2.1 直线的倾斜角与斜率 2.1.1 倾斜角与斜率 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

本高中数学讲义聚焦直线的倾斜角与斜率核心知识点，系统梳理倾斜角的定义及取值范围，斜率的概念、与倾斜角的转换关系，过两点的斜率计算公式，以及方向向量与斜率的关联，通过定义填空、诊断分析、例题变式构建学习支架。 资料设计注重数学思维与眼光培养，诊断分析通过判断正误和简答强化推理意识，探究点结合图形分析发展几何直观，方向向量应用体现数学语言表达。课中例题变式助教师突破重难点，课后诊断与素养小结帮助学生巩固知识，查漏补缺。

第二章　直线和圆的方程 2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 【课前预习】 知识点一 1.向上　直线l与x轴平行或重合 2.0°≤α<180° 诊断分析 1.(1)√　(2)×　(3)√　[解析] (2)直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α≤180°,所以某条直线的倾斜角不可能为-60°,也不可能为210°. 2.解:当直线的倾斜角为锐角时,直线一定过第一、三象限. 知识点二 1.倾斜角α的正切值　k=tan α (2)k=0　k>0　k不存在　k<0 2.k=　3.(1)(1,k)　(2) 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√　(4)×　[解析] (1)任意一条直线都有倾斜角,但不一定都有斜率,如与x轴垂直的直线的倾斜角为90°,但它没有斜率. (2)由直线上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)可以确定直线的方向,求出直线的一个方向向量为=(x2-x1,y2-y1),但是当x1=x2时,无意义,直线的斜率不存在. (4)设直线的倾斜角为α,斜率为k.当0°≤α<90°时,k≥0且k随着α的增大而增大;当90°<α<180°时,k<0且k随着α的增大而增大.但当0°≤α<180°时,k并不随着α的增大而增大.如α=60°时,k=;α=150°时,k=-. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)D　(2)C　[解析] (1)如图所示,直线l有两种情况,故直线l的倾斜角为60°或120°. (2)∵直线l过原点(0,0),且不过第三象限,∴直线l与坐标轴重合或经过第二、四象限,∴ l的倾斜角α的取值范围为α=0°或90°≤α<180°,故选C. 变式　(1)BC　(2)30°　[解析] (1)因为直线的倾斜角的取值范围为[0,π),所以当≤α<π时,直线l1的倾斜角为α-,当0≤α<时,直线l1的倾斜角为π-=+α.故选BC. (2)因为直线l1的倾斜角为150°,所以∠BCA=30°,所以l3的倾斜角为×(90°-30°)=30°. 探究点二 例2　(1)C　(2)0　[解析] (1)因为tan=-,所以直线l的斜率为-.故选C. (2)由题意可知m≠-2,且kAB==2,解得m=0. 变式　(1)D　(2)A　[解析] (1)设直线l1,l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3,则k1=tan α1,k2=tan α2,k3=tan α3.由图可知0<α3<α2<,<α1<π,所以k1<k3<k2.故选D. (2)kPA==-1,kPB==1,由题意得kPA≤k≤kPB,即-1≤k≤1.由-1≤tan α≤1,解得0≤α≤或≤α<π,∴α的取值范围是∪.故选A. 拓展　解:(1)如图所示,由点M(x,y)在函数y=-2x+8的图象上,且2≤x≤3,可知点M(x,y)在线段AB上移动,且A(2,4),B(3,2). 的几何意义是过O,M两点的直线的斜率,又kOA=2,kOB=, ∴由图可知的最大值为2,最小值为. (2)=,其几何意义是过M(x,y),N(-1,-1)两点的直线的斜率. ∵kNA=,kNB=,∴≤≤,∴的取值范围为. 探究点三 例3　(1)AC　(2)C　(3)-　[解析] (1)由A(0,2),B(-1,0),可得=(-1,-2),因为(1,2)=-(-1,-2),(2,4)=-2(-1,-2),所以(1,2),(2,4)都是直线AB的方向向量,而(1,-2)和(2,-4)都不是直线AB的方向向量.故选AC. (2)∵直线AB的一个方向向量为(1,k),∴==3,解得k=3.故选C. (3)因为直线l的一个方向向量为(-3,),所以直线l的斜率为-. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章　直线和圆的方程 2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 【学习目标】 　　1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,描述两者之间的相互转换关系. 　　2.能说明倾斜角是刻画直线倾斜程度和确定直线的几何要素,并能根据斜率(倾斜角)的范围判断倾斜角(斜率)的范围. 　　3.掌握过两点的直线斜率的计算公式,并能灵活运用公式计算直线的斜率. ◆ 知识点一　直线的倾斜角 1.定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l　　　　的方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角.特别地,当　　　　　　　　　　　　　　时,我们规定它的倾斜角为0°.  2.直线的倾斜角α的取值范围:　.  【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一条直线的倾斜角为90°,则这条直线与x轴垂直. (　 ) (2)某条直线的倾斜角可能为-60°,也可能为210°. (　 ) (3)任意一条直线都有且只有一个倾斜角和它对应. (　 ) 2.当直线的倾斜角为锐角时,直线一定过哪两个象限? ◆ 知识点二　直线的斜率 1.直线斜率的定义 我们把一条直线的　　　　　　　　　叫作这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即　　　　.  (1)倾斜角是90°的直线没有斜率,但并不是该直线不存在,此时,直线垂直于x轴. (2)倾斜角α与斜率k的关系: 当α=0°时,　　　　;当0°<α<90°时,　　　;当α=90°时,　　　　　;当90°<α<180°时,　　　　.  2.斜率公式 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是　　　　　　.  对于上面的斜率公式要注意下面两点: (1)斜率公式与点P1,P2的先后顺序无关. (2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”,即直线不与x轴垂直,因为当直线与x轴垂直时,斜率是不存在的. 3.直线的方向向量与斜率的关系 (1)经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的一个方向向量为=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1),因此,当直线的斜率k存在时,直线的一个方向向量为　　　　;  (2)若直线的一个方向向量为(x,y)(x≠0),则直线的斜率k=　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)任意一条直线都有且只有一个斜率和它对应. (　 ) (2)已知直线上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)可以确定直线的方向,求出直线的一个方向向量,进而可以求出它的斜率. (　 ) (3)直线的倾斜角是锐角时,直线的斜率为正;直线的倾斜角是钝角时,直线的斜率为负. (　 ) (4)直线的倾斜角越大,它的斜率越大;反过来,直线的斜率越大,它的倾斜角也越大. (　 ) ◆ 探究点一　直线的倾斜角 例1 (1)若直线l向上的方向与y轴正向之间所成的角为30°,则直线l的倾斜角为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° (2)直线l过原点(0,0),且不过第三象限,则l的倾斜角α的取值范围是 (　 ) A.0°≤α≤90° B.90°≤α<180° C.90°≤α<180°或α=0° D.90°≤α≤135° 变式 (1)(多选题)若直线l与x轴交于点A,其倾斜角为α,将直线l绕点A顺时针旋转后得到直线l1,则直线l1的倾斜角可能为 (　 ) A.α+ B.α+ C.α- D.-α (2)如图,已知直线l1的倾斜角为150°,l2⊥l1,垂足为B,l1,l2与x轴分别相交于点C,A,直线l3 平分∠BAC,则l3的倾斜角为　　　　.  [素养小结] 求直线的倾斜角的方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角. ◆ 探究点二　直线的斜率 例2 (1)若直线l的倾斜角为,则直线l的斜率为 (　 ) A.- B.-1 C.- D.- (2)[2026·天津滨海新区高二期中] 已知过A(-2,m)和B(m,4)的直线的斜率为2,则m的值是　　　　.  变式 (1)如图,若直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则 (　 ) A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2 (2)[2026·襄阳四中高二月考] 经过点P(0,-1)作直线l,若直线l与A(1,-2),B(2,1)两点的连线总有公共点,设l的倾斜角为α,l的斜率为k,则 (　 ) A.α∈∪ B.α∈ C.k∈(-1,1) D.k∈(-∞,-1]∪[1,+∞) [素养小结] (1)由直线的倾斜角α的大小(或取值范围)求斜率k的值(或取值范围)时,可利用公式k=tan α(α≠90°). (2)由直线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1≠x2)的坐标求斜率k时,可利用公式k=. 拓展 已知点M(x,y)在函数y=-2x+8的图象上,当x∈[2,3]时,求: (1)的最大值与最小值; (2)的取值范围. ◆ 探究点三　直线的方向向量的应用 例3 (1)(多选题)经过A(0,2),B(-1,0)两点的直线的方向向量可能为 (　 ) A.(1,2) B.(1,-2) C.(2,4) D.(2,-4) (2)经过A(2,3),B(1,0)两点的直线的一个方向向量为(1,k),则k的值为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 (3)已知直线l的一个方向向量为(-3,),则直线l的斜率为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $