专题28.4 相似三角形的性质（举一反三讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

本讲义聚焦相似三角形的性质这一核心知识点，系统梳理对应边成比例、对应角相等、周长比等于相似比、面积比等于相似比平方及对应高、角平分线、中线的比等于相似比等基础性质，构建从基础应用到性质与判定综合运用的递进学习支架。 资料以9大题型系统归纳，例题与变式结合，通过基础题型培养抽象能力和几何直观，综合题型如求最值、证明线段乘积等式发展推理能力和模型意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生强化练习，查漏补缺，提升数学应用意识。

专题28.4 相似三角形的性质（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 相似三角形的对应边成比例】 1 【题型2 相似三角形的对应角相等】 4 【题型3 相似三角形的周长比等于相似比】 6 【题型4 相似三角形的面积比等于相似比平方】 8 【题型5 相似三角形的性质结合判定证明线段乘积等式】 11 【题型6 相似三角形的性质结合判定求线段长度】 16 【题型7 相似三角形的性质结合判定求面积】 20 【题型8 相似三角形的性质结合判定求最值】 26 【题型9 相似三角形的性质结合判定综合证明】 32 考点1 相似三角形的性质 知识点 相似三角形的性质 1. 相似三角形对应高的比等于相似比． 2. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 3. 相似三角形对应中线的比等于相似比． 4. 相似三角形的周长比等于相似比． 5. 相似三角形的面积比等于相似比的平方． 【题型1 相似三角形的对应边成比例】 【例1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知，．若的长度为4，则的长度为（    ） A．4 B．6 C．12 D．13.5 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键； 根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解： 故选：B． 【变式1-1】（24-25九年级上·四川成都·期中）如果，与的面积分别是和，其中的最短边的长度是5，那么的最短边的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行计算即可解答． 【详解】解： ，与的面积分别是和， 与的相似比为， 的最短边的长度是5， 的最短边的长度是， 故选：D． 【变式1-2】如图，，若，，则的长度是________． 【答案】 【分析】相似三角形的性质得出对应边成比例,即可得出AC的长度. 【详解】∵， ∴， 即， 解得:AC=9. 故答案为:9. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质;熟练掌握相似三角形的性质,由相似三角形的性质得出应边成比例是解决问题的关键. 【变式1-3】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，点，分别在边，上，且．若以，，为顶点的三角形与相似，则的长度为________． 【答案】或 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，清晰的分类讨论是解题的关键．分两种情况讨论：当△时，可得，当时，可得，再求解即可． 【详解】，，，， ． 当时，，即， ， ； 当时，，即， ， ． 综上，的长为或． 故答案为：或． 【题型2 相似三角形的对应角相等】 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，在正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由图可得，再根据相似三角形的性质即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由图可得，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，已知．则的度数为______° 【答案】70 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，三角形内角和定理的应用，是基础知识，要熟练掌握．先根据相似三角形的性质得出，然后再根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案是：70． 【变式2-2】（25-26九年级上·上海黄浦·期中）如果两个等腰三角形是相似三角形，其中一个三角形的一内角为，那么另一个三角形中底角的度数为____________度． 【答案】50或65/65或50 【分析】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由于两个等腰三角形相似，对应角相等，已知一个三角形有一个内角为，在等腰三角形中，可能是顶角或底角，因此第一个三角形的底角可能为或，根据相似三角形的性质，另一个三角形的底角与第一个三角形的底角相等，据此求解． 【详解】解：设第一个等腰三角形的一个内角为， 若为顶角，则底角为； 若为底角，则另一个底角也为，顶角为； 因此，第一个三角形的底角为或， 由于两个三角形相似，对应角相等，故另一个三角形的底角也为或， 故答案为：或． 【变式2-3】（24-25九年级上·河北唐山·阶段检测）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则_____；的度数为_____ ． 【答案】 或 【分析】本题考查相似三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，由是等腰三角形，，推出，即，分两种情形讨论①当时，②当时，分别求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴，即， ①当时，， ∴， ②当时，， ∴， 故答案为：；或． 【题型3 相似三角形的周长比等于相似比】 【例3】（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）已知两个相似三角形的对应角平分线之比为，如果其中较大三角形的周长是，那么另一个三角形的周长是 _____ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角平分线之比等于相似比，周长比也等于相似比．已知较大三角形的周长，可求较小三角形的周长． 【详解】解：两个相似三角形的对应角平分线之比为， 它们的相似比为， 它们的周长比为． 较大三角形的周长是， 较小三角形的周长为． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25九年级上·全国·期末）已知，和是它们的对应角平分线，若，的周长为16，则的周长是_______． 【答案】12 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质可直接进行求解． 【详解】解：∵，和是它们的对应角平分线，若， ∴与的周长比为， ∵的周长为16， ∴的周长是12， 故答案为：12． 【变式3-2】（25-26九年级上·山西忻州·期末）在和中，，且和的周长之差为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由相似三角形的周长比等于相似比，设的周长为x，则的周长为，根据周长差列方程求解． 【详解】解：∵， ∴，且相似比为. ∴的周长的周长， 设的周长为，则的周长为， ∵和的周长之差为， ∴，即，解得， ∴的周长为， 故选：D． 【变式3-3】两个相似三角形的一对对应边长分别为，，它们的周长差为，则这两个三角形的周长分别是_____，_____． 【答案】 126cm 132cm 【分析】根据相似三角形的一对对应边的长，可得出相似比，再根据周长的比等于相似比，即可求出两个三角形的周长． 【详解】解：∵三角形的对应边的比是21：22，周长的比等于相似比， ∴可以设一个三角形的周长是21x，则另一个三角形的周长是22x， ∵周长相差6cm，得到22x-21x=6， 解得：x=6， ∴21×6=126（cm）， ∴22×6=132（cm）， ∴这两个三角形的周长分别为126cm，132cm． 故答案为126cm，132cm． 【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形周长的比等于相似比． 【题型4 相似三角形的面积比等于相似比平方】 【例4】（25-26九年级上·河南郑州·期末）若两个相似三角形的周长之比是，且其中一个三角形的面积是3，则另一个三角形面积是_____． 【答案】或12 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求出面积比，分两种情况计算另一个三角形的面积即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长之比是， ∴两个相似三角形的相似比为 ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方 ∴两个相似三角形的面积比为 设另一个三角形的面积为， 若已知面积的三角形是较小的三角形， 则， 解得． 若已知面积的三角形是较大的三角形， 则， 解得 故答案为：或12． 【变式4-1】（25-26九年级上·上海·阶段检测）两个相似三角形对应中线之比是，它们的面积差是，则较大三角形的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，一元一次方程的应用，根据相似三角形的性质求出面积比，根据题意列出方程，解方程即可，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形对应中线之比是， ∴它们的面积比是， 设较小三角形的面积是，较大三角形的面积是， ∴， 解得， ∴较大三角形的面积是， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D，E分别是边上的点，且，，的面积是18，则四边形的面积是________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方． 根据条件证明，得到相似比，然后利用三角形的面积比等于相似比的平方求出的面积，最后利用面积的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴相似比为， , ∴四边形的面积为， 故答案为：10． 【变式4-3】（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，点P是内一点，过点P分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4和36，则的面积是______． 【答案】81 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键． 根据题意可得，，，，可得，可得对应边的比为，设，则，，由此可得，根据面积比等于对应边比的平方即可求解． 【详解】解：如图所示，由题意可得，，，， ，，，， ， 的面积分别为， 对应边的比为， 又四边形与四边形为平行四边形， ， 设，则，， ， ， 由相似三角形面积比等于相似比的平方，可得出： ， ． 故答案为：81 ． 【题型5 相似三角形的性质结合判定证明线段乘积等式】 【例5】（24-25九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，是的边上的中线，交的延长线于点，是的平分线，与相交于点． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判断与性质．证明出与全等以及与相似是解决本题的关键． （1）根据角边角的证明方法证明与全等，由全等可得，再由平行可得相似，再由相似的性质可得边成比例； （2）根据（1）中结论由全等可得，再由相似可得，根据边的关系即可得证． 【详解】（1）证明：∵是的边上的中线， ∴， ∵， ∴， 又， 在与中， 由， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, 又， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴，即， 由（1）知， ， ∴， 即， 即， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 【变式5-1】（2025·上海徐汇·一模）如图，在梯形中， 是梯形对角线，．    (1)求证：； (2)以为一边作交边于点，求证：． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ， ， ； (2) 证明：作交边于点 ，    由（1）得， ， 又， ， ， ， 又， ． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）证明，得到，结合，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式5-2】（2025·上海虹口·一模）如图，在中，，点在边上，过点作垂直交于点，连接、交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1) 证明： (2) 证明： ， ， 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识： （1）由，证明， 得，所以，则； （2）由相似三角形的性质得，推导出，由， ，得，则 ， ，而，所以，则，所以，则 【详解】（1）略 （2）略 【变式5-3】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在正方形中，点是边上的一点（不与，重合），将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，．与边交于点，与相交于点． (1)求证：； (2)当平分时，求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． (2)证明：∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，即， 平分， ∴， ∵， ∴，     ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）先由正方形得，，再根据旋转得，，接着利用同角余角相等推出，最后证明； （2）先根据，，得，正方形对角线得，再根据角平分线和全等得，从而证，最后根据相似比例，结合得． 【详解】（1）略； （2）略． 【点睛】求证乘积式先转比例式，依托等角证相似，再借等量代换完成推导． 【题型6 相似三角形的性质结合判定求线段长度】 【例6】（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在中，D为上一点，E为上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】对于本题重点，掌握相似三角形的判定定理1，以及相似三角形的对应边成比例的性质． （1）根据两角对应相等，两三角形相似证明即可； （2）根据得到，然后求出，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ， ； （2）解：在（1）中已证明， ， ，，， ， ． 【变式6-1】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点为边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质， （1）根据平行四边形的性质得，，再根据“两角分别相等的两个三角形相似”得出答案； （2）先说明，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ； （2）解：， . 四边形是平行四边形， ， . ， . . 【变式6-2】（2026·北京东城·二模）如图，在四边形中，，，以为腰作等腰，，点在边上，交于点．若，则长的值为________． 【答案】 【分析】先求出，再得出，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵在等腰中，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式6-3】（2026·广东深圳·三模）如图，正方形的边长为4，点E在边上，，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，交于点G，则的长为____________． 【答案】 【分析】过点作分别交、的延长线于点、，则四边形和四边形是矩形，证明，得出，，再证明，利用对应边成比例求解即可． 【详解】解：如图，过点作分别交、的延长线于点、， 正方形的边长为4，点E在边上，， ，，，，， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ，，， 四边形和四边形是矩形， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ． 【题型7 相似三角形的性质结合判定求面积】 【例7】已知如图，平行四边形中，． (1)与相似吗？若相似，请说明理由，并求出相似比． (2)如果的面积等于，求的面积． 【答案】(1)，相似比为，理由见解析 (2)的面积是 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解答的关键是熟记相似三角形的性质：相似三角形的周长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方． （1）由平行四边形的性质可得，从而有，则有即可求解； （2）利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）解：，相似比为，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∴． ， ， ，即相似比为； （2）∵，， ∴． ∵， ∴． 【变式7-1】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，DC与BE相交于点O，且DO＝2，BO＝DC＝6，OE＝3． （1）求证：DE∥BC； （2）如果四边形BCED的面积比△ADE的面积大12，求△ABC的面积． 【答案】（1）见解析；（2）S△ABC＝24. 【分析】（1）证明△DOE∽△COB即可解决问题． （2）由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，＝＝，推出＝，设△ADE的面积为x，则△ABC的面积为4x，构建方程即可解决问题． 【详解】解：（1）∵OD＝2，DC＝6，OE＝3， ∴OC＝4，＝，＝， ∴＝， ∵∠DOE＝∠BOC， ∴△DOE∽△COB， ∴∠ODE＝∠OCB， ∴DE∥BC． （2）∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝＝， ∴＝，设△ADE的面积为x，则△ABC的面积为4x， ∴四边形BCED的面积为3x， 由题意3x﹣x＝2x＝12， ∴x＝6， ∴S△ABC＝4x＝24． 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、平行线的判定，掌握相似三角形的判定和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决此题的关键. 【变式7-2】 如图，一块直角三角形木板，直角边AB的长为1.5米，三角形的面积为1.5平方米，工人师傅要用它截取一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲同学的设计方案如图（1），乙同学的设计方案如图（2），你认为哪位同学设计的正方形面积大？请说明理由． 【答案】甲同学设计的方案较好，理由见解析． 【分析】利用正方形的对边平行．寻找相似三角形，由“相似三角形对应边的比，等于对应边上高的比”的性质，列出等量关系，计算正方形的边长x、y，比较大小，选择合理方案． 【详解】解：由AB=1.5m，S△ABC=1.5m2，可得BC=2m， 由图1，若设甲设计的正方形桌面边长为xm， 由DE∥AB，得Rt△CDE∽Rt△CBA， ∴，即， ∴3-1.5x=2x，， 由图2，过点B作Rt△ABC斜边AC上的高， BH交DE于P，交AC于H． 由AB=1.5m，BC=2m， 得：（m）， 由AC•BH=AB•BC可得， ， 设乙设计的桌面的边长为ym， ∵DE∥AC， ∴Rt△BDE∽Rt△BAC， ∴， 即，解得， ∵， ∵x2＞y2， ∴甲同学设计的方案较好． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 【变式7-3】问题背景 （1）如图，中，分别交，于，两点，过点作交于点．请按图示数据填空：四边形的面积　　，的面积　　，的面积　　 探究发现 （2）在（1）中，若，，与间的距离为．请证明． 拓展迁移 （3）如图，的四个顶点在的三边上，若、、的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求的面积． 【答案】（1）6，9，1；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查四边形综合题、相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会转化的思想，把问题转化为我们熟悉的题型． （1）根据平行四边形面积公式、三角形面积公式，相似三角形的性质即可解决问题． （2）根据平行四边形面积公式、三角形面积公式，相似三角形的性质，分别求出、即可解决问题． （3）过点作交于，则四边形为平行四边形，利用（2）的结论求出的面积，的面积即可． 【详解】解：（1） ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， 故答案为：6，9，1； （2）证明： ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 而， ； （3）解：过点作交于，则四边形为平行四边形． ，，， 四边形为平行四边形， ． ． ， ． 的面积为． 由（2）得，的面积为， 的面积为． 【题型8 相似三角形的性质结合判定求最值】 【例8】（2025·河南漯河·一模）如图，在中，，，，是边上的一动点，连接，以为直角边按如图所示的方向作，使得，且，是边上的一点，，连接，则的长的最小值为___________，的长的最小值为___________． 【答案】 3 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，垂线段最短，相似三角形的判定与性质，连接并延长，交的延长线于点，证明，得，当点在边上运动时，点随之在边上运动．当时，的值最小．在中，运用角所对的直角边等于斜边一半可得．当时，的值最小．证明，根据相似三角形的判定与性质可得． 【详解】解：如图，连接并延长，交的延长线于点． 在中，， ． ， ，即． ， ， ， 当点在边上运动时，点随之在边上运动． 当时，的值最小． 在中，， ． 当时，的值最小． 在中，， ． ， ， ， ，即， 解得． 故答案为：，3． 【变式8-1】（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，为等边三角形，点D为直线上一点，将射线绕点D逆时针旋转，交过点B平行于的直线于点E，若，则线段的最小值是________． 【答案】 【分析】在直线上取点F，使，连接，可得为等边三角形，设，则，证明，可得，即，可得，从而得到当最小时，最小，且当时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，在直线上取点F，使，连接， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 设，则， 由旋转的性质得：， 即， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴或（舍去）， 即， ∴， ∴， ∴当最小时，最小，且当时，取得最小值， 如图， 此时， ∴， 即的最小值为． 【变式8-2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，的直角边经过正方形的顶点， ，，若，则点到的距离的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、解直角三角形，由题意可得，由正方形的性质可得，，延长 至点，使，连接，，证明，得出．分别取，的中点，，连接，，作 于点，则，求出，再结合计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：∵的直角边经过正方形的顶点， ，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， 如图，延长 至点，使，连接，． 则，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 分别取，的中点，，连接，，作 于点， 则， ∵， ∴． ， ， 即点到的距离的最大值为， 故选：A． 【变式8-3】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点在轴上，，且，则线段长的最大值是（   ） A．6 B．8 C．12 D． 【答案】B 【分析】如图所示，作矩形，过点作轴交于点，取的中点，连接、，证明，得，由已知，得，继而得到，，根据勾股定理，再根据，即可得解． 【详解】解：如图所示，作矩形，过点作轴交于点，取的中点，连接、， ∵ ∴， 又∵ ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴的最大值是． 故选：B． 【点睛】本题考查坐标与图形，矩形的性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是将线段的最大值转化为三角形的三边关系求解． 【题型9 相似三角形的性质结合判定综合证明】 【例9】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，分别是正方形的边和的中点，连接、，它们交于点． (1)求证：； (2)如图，连接，求证：； (3)如图，连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析． 【分析】（）由正方形性质可得，，又分别是正方形的边和的中点，可证，然后证明，最后通过全等三角形的性质和角度和差即可求证； （）取中点，连接交于点，证明四边形是平行四边形，故有，则，根据性质得，所以，故垂直平分，根据垂直平分线的性质得出； （）过作于点，先证明，，根据相似三角形的性质可得，，设，则，则，设，则，，，求出，因此得出，，，再由勾股定理得出，，从而求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵分别是正方形的边和的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，取中点，连接交于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是正方形的边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（）得：， ∴， ∴垂直平分， ∴； （3）证明：如图，过作于点， ∴， ∴，， ∴，， 由（）得， 设，则， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， ∴， ∴，，， 由勾股定理得：，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式9-1】（2024·福建厦门·二模）在中， ，平分，点是段上的动点（不与重合） (1)如图，若，求证：． (2)如图，点是线段延长线上的一点，且， 求证：是的中点； 将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，求证． 【答案】(1) 证明：∵，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：设，，则， ∴，， ∴ ∴， ∴是的中点； 延长至使，连接， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵点是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（）证明即可求证； （）①设，，则，可得，，即得，即可求证 证明，得到，再根据三线合一即可求证； 本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，余角性质，相似三角形的判定和性质，中点的定义，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 【变式9-2】（2026·上海宝山·二模）如图，已知梯形中，，，对角线与交于点E，将沿着直线翻折得到（点D对应点F）． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果四边形是矩形，且，求证：． 【答案】(1) 证明：由翻折可得，， ∵梯形中，，， ∴梯形是等腰梯形，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； (2) 证明：如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，设， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）先得到梯形是等腰梯形，然后根据等腰梯形的性质以及折叠的性质，通过两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）先根据比例线段证明，然后结合翻折，矩形的性质证明，即可求证． 【变式9-3】如图1，在菱形中，P是边上的一点，过点P作的平行线，过点C作的垂线，两线相交于点Q． (1)求证：； (2)求证：为等腰三角形； (3)如图2，连接交于点E，交于点F，连接， ①求证：； ②若，求的值．（结果用含k的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①见解析；② 【分析】（1）根据四边形是菱形，得出，结合，可得，即可证明； （2）根据，得出，根据菱形的性质得出，结合，得出，则，证明为等腰三角形； （3）连接，①根据，得出，结合O为中点，得出E是中点，根据，  得出，证明，得出，再根据等腰三角形三线合一的性质可得； ②根据，，得出，，，则，证明， 得出，结合，，即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， 又， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴为等腰三角形； （3）解：如图，连接， 证明：①∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴点O为中点， ∴E是中点， ∵，   ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴； 解：②∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28.4 相似三角形的性质（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 相似三角形的对应边成比例】 1 【题型2 相似三角形的对应角相等】 2 【题型3 相似三角形的周长比等于相似比】 3 【题型4 相似三角形的面积比等于相似比平方】 3 【题型5 相似三角形的性质结合判定证明线段乘积等式】 4 【题型6 相似三角形的性质结合判定求线段长度】 5 【题型7 相似三角形的性质结合判定求面积】 6 【题型8 相似三角形的性质结合判定求最值】 7 【题型9 相似三角形的性质结合判定综合证明】 8 考点1 相似三角形的性质 知识点 相似三角形的性质 1. 相似三角形对应高的比等于相似比． 2. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 3. 相似三角形对应中线的比等于相似比． 4. 相似三角形的周长比等于相似比． 5. 相似三角形的面积比等于相似比的平方． 【题型1 相似三角形的对应边成比例】 【例1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知，．若的长度为4，则的长度为（    ） A．4 B．6 C．12 D．13.5 【变式1-1】（24-25九年级上·四川成都·期中）如果，与的面积分别是和，其中的最短边的长度是5，那么的最短边的长度是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，，若，，则的长度是________． 【变式1-3】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，点，分别在边，上，且．若以，，为顶点的三角形与相似，则的长度为________． 【题型2 相似三角形的对应角相等】 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，在正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为______． 【变式2-1】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，已知．则的度数为______° 【变式2-2】（25-26九年级上·上海黄浦·期中）如果两个等腰三角形是相似三角形，其中一个三角形的一内角为，那么另一个三角形中底角的度数为____________度． 【变式2-3】（24-25九年级上·河北唐山·阶段检测）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则_____；的度数为_____ ． 【题型3 相似三角形的周长比等于相似比】 【例3】（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）已知两个相似三角形的对应角平分线之比为，如果其中较大三角形的周长是，那么另一个三角形的周长是 _____ ． 【变式3-1】（24-25九年级上·全国·期末）已知，和是它们的对应角平分线，若，的周长为16，则的周长是_______． 【变式3-2】（25-26九年级上·山西忻州·期末）在和中，，且和的周长之差为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】两个相似三角形的一对对应边长分别为，，它们的周长差为，则这两个三角形的周长分别是_____，_____． 【题型4 相似三角形的面积比等于相似比平方】 【例4】（25-26九年级上·河南郑州·期末）若两个相似三角形的周长之比是，且其中一个三角形的面积是3，则另一个三角形面积是_____． 【变式4-1】（25-26九年级上·上海·阶段检测）两个相似三角形对应中线之比是，它们的面积差是，则较大三角形的面积是______． 【变式4-2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D，E分别是边上的点，且，，的面积是18，则四边形的面积是________． 【变式4-3】（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，点P是内一点，过点P分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4和36，则的面积是______． 【题型5 相似三角形的性质结合判定证明线段乘积等式】 【例5】（24-25九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，是的边上的中线，交的延长线于点，是的平分线，与相交于点． (1)求证：． (2)求证：． 【变式5-1】（2025·上海徐汇·一模）如图，在梯形中， 是梯形对角线，．    (1)求证：； (2)以为一边作交边于点，求证：． 【变式5-2】（2025·上海虹口·一模）如图，在中，，点在边上，过点作垂直交于点，连接、交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【变式5-3】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在正方形中，点是边上的一点（不与，重合），将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，．与边交于点，与相交于点． (1)求证：； (2)当平分时，求证：． 【题型6 相似三角形的性质结合判定求线段长度】 【例6】（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在中，D为上一点，E为上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【变式6-1】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点为边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式6-2】（2026·北京东城·二模）如图，在四边形中，，，以为腰作等腰，，点在边上，交于点．若，则长的值为________． 【变式6-3】（2026·广东深圳·三模）如图，正方形的边长为4，点E在边上，，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，交于点G，则的长为____________． 【题型7 相似三角形的性质结合判定求面积】 【例7】已知如图，平行四边形中，． (1)与相似吗？若相似，请说明理由，并求出相似比． (2)如果的面积等于，求的面积． 【变式7-1】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，DC与BE相交于点O，且DO＝2，BO＝DC＝6，OE＝3． （1）求证：DE∥BC； （2）如果四边形BCED的面积比△ADE的面积大12，求△ABC的面积． 【变式7-2】 如图，一块直角三角形木板，直角边AB的长为1.5米，三角形的面积为1.5平方米，工人师傅要用它截取一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲同学的设计方案如图（1），乙同学的设计方案如图（2），你认为哪位同学设计的正方形面积大？请说明理由． 【变式7-3】问题背景 （1）如图，中，分别交，于，两点，过点作交于点．请按图示数据填空：四边形的面积　　，的面积　　，的面积　　 探究发现 （2）在（1）中，若，，与间的距离为．请证明． 拓展迁移 （3）如图，的四个顶点在的三边上，若、、的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求的面积． 【题型8 相似三角形的性质结合判定求最值】 【例8】（2025·河南漯河·一模）如图，在中，，，，是边上的一动点，连接，以为直角边按如图所示的方向作，使得，且，是边上的一点，，连接，则的长的最小值为___________，的长的最小值为___________． 【变式8-1】（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，为等边三角形，点D为直线上一点，将射线绕点D逆时针旋转，交过点B平行于的直线于点E，若，则线段的最小值是________． 【变式8-2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，的直角边经过正方形的顶点， ，，若，则点到的距离的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【变式8-3】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点在轴上，，且，则线段长的最大值是（   ） A．6 B．8 C．12 D． 【题型9 相似三角形的性质结合判定综合证明】 【例9】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，分别是正方形的边和的中点，连接、，它们交于点． (1)求证：； (2)如图，连接，求证：； (3)如图，连接，求证：． 【变式9-1】（2024·福建厦门·二模）在中， ，平分，点是段上的动点（不与重合） (1)如图，若，求证：． (2)如图，点是线段延长线上的一点，且， 求证：是的中点； 将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，求证． 【变式9-2】（2026·上海宝山·二模）如图，已知梯形中，，，对角线与交于点E，将沿着直线翻折得到（点D对应点F）． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果四边形是矩形，且，求证：． 【变式9-3】如图1，在菱形中，P是边上的一点，过点P作的平行线，过点C作的垂线，两线相交于点Q． (1)求证：； (2)求证：为等腰三角形； (3)如图2，连接交于点E，交于点F，连接， ①求证：； ②若，求的值．（结果用含k的代数式表示） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $