1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第3课时 空间中直线、平面的垂直(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

本讲义聚焦空间中直线、平面的垂直这一核心知识点，系统梳理用直线方向向量和平面法向量刻画线线、线面、面面垂直的条件，搭建从空间向量概念到立体几何垂直问题解决的学习支架。 资料通过诊断分析、探究例题及变式练习，引导学生用数学眼光观察垂直关系，用数学思维推理向量条件，如例2结合四棱锥模型证明线线和面面垂直。课中助力教师引导探究，课后帮助学生巩固应用，查漏补缺。

第3课时　空间中直线、平面的垂直 【课前预习】 知识点 u1⊥u2　u1·u2=0　u1∥n1　u1=λn1　n1⊥n2 n1·n2=0 诊断分析 (1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 【课中探究】 探究点一 例1　(1)A　(2)B　[解析] (1)因为α⊥β,所以n1·n2=2-a+3b=0,可得a-3b=2.故选A. (2)对于A,一条直线的方向向量不唯一,A错误;对于B,若直线l的方向向量与平面α的法向量平行,则l⊥α,B正确;对于C,若平面α的法向量与平面β的法向量平行,则α∥β,C错误;对于D,若直线l的方向向量与平面α的法向量垂直,则l∥α或l⊂α,D错误.故选B. 变式　(1)AB　(2)(-1,0,2)　[解析] (1)对于A,两条不重合直线l1,l2的一个方向向量分别是a=(2,3,-1),b=,则b=-a,所以a∥b,即l1∥l2,故A正确;对于B,两个不同的平面α,β的一个法向量分别是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),则u·v=2×(-3)+2×4+(-1)×2=0,所以α⊥β,故B正确;对于C,直线l的一个方向向量是a=(1,-1,2),平面α的一个法向量是u=(6,4,-1),则a·u=1×6-1×4+2×(-1)=0,所以a⊥u,则l∥α或l⊂α,故C错误;对于D,直线l的一个方向向量是a=(0,3,0),平面α的一个法向量是u=(0,-1,0),则u=-a,所以u∥a,故l⊥α,故D错误.故选AB. (2)由题意得=(-x,1,-z),=(-1,-1,-1),=(2,0,1).设平面ABC的法向量为n=(a,b,c),由得令a=1,则平面ABC的一个法向量为n=(1,1,-2).因为PA⊥平面ABC,所以∥n,即存在实数λ,使得=λn,即解得故P(-1,0,2). 探究点二 例2　证明:(1)取BC的中点O,连接PO, ∵BC=PB=PC,∴PO⊥BC, 又∵侧面PBC⊥底面ABCD,侧面PBC∩底面ABCD=BC,PO⊂侧面PBC, ∴PO⊥底面ABCD. 以O为原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴, OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示. 不妨设CD=1,则AB=BC=2,PO=,∴A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,), ∴=(-2,-1,0),=(1,-2,-). ∵·=-2×1+(-1)×(-2)+0×(-)=0, ∴⊥,∴PA⊥BD. (2)取PA的中点M,连接DM,则M, ∵=,=(1,0,-),∴·=0, ∴⊥,即DM⊥PB. 同理可得DM⊥PA,又∵PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB,∴DM⊥平面PAB. ∵DM⊂平面PAD,∴平面PAD⊥平面PAB. 变式　证明:因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形, 所以以A为原点,以AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由PA=AD=AB=2,M,N分别为AB,PC的中点,得A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0),M(1,0,0),N(1,1,1), 所以=(0,1,1),=(0,-2,2),=(2,0,0), 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z), 则令y=1,可得n=(0,1,1), 因为∥n,所以MN⊥平面PCD. 拓展　解:(1)证明:∵DE⊥AB,∴BE⊥DE, 又∵BE⊥A1D,DE∩A1D=D,DE⊂平面A1DE,A1D⊂平面A1DE,∴BE⊥平面A1DE. ∵A1E⊂平面A1DE,∴A1E⊥BE, 又∵A1E⊥DE,BE∩DE=E,BE⊂平面BCDE,DE⊂平面BCDE,∴A1E⊥平面BCDE. (2)存在,理由如下: ∵A1E⊥平面BCDE,BE⊥DE, ∴以E为原点,分别以EB,ED,EA1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则E(0,0,0),B(1,0,0),D(0,,0),A1(0,0,1). 假设在线段BD上存在一点P,使得平面A1EP⊥平面A1BD,设P(x,y,z),=λ(0≤λ≤1), 则(x-1,y,z)=λ(-1,,0),∴P(1-λ,λ,0), ∴=(0,0,1),=(1-λ,λ,0). 设平面A1EP的法向量为m=(x1,y1,z1), 由得 令x1=λ,得m=(λ,λ-1,0). 设平面A1BD的法向量为n=(x2,y2,z2), 又=(1,0,-1),=(0,,-1), 故 取x2=,得n=(,1,). ∵平面A1EP⊥平面A1BD,∴m·n=3λ+λ-1=0,解得λ=,满足0≤λ≤1, ∴在线段BD上存在点P,使得平面A1EP⊥平面A1BD,且此时=. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3课时　空间中直线、平面的垂直 【学习目标】 　　1.能用直线的方向向量和平面的法向量刻画直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直. 　　2.能分析和解决一些立体几何中的垂直问题,体会向量方法与综合几何方法的共性和差异,体会直线的方向向量和平面的法向量的作用,感悟向量是研究几何问题的有效工具. ◆ 知识点　用空间向量描述空间线面的垂直关系 设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则 垂直关系 对应线面 图形 满足条件 线线垂直 l1与l2 l1⊥l2⇔　　　⇔　　　　　　  线面垂直 l1与α l1⊥α⇔　　　⇔∃λ∈R,使得　　　　  面面垂直 α与β α⊥β⇔　　　⇔　　　　　  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)两条直线的方向向量垂直,则这两条直线垂直. (　 ) (2)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直. (　 ) (3)两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直. (　 ) (4)若直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则l1⊥l2. (　 ) ◆ 探究点一　空间向量与垂直关系　　　　　 　　　　　 　　　　　 例1 (1)[2026·长沙名校联合体高二月考] 在空间直角坐标系Oxyz中,已知平面α,β的一个法向量分别为n1=(2,a,3),n2=(1,-1,b),若α⊥β,则a-3b= (　 ) A.2 B.-2 C. D.6 (2)下列说法正确的是 (　 ) A.一条直线的方向向量是唯一的 B.若直线l的方向向量与平面α的法向量平行,则l⊥α C.若平面α的法向量与平面β的法向量平行,则α⊥β D.若直线l的方向向量与平面α的法向量垂直,则l∥α 变式 (1)(多选题)下列选项正确的是 (　 ) A.两条不重合直线l1,l2的一个方向向量分别是a=(2,3,-1),b=,则l1∥l2 B.两个不同的平面α,β的一个法向量分别是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),则α⊥β C.直线l的一个方向向量是a=(1,-1,2),平面α的一个法向量是u=(6,4,-1),则l⊥α D.直线l的一个方向向量是a=(0,3,0),平面α的一个法向量是u=(0,-1,0),则l∥α (2)已知点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为　　　　.  [素养小结] 在探究空间的垂直关系时,通常的做法是看到直线找直线的方向向量,看到平面找平面的法向量,然后通过向量的运算得到直线的方向向量与直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、平面的法向量与平面的法向量之间的关系,从而确定线线、线面、面面之间的关系. ◆ 探究点二　利用空间向量证明垂直关系 例2 [2025·上饶一中高二月考] 已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.证明: (1)PA⊥BD; (2)平面PAD⊥平面PAB. 变式 如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,PA=AD=AB=2,M,N分别为AB,PC的中点.求证:MN⊥平面PCD. [素养小结] (1)用向量法证明线面垂直的方法:①证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直;②证明直线的方向向量与平面的法向量平行. (2)证明面面垂直的方法:①利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明;②证明两个平面的法向量互相垂直. 拓展 如图①,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,DE⊥AB,垂足为E,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1D⊥BE,如图②. (1)求证:A1E⊥平面BCDE. (2)在线段BD上是否存在点P,使得平面A1EP⊥平面A1BD?若存在,求出的值;若不存在,说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $