1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时 用空间向量研究距离问题(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

本讲义聚焦用空间向量研究距离问题，核心知识点包括点到直线、点到平面的距离公式推导，及平行直线间、线面、面面距离的转化，以直线方向向量和平面法向量为支架，通过向量投影和勾股定理构建解决路径。 特色在于结构化设计，诊断分析强化概念理解，探究点结合三棱锥、正方体实例，用数学思维转化复杂距离为点到线/面距离，数学语言表达向量运算过程，课中助教师引导转化，课后学生可借变式练习查漏补缺。

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 【学习目标】 　　1.借助直线的方向向量和平面的法向量,能计算点到直线的距离、点到平面的距离,并知道两条平行直线之间的距离、直线与平面平行时两者间的距离、两个平行平面之间的距离. 　　2.能分析和解决一些立体几何中的距离问题,体会向量方法与综合几何方法的共性和差异,体会直线的方向向量和平面的法向量的作用,感悟向量是研究几何问题的有效工具. ◆ 知识点　用空间向量研究距离问题 1.点到直线的距离 如图,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,设=a,则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u.在Rt△APQ中,由勾股定理,得PQ=　　　　　　=　　　　　　.  2.点到平面的距离 如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此PQ==　　　　　=　　　　　.  3.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题; (3)把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面α外一点A到平面α的距离,就是点A与平面α内一点B所成向量的长度. (　 ) (2)若直线l∥平面α,则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离. (　 ) (3)若平面α∥平面β,则两平面α,β间的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离. (　 ) ◆ 探究点一　点到直线的距离 例1 在空间直角坐标系中,直线l经过点P(2,-1,-2),且一个方向向量为n=(1,2,-1),则点M(1,0,-2)到直线l的距离为 (　 ) A. B. C.3 D. 变式 [2026·厦门六中高二月考] 如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点,△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA. (1)证明:AO⊥BC; (2)当AO=1时,求点E到直线BC的距离. [素养小结] 用向量法求点到直线的距离的一般步骤: (1)建立空间直角坐标系; (2)求直线的方向向量; (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线上的投影向量的长度; (4)利用勾股定理求解. 另外,要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化. ◆ 探究点二　点到平面的距离 例2 [教材P35练习第2题改编] 如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱DD1的中点,F为棱BB1的中点. (1)求点F到直线AE的距离; (2)求点C到平面AB1E的距离. 变式 [2026·成都高二期中] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=2,CA⊥CB,CC1=,点M,N分别为棱AB,B1C1的中点. (1)证明:MN⊥CA1; (2)求点A到平面MNC的距离. [素养小结] 用向量法求点到平面的距离的步骤: (1)建系:建立恰当的空间直角坐标系; (2)求点的坐标:写出(求出)相关点的坐标; (3)求向量:求出相关向量的坐标; (4)利用公式即可求得点到平面的距离. 拓展 如图,在三棱锥D-ABC中,△ABC与△ABD均是以AB为斜边的等腰直角三角形,AB=2,DC=,E,F分别是AD,AC的中点,线段EC上一动点P满足=λ(0≤λ≤1),是否存在λ,使得点P到平面DFB的距离为?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. ◆ 探究点三　线面距和面面距 例3 如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点. (1)证明:直线MN∥平面OCD; (2)求直线MN到平面OCD的距离. 变式 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2. (1)求直线B1C到平面A1BD的距离; (2)求平面A1BD与平面B1CD1的距离. [素养小结] (1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可. (2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 【课前预习】 知识点 1.　 2.　 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)√ 【课中探究】 探究点一 例1　D　[解析] 由题意可得与n同向的单位向量v==(1,2,-1),设a==(-1,1,0),则a2=2,a·v=,所以点M到直线l的距离d====.故选D. 变式　解:(1)证明:由AB=AD,O为BD的中点,得AO⊥BD, 又平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AO⊂平面ABD,所以AO⊥平面BCD, 又BC⊂平面BCD,所以AO⊥BC. (2)取OD的中点F,连接CF,由△OCD为等边三角形,得CF⊥OD, 过O作OM∥CF,与BC交于点M,则OM⊥OD,所以直线OM,OD,OA两两垂直,以点O为原点,OM,OD,OA所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图, 则B(0,-1,0),C,E,连接BE,所以=,=, 所以|cos<,>|===,可得sin<,>=, 所以点E到直线BC的距离为||sin<,>=×=. 探究点二 例2　解:(1)以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,连接AF. 因为正方体的棱长为2,且E为棱DD1的中点,F为棱BB1的中点, 所以E(0,0,1),F(2,2,1),A(2,0,0), 所以=(-2,0,1),=(0,2,1),所以==. 又=22+12=5, 所以点F到直线AE的距离为=. (2)连接AC,由(1)得B1(2,2,2),C(0,2,0),则=(-2,2,0),=(0,2,2),=(-2,0,1). 设平面AB1E的法向量为n=(x,y,z), 则即取x=1,则y=-2,z=2,所以n=(1,-2,2)是平面AB1E的一个法向量, 所以C到平面AB1E的距离为==2. 变式　解:(1)证明:如图,以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Cxyz, 则C(0,0,0),A1(2,0,),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,),B1(0,2,), 故M(1,1,0),N(0,1,), 所以=(-1,0,),=(2,0,), 因为·=(-1)×2+0×0+×=0, 所以⊥,则MN⊥CA1. (2)设平面MNC的法向量为n=(x,y,z), 因为=(1,1,0),=(0,1,), 所以令z=1,则y=-,x=, 所以平面MNC的一个法向量为n=(,-,1), 又因为=(2,0,0),所以点A到平面MNC的距离d===. 拓展　解:如图,取AB的中点O,连接DO,CO,在等腰直角三角形DAB中,可得DO=1,DO⊥AB. 同理可得CO=1,CO⊥AB, 在△DOC中,CO2+DO2=CD2, 由勾股定理可知,∠DOC=90°, 即DO⊥OC,∴OD,OC,AB两两垂直,以O为原点,分别以OC,OB,OD所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz,∴D(0,0,1),F,B(0,1,0),E,C(1,0,0), ∴=(0,1,-1),=,=,=. 设平面DFB的法向量为n=(x,y,z), 则取y=1,则n=(3,1,1). 连接DP,由=λ(0≤λ≤1)得=λ,故=+=+λ=, 由点P到平面DFB的距离d===,解得λ=或λ=0,∴存在λ,且λ=或λ=0,使得P到平面DFB的距离为. 探究点三 例3　解:(1)证明:因为四棱锥O-ABCD中,OA⊥底面ABCD,AB,AD⊂底面ABCD,且底面ABCD是正方形, 所以AB,AD,AO两两垂直, 以A为原点,AB,AD,AO所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则由题意可得M(0,0,1),N(2,1,0),O(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0), 所以=(2,1,-1),=(2,2,-2),=(0,2,-2), 设平面OCD的法向量为m=(x,y,z), 则取y=1可得平面OCD的一个法向量为m=(0,1,1), 因为·m=2×0+1×1+(-1)×1=0,MN⊄平面OCD,所以直线MN∥平面OCD. (2)由于MN∥平面OCD,所以直线MN到平面OCD的距离等于点N到平面OCD的距离. 又N(2,1,0),C(2,2,0),所以=(0,1,0),又平面OCD的一个法向量为m=(0,1,1), 所以点N到平面OCD的距离d===,故直线MN到平面OCD的距离为. 变式　解:(1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则D(0,0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C(0,2,0), 所以=(2,0,2),=(2,0,2),=(2,2,0), 所以∥,即B1C∥DA1, 又B1C⊄平面A1BD,DA1⊂平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD,所以直线B1C到平面A1BD的距离等于点B1到平面A1BD的距离. 设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z), 则令x=1,则n=(1,-1,-1),又=(0,2,0), 所以点B1到平面A1BD的距离d===,即直线B1C到平面A1BD的距离为. (2)由(1)知B1C∥平面A1BD,同理可得D1B1∥平面A1BD,又B1C∩D1B1=B1,B1C,D1B1⊂平面B1CD1, 所以平面A1BD∥平面B1CD1,即平面A1BD与平面B1CD1的距离等于点B1到平面A1BD的距离. 由(1)知,点B1到平面A1BD的距离d=,所以平面A1BD与平面B1CD1的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $