2.2 直线的方程 2.2.1 直线的点斜式方程 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

本讲义聚焦高中数学中直线的点斜式与斜截式方程核心知识点，以斜率公式为基础导出点斜式方程，再通过点斜式推导斜截式方程，结合定义解析、适用条件分析及诊断判断题构建学习支架，帮助学生逐步掌握方程的推导逻辑与应用方法。 该资料亮点在于通过诊断分析判断题培养学生的推理意识，借助例题变式（如已知方向向量求点斜式方程）引导学生用数学眼光观察问题，素养小结与拓展题助力形成模型观念。课中便于教师引导学生探究，课后利于学生自查漏洞，强化知识应用能力。

2.2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 【学习目标】 　　1.能根据斜率公式导出直线的点斜式方程. 　　2.能利用直线的点斜式方程导出直线的斜截式方程. 　　3.能描述点斜式方程的适用范围. ◆ 知识点一　直线的点斜式方程 直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k.设P(x,y)是直线l上不同于点P0的任意一点,因为直线l的斜率为k,由斜率公式得k=,即　　　　　　　①.  (1)方程①由直线上一个定点(x0,y0)及该直线的斜率k确定,我们把它叫作直线的点斜式方程,简称点斜式. (2)方程①适用的条件:直线的斜率存在. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线y-3=k(x+1)恒过定点(-1,3). (　 ) (2)y轴所在直线的方程为x=0,该方程可化为点斜式方程. (　 ) (3)x轴所在直线的方程为y=0,该方程可化为点斜式方程. (　 ) (4)经过点P0(x0,y0)的所有直线都能用点斜式方程来表示. (　 ) ◆ 知识点二　直线的斜截式方程 1.我们把直线l与y轴的交点(0,b)的　　　　叫作直线l在y轴上的截距.  2.直线的斜截式方程:如果斜率为k的直线l过点P0(0,b),这时P0是直线l与y轴的交点,代入直线的点斜式方程,得y-b=k(x-0),即　　　　②.  (1)方程②由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,我们把②叫作直线的斜截式方程,简称斜截式. (2)方程②适用的条件:直线的斜率存在. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线l在y轴上的截距是直线l与y轴的交点到原点的距离. (　 ) (2)直线的斜截式方程等同于一次函数的解析式. (　 ) (3)直线x=a在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为0. (　 ) ◆ 探究点一　直线的点斜式方程 例1 已知直线l经过点P且倾斜角为α,斜率为k,求直线l的点斜式方程. (1)P(2,3),k=1; (2)P(-2,-1),α=; (3)P(-5,-1),α=. 变式 (1)[2026·扬州一中高二期中] 已知两点A(1,2),B(-3,6),则线段AB的垂直平分线的方程为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.y=-x+3 B.y=-x+5 C.y=x+3 D.y=x+5 (2)[2026·北京理工大学附中高二期中] 已知直线l经过点(1,2),且与x轴平行,则直线l的方程为　　　　.  (3)已知P(1,2)是直线l上一点,且v=(3,4)是直线l的一个方向向量,则l的点斜式方程为　　　　.  [素养小结] 利用点斜式求直线方程的方法 (1)用点斜式求直线的方程,首先要确定直线的斜率和该直线上一个点P(x0,y0).注意在斜率存在的条件下,才能求直线的点斜式方程;若斜率不存在,则直线方程为x=x0. (2)已知两点坐标求直线的方程,可以先求斜率,再用点斜式求直线的方程. ◆ 探究点二　直线的斜截式方程 例2 根据下列条件写出直线的斜截式方程. (1)斜率为2,在y轴上的截距是5; (2)倾斜角为150°,在y轴上的截距是-2; (3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 变式 (1)已知直线l的倾斜角为60°,且l过点(2,),则l在y轴上的截距为 (　 ) A.-1 B.- C.1 D. (2)[2026·连云港高级中学高二月考] 直线l经过点A(0,1),且倾斜角为直线y=x-1的倾斜角的一半,则l的方程为　　　　.  [素养小结] 直线的斜截式方程的求解策略 (1)求直线的斜截式方程,首先要求出直线的斜率与它在y轴上的截距. (2)当斜率和在y轴上的截距未知时,可结合已知条件,先求出斜率和在y轴上的截距,再写出直线的斜截式方程. 拓展 已知直线(a-2)y=(3a-1)x-1,若这条直线不经过第二象限,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 【课前预习】 知识点一 y-y0=k(x-x0) 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)√　(4)×　[解析] (1)由直线的点斜式方程知,方程y-3=k(x+1)表示过点(-1,3),斜率为k的直线. (2)y轴所在直线的倾斜角为90°,斜率不存在,因此没有点斜式方程,但y轴上任一点的横坐标都为0,所以y轴所在直线的方程为x=0. (3)x轴所在直线的倾斜角为0°,斜率为0,又x轴所在直线过原点,所以x轴所在直线的点斜式方程为y-0=0×(x-0),即y=0. (4)经过点P0(x0,y0)且垂直于x轴的直线不能用点斜式方程来表示. 知识点二 1.纵坐标b　2.y=kx+b 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)直线l在y轴上的截距是直线l与y轴交点的纵坐标,而不是交点到原点的距离. (2)当k≠0时,y=kx+b为一次函数,当k=0时,y=b不是一次函数. (3)直线x=a在x轴上的截距为a,在y轴上的截距不存在. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)因为直线l的斜率k=1,且经过点P(2,3),所以直线l的点斜式方程为y-3=x-2. (2)直线l的倾斜角α=,则直线l的斜率k=-, 又直线l经过点P(-2,-1),故直线l的点斜式方程为y+1=-(x+2). (3)直线l的倾斜角α=,则直线l的斜率k=, 又直线l经过点P(-5,-1), 故直线l的点斜式方程为y+1=(x+5). 变式　(1)D　(2)y=2　(3)y-2=(x-1)　[解析] (1)由A(1,2),B(-3,6),得线段AB的中点坐标为(-1,4),直线AB的斜率为=-1,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-4=1·(x+1),即y=x+5.故选D. (2)由直线l经过点(1,2),且与x轴平行,可知直线l的斜率为0,所以直线l的方程为y=2. (3)由v=(3,4)是直线l的一个方向向量,得直线l的斜率为,又直线l过点P(1,2),所以直线l的点斜式方程为y-2=(x-1). 探究点二 例2　解:(1)所求直线的斜截式方程为y=2x+5. (2)∵倾斜角为150°,∴斜率k=tan 150°=-,∴所求直线的斜截式方程为y=-x-2. (3)∵直线的倾斜角为60°,∴斜率k=tan 60°=. ∵直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3,∴直线在y轴上的截距为3或-3,∴所求直线的斜截式方程为y=x+3或y=x-3. 变式　(1)B　(2)y=x+1　[解析] (1)直线l的斜率为tan 60°=,又直线l过点(2,),所以直线l的方程为y-=(x-2),当x=0时,y=-,所以l在y轴上的截距为-.故选B. (2)显然直线y=x-1的斜率为,所以其倾斜角为,所以直线l的倾斜角为,则直线l的斜率k=tan=,又直线l经过点A(0,1),所以l的方程为y-1=(x-0),即y=x+1. 拓展　D　[解析] 若a-2=0,即a=2,则直线方程可化为x=,此时直线不经过第二象限,满足条件;若a-2≠0,则直线方程可化为y=x- ,此时若直线不经过第二象限,则≥0且-≤0,解得a>2.综上,实数a的取值范围是[2,+∞).故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $