为=,即2x+y-8=0. 拓展　解:易知点A(3,2)关于x轴的对称点为A'(3,-2),连接A'B,由已知可得反射光线所在的直线为直线A'B,其方程为=,即2x+y-4=0. 点B(-1,6)关于x轴的对称点为B'(-1,-6),连接AB',由已知可得入射光线所在的直线为直线AB',其方程为=,即2x-y-4=0. 故入射光线所在直线的方程为2x-y-4=0,反射光线所在直线的方程为2x+y-4=0. 探究点二 例2　(1)ABD　(2)3x-4y=0或x-y-1=0　[解析] (1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时,直线l的方程为y=-x,即2x+3y=0.当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时,设直线l的方程为+=1,由题意知 解得或当时,直线l的方程为x+y+1=0;当时,直线l的方程为x-y+5=0.故选ABD. (2)当直线在两坐标轴上的截距都为0时,设直线方程为y=kx,将点P(4,3)的坐标代入可得k=,此时直线方程为y=x,即3x-4y=0;当直线在两坐标轴上的截距均不为0时,因为直线在两坐标轴上的截距之和为0,所以设直线方程为+=1,将点P(4,3)的坐标代入可得+=1,解得a=1,此时直线方程为x-y-1=0.综上,该直线的方程为3x-4y=0或x-y-1=0. (3)解:设直线在x轴、y轴上的截距分别为a,b. 当a≠0且b≠0时,直线的方程为+=1, 由题可知+=1,且b=2a,解得a=,b=3,此时直线的方程为+=1,即2x+y-3=0. 当a=b=0时,设直线的方程为y=kx,由题可知k=1,此时直线的方程为y=x. 综上所述,所求直线的方程为2x+y-3=0或x-y=0. 变式　解:由题意知直线l不过原点,且直线l在两坐标轴上的截距都存在,设直线l的方程为+=1(a≠0,b≠0). 由题意得即或 解得或 ∴直线l的方程为y=x+或y=x-3. 拓展　解:(1)依题意设A(a,0),B(0,b)(a,b>0), 则直线l的方程为+=1, 又直线l过点P(2,1),所以+=1, 所以+=1≥2,可得ab≥8,当且仅当=,即a=4,b=2时取等号,从而S△ABO=ab≥4, 所以△ABO面积的最小值为4,△ABO的面积取得最小值时直线l的方程为+=1. (2)由(1)可得+=1(a,b>0),所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=,即a=2+,b=+1时取等号,此时直线l的方程为+=1. 学科网（北京）股份有限公司 $