期中复习专题08 椭圆方程及其几何性质知识清单【知识清单+12大考点+强化训练】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
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内容正文：
专题08 椭圆方程及其几何性质
知识点1： 椭圆的定义
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
2．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|．
【注意】(1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值．
(2)定值必须大于两定点间的距离．
(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段．
(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在．
知识点2： 椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点坐标
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤．
(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设方程＝1(a＞b＞0)或＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．
(3)若椭圆中焦点三角形的顶角∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积S＝b2tan ．
知识点3： 椭圆的几何性质
1．椭圆的几何性质：范围、顶点、焦点、对称性．
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准
方程
＝1(a＞b＞0)
(a>b>0)
范围
－a≤x≤a且
－b≤y≤b
－b≤x≤b且
－a≤y≤a
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长
短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
知识点4： 椭圆的离心率
(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比．
(2)记法：e＝∈(0，1)．
【注意】(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c．
(4)求椭圆的离心率
【注意】e＝＝．e越接近1，椭圆越扁平；e越接近0，椭圆越接近于圆．(可以结合数字的特点来帮助记忆，“1”很扁平，“0”很圆)
考点一 椭圆的定义
考点二 求椭圆的标准方程
考点三 利用椭圆定义求参数或范围
考点四 椭圆中的焦点三角形问题
考点五 椭圆的焦距与长轴、短轴
考点六 利用椭圆的几何性质求标准方程
考点七 由椭圆的几何性质求参数
考点八 椭圆中的轨迹问题
考点九 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值
考点十 求椭圆的离心率或其取值范围
考点十一 利用椭圆的离心率求参数的取值范围
考点十二 椭圆的应用
考点一 椭圆的定义
1．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知是左右焦点分别为、的椭圆上的一点，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知椭圆两个焦点为，点P在椭圆C上，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知在平面内，，是两个定点，是一个动点，则“为定值”是“点的轨迹是以，为焦点的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（26-27高二上·江苏·阶段检测）（多选）已知、，则下列命题中正确的是（ ）
A．平面内满足的动点P的轨迹为一条直线
B．平面内满足的动点P的轨迹为椭圆
C．平面内满足的动点P的轨迹为圆
D．直线相交于点M，且它们的斜率之积是，则M的轨迹是椭圆（除去A、B两点）
考点二 求椭圆的标准方程
5．（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为26；
(2)经过点，焦点坐标分别为，；
(3)与椭圆有相同的焦点，且经过点.
6．（25-26高三·全国·一轮复习）两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（26-27高二上·全国·课后作业）已知椭圆过点和点，则此时椭圆的标准方程为________．
8．（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程______．
考点三 利用椭圆定义求参数或范围
9．（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）若方程 表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______．
10．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（26-27高二上·江西抚州·阶段检测）（多选）若方程表示椭圆，则m的值可以为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）下列说法正确的是
A．若定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆
B．若定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆
C．当时，方程表示椭圆
D．若动点的轨迹方程为，则点的轨迹是椭圆，且焦点坐标为
考点四 椭圆中的焦点三角形问题
13．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知椭圆的焦点分别为与，为椭圆上一点，则的周长等于（ ）
A．5 B．10 C．3 D．6
14．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为（ ）
A．6 B．
C． D．12
15．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．1
16．（26-27高二上·云南曲靖·阶段检测）（多选）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的面积有最大值但无最小值 B．的周长为5
C． D．
考点五 椭圆的焦距与长轴、短轴
17．（26-27高二上·河北·阶段检测）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则________．
18．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）（多选）椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（ ）
A．的焦距为2 B．的短轴长为1
C．的离心率为 D．的周长为
19．（25-26高二下·贵州毕节·期中）焦点在x轴上的椭圆经过，，则下列说法正确的是（ ）
A．长轴为4 B．短轴为2
C．焦距为 D．离心率
20．（26-27高二上·江苏徐州·阶段检测）已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（ ）
A．若，则该椭圆的焦距为2
B．若，则该椭圆经过点
C．的取值范围为
D．若该椭圆的焦点在y轴上，则
考点六 利用椭圆的几何性质求标准方程
21．（25-26高二下·重庆渝中·期末）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
22．（25-26高二下·上海静安·期末）已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则该椭圆的标准方程是__________
23．（26-27高二上·河北邯郸·阶段检测）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍，则这个椭圆的标准方程为________．
24．（26-27高二上·陕西渭南·阶段检测）椭圆的左、右焦点为，，短轴长等于8，离心率为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为______．
考点七 由椭圆的几何性质求参数
25．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
26．（2026·新疆·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，为椭圆上一点，为中点，若的周长为6，则椭圆的短轴长为（ ）
A． B． C．2 D．4
27．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为，则的长轴长为（ ）
A． B． C．或 D．或
28．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）（多选）若将一个椭圆绕其对称中心旋转，所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆被称为“对偶椭圆”.已知椭圆是对偶椭圆，则该椭圆的短轴长可以是（ ）
A． B． C． D．
考点八 椭圆中的轨迹问题
29．（26-27高二上·全国·课后作业）动点与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
30．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）（1）已知曲线方程，，若方程表示焦距为的椭圆，求的值．
（2）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，求该动圆圆心的轨迹方程．
31．（26-27高二上·全国·课后作业）已知动点到点的距离与到定直线的距离之比为，求点的轨迹方程．
32．（2026高二·全国·专题练习）（1）如图，为圆：上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，求点的轨迹方程；
（2）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹．
考点九 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值
33．（2026·广西崇左·一模）（多选）已知P为椭圆上的一个动点，Q为圆上的一个动点，点，则（ ）
A．的最小值为6
B．的最小值为7
C．的最大值为8
D．的最大值为9
34．（2026·辽宁·二模）已知点分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为__________.
35．（2026·山东淄博·二模）椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______．
36．（2026·广西·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，点M在C上，若周长的最大值为8，则C的焦距为（ ）
A．3 B． C．1 D．2
考点十 求椭圆的离心率或其取值范围
37．（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若对椭圆上的所有的点均满足，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
38．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，为圆的一条直径，点为上一点且满足，，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
39．（26-27高二上·云南红河·阶段检测）已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的离心率为________.
40．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
考点十一 利用椭圆的离心率求参数的取值范围
41．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）焦点在轴上的椭圆的离心率，则的取值范围是________．
42．（25-26高三上·青海西宁·阶段检测）已知椭圆的焦点在 轴上，且离心率为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
43．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（ ）
A． B． C． D．
44．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）椭圆的两焦点分别为，设椭圆的离心率，则实数的取值范围是_____.
考点十二 椭圆的应用
45．（26-27高二上·全国·课后作业）某火星探测器的运行轨道是以火星（其半径百千米）的中心为右焦点的椭圆．已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）到火星表面的距离为8百千米，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）到火星表面的距离为800百千米．假定探测器由近火星点第一次逆时针运行到与轨道中心的距离为百千米时进行变轨，其中，分别为椭圆的长半轴长、短半轴长，则此时探测器与火星表面的距离为________百千米．（精确到1百千米）
46．（25-26高二下·上海闵行·期中）已知太阳系中水星绕太阳旋转的轨道是一个椭圆，现将水星与太阳视作质点（忽略大小），如图所示建立平面直角坐标系，太阳在椭圆轨道的焦点处.资料显示，水星在点处离太阳最近，距离为46百万公里，在点处离太阳最远，距离为70百万公里.为水星某一时刻运行在轨道上的位置，将水星从远日点绕逆时针旋转到得到的角记为.
(1)根据题干中的数据，计算水星绕太阳旋转轨道的离心率；
(2)当时，求水星到太阳的距离.（单位：百万公里，精确到整数）.
47．（25-26高二上·吉林长春·期末）椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.对于椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆C上任意一点，面积的最大值为，椭圆C在点P处的切线为l，过点P且与l垂直的直线与椭圆的长轴交于点M（M与O不重合），且，若，则________．
48．（25-26高二上·北京东城·阶段检测）“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，，则就是“天问一号”在点时对火星的观测角．图（2）所示的四个点处，对火星的观测角最小的是（ ）
A． B． C． D．
1．（26-27高二上·河南·期中）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（ ）
A．的周长为12 B．
C．点到轴的距离为 D．
3．（26-27高二上·陕西渭南·阶段检测）焦点坐标为，，且长轴长等于12的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（26-27高二上·全国·课后作业）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（ ）
A． B．椭圆的焦距为
C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则
5．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）设椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，点满足是等边三角形，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（ ）
A．8 B．7 C．6． D．5
7．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）椭圆：（）的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2026高三·全国·专题练习）椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最小值为1
C．面积的最大值为
D．存在点P，使得
10．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．的周长为
C．的最大值为9
D．的最小值为4
11．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）（多选）已知椭圆，若P在椭圆上，分别是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．的最大值为
C．的周长小于
D．满足是直角三角形的点P有4个
12．（26-27高二上·山东菏泽·阶段检测）方程若表示圆，实数的取值为___________，若表示椭圆，则实数的取值范围为___________．
13．（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）若椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，且四边形的面积为，则四边形周长的最小值为________．
14．（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知，是圆：上的动点，且满足，点M满足，点P在椭圆：上运动，则的最大值是________．
15．（2026高三·全国·专题练习）根据下列条件求椭圆的标准方程．
(1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；
(2)经过两点和．
16．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线：与椭圆相交于，两点，求的面积．
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专题08 椭圆方程及其几何性质
知识点1： 椭圆的定义
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
2．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|．
【注意】(1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值．
(2)定值必须大于两定点间的距离．
(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段．
(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在．
知识点2： 椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点坐标
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤．
(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设方程＝1(a＞b＞0)或＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．
(3)若椭圆中焦点三角形的顶角∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积S＝b2tan ．
知识点3： 椭圆的几何性质
1．椭圆的几何性质：范围、顶点、焦点、对称性．
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准
方程
＝1(a＞b＞0)
(a>b>0)
范围
－a≤x≤a且
－b≤y≤b
－b≤x≤b且
－a≤y≤a
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长
短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
知识点4： 椭圆的离心率
(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比．
(2)记法：e＝∈(0，1)．
【注意】(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c．
(4)求椭圆的离心率
【注意】e＝＝．e越接近1，椭圆越扁平；e越接近0，椭圆越接近于圆．(可以结合数字的特点来帮助记忆，“1”很扁平，“0”很圆)
考点一 椭圆的定义
考点二 求椭圆的标准方程
考点三 利用椭圆定义求参数或范围
考点四 椭圆中的焦点三角形问题
考点五 椭圆的焦距与长轴、短轴
考点六 利用椭圆的几何性质求标准方程
考点七 由椭圆的几何性质求参数
考点八 椭圆中的轨迹问题
考点九 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值
考点十 求椭圆的离心率或其取值范围
考点十一 利用椭圆的离心率求参数的取值范围
考点十二 椭圆的应用
考点一 椭圆的定义
1．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知是左右焦点分别为、的椭圆上的一点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】椭圆化成标准方程为，则，故，
又点是椭圆上一点，
所以.
2．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知椭圆两个焦点为，点P在椭圆C上，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】由椭圆的标准方程，可得，又，故.
根据椭圆的定义：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为定值，
即对椭圆上的点，有.
因为，所以.
3．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知在平面内，，是两个定点，是一个动点，则“为定值”是“点的轨迹是以，为焦点的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义，结合充分条件、必要条件判断即可.
【详解】必要性：点的轨迹是以，为焦点的椭圆，则为定值，且，故必要性成立.
充分性：当为定值，且时，点的轨迹是线段；
当为定值，且时，无轨迹；
当为定值，且时，点的轨迹是以，为焦点的椭圆.
所以“为定值”推不出“点的轨迹一定是椭圆”，故充分性不成立.
综上，“为定值”是“点的轨迹是以，为焦点的椭圆”的必要不充分条件.
4．（26-27高二上·江苏·阶段检测）（多选）已知、，则下列命题中正确的是（ ）
A．平面内满足的动点P的轨迹为一条直线
B．平面内满足的动点P的轨迹为椭圆
C．平面内满足的动点P的轨迹为圆
D．直线相交于点M，且它们的斜率之积是，则M的轨迹是椭圆（除去A、B两点）
【答案】ACD
【分析】结合线段垂直平分线、椭圆、圆的定义及轨迹方程求解方法逐一验证选项即可.
【详解】选项：平面内到、两点距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线，在轴上，中点为原点，垂直平分线为直线，是一条直线，正确；
选项：椭圆的定义：平面内到两定点距离之和大于两定点间距离的点的轨迹.本题中，满足的动点的轨迹是线段，不是椭圆，错误；
选项：设，由得，两边平方整理得，是圆心为、半径为的圆，正确；
选项：设，由斜率之积为得，整理得，即轨迹为椭圆除去、两点，正确.
考点二 求椭圆的标准方程
5．（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为26；
(2)经过点，焦点坐标分别为，；
(3)与椭圆有相同的焦点，且经过点.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可得，椭圆焦点在轴上，，
，，
∴椭圆的标准方程为.
（2）由题意可得，椭圆焦点在轴上，，
设椭圆方程为，，
代入点得，化简得，解得或（舍），
∴，∴椭圆的标准方程为.
（3）由题意可得，所求椭圆焦点在轴上，，
设所求椭圆方程为，则，
代入点可得，，
化简得，解得或（舍），
∴椭圆的标准方程为.
6．（25-26高三·全国·一轮复习）两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由椭圆定义可求，由焦点坐标可求，根据关系可得方程.
【详解】因为两个焦点的坐标分别是，，所以椭圆的焦点在横轴上，并且，
所以由椭圆的定义可得：，即，所以由，，的关系解得，
所以椭圆方程是．
故选：B．
7．（26-27高二上·全国·课后作业）已知椭圆过点和点，则此时椭圆的标准方程为________．
【答案】
【详解】设所求椭圆的方程为．
将两点，的坐标代入，得，解得，
所以所求椭圆的标准方程为．
8．（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程______．
【答案】
【分析】利用椭圆的定义，确定点到两点的距离之和为常数，从而得到椭圆的方程，并排除导致三点共线的情况.
【详解】因为，而，
所以，
则顶点的轨迹为以为焦点的椭圆（除去与共线的两点），
其中，得，
得，
由于椭圆的焦点在轴上，
则椭圆的标准方程为：，
故答案为：
考点三 利用椭圆定义求参数或范围
9．（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）若方程 表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】因为方程 表示焦点在轴上的椭圆，则，
解得．
10．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得，.
11．（26-27高二上·江西抚州·阶段检测）（多选）若方程表示椭圆，则m的值可以为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】ACD
【详解】方程表示椭圆，
，解得且，
结合选项，故m的值可以为ACD．
12．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）下列说法正确的是
A．若定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆
B．若定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆
C．当时，方程表示椭圆
D．若动点的轨迹方程为，则点的轨迹是椭圆，且焦点坐标为
【答案】D
【详解】平面内到两个定点（焦点）的距离之和等于常数（大于两焦点间距离）的点的轨迹是椭圆，
对于A，；
对于B，，故AB均错；
对于C，方程表示椭圆，则有，故C错误；
若动点的轨迹方程为，则点的轨迹是椭圆，且，，故焦点坐标为，故D正确.
考点四 椭圆中的焦点三角形问题
13．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知椭圆的焦点分别为与，为椭圆上一点，则的周长等于（ ）
A．5 B．10 C．3 D．6
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义求出，进而可求解.
【详解】由椭圆方程可知，如图：
由椭圆的定义可知，，
所以的周长为.
14．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为（ ）
A．6 B．
C． D．12
【答案】D
【详解】的周长为，
15．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理即可求三角形面积.
【详解】由椭圆：可知：，
由余弦定理得：，
代入得：，
所以三角形面积为：.
16．（26-27高二上·云南曲靖·阶段检测）（多选）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的面积有最大值但无最小值 B．的周长为5
C． D．
【答案】ACD
【详解】选项A：由椭圆方程，可得左右焦点坐标为，，焦距.
的面积公式，其中为点的纵坐标，
由，得该三角形面积有最大值但无最小值，选项A正确.
选项B：根据椭圆的定义，，，所以的周长为，因此B错误.
选项C：当位于椭圆短轴端点时，取得最大值，此时，，
由余弦定理，因此最大，因此C选项正确.
选项D：由椭圆方程，可知，，椭圆上任意一点到焦点的距离满足，代入，，得，选项D正确.
考点五 椭圆的焦距与长轴、短轴
17．（26-27高二上·河北·阶段检测）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则________．
【答案】或
【分析】根据题意，结合椭圆方程的性质分类讨论长轴长和短轴长即可求解.
【详解】若，则的长轴长为，短轴长为，则，解得；
若，则的长轴长和短轴长分别为，，所以，解得；
因此或．
18．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）（多选）椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（ ）
A．的焦距为2 B．的短轴长为1
C．的离心率为 D．的周长为
【答案】AC
【分析】根据题设椭圆方程及的关系先求出，再结合条件求出，即得，，再由椭圆的定义求出的周长即可.
【详解】如图，由可得椭圆的半焦距，则焦距为，故A正确；
由椭圆的对称性，知，又，则得，
则的短半轴长，则短轴长为2，故B错误；
则椭圆的离心率为，故C正确；
的周长为，故D错误.
19．（25-26高二下·贵州毕节·期中）焦点在x轴上的椭圆经过，，则下列说法正确的是（ ）
A．长轴为4 B．短轴为2
C．焦距为 D．离心率
【答案】D
【详解】设椭圆的方程为，
因为椭圆过点，，代入得，解得，，
所以椭圆的长轴长为，椭圆的短轴长为，故A和B错误；
因为，所以，所以椭圆的焦距为，故C错误；
椭圆的离心率，故D正确.
20．（26-27高二上·江苏徐州·阶段检测）已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（ ）
A．若，则该椭圆的焦距为2
B．若，则该椭圆经过点
C．的取值范围为
D．若该椭圆的焦点在y轴上，则
【答案】D
【详解】若，则椭圆方程为，所以，
从而，选项A不正确；
若，则椭圆方程为，点的坐标不满足方程，
即该椭圆不经过点，选项B错误；
因为方程表示椭圆，所以，
解得，且，选项C错误；
因为椭圆的焦点在y轴上，所以，解得，
选项D正确.
考点六 利用椭圆的几何性质求标准方程
21．（25-26高二下·重庆渝中·期末）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，因为离心率为，可得，
因为长轴长为 6，可得，所以，，所以，，
因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为.
22．（25-26高二下·上海静安·期末）已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则该椭圆的标准方程是__________
【答案】
【分析】先设出椭圆的标准方程，再根据题设条件可求基本量，从而可求椭圆的标准方程.
【详解】由题意可得，椭圆长轴为6，短轴为4，焦点在y轴上，
设椭圆的标准方程为,
则，即,
所以椭圆的标准方程为.
23．（26-27高二上·河北邯郸·阶段检测）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍，则这个椭圆的标准方程为________．
【答案】
【详解】由题知，椭圆的焦点在轴上，且，
又长轴长是短轴长的2倍，故，即，
则有，解得，，
则椭圆的标准方程为．
24．（26-27高二上·陕西渭南·阶段检测）椭圆的左、右焦点为，，短轴长等于8，离心率为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为______．
【答案】20
【分析】根据题意可求，利用椭圆的定义，的周长为.
【详解】根据题意可得：，，解得：，，
根据，解得：，
记周长为，.
考点七 由椭圆的几何性质求参数
25．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据椭圆的几何性质，利用已知条件得出，再区分焦点x轴、y轴两类讨论求．
【详解】由题意知，，则有，
当焦点在轴时，，则，解得；符合，
当焦点在轴时，，则，解得；符合，
综上可得，m的值为或．
26．（2026·新疆·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，为椭圆上一点，为中点，若的周长为6，则椭圆的短轴长为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】利用三角形的中位线，结合椭圆的定义，就可以求解短轴长.
【详解】
由为中点，可得为的中位线，
由的周长为6，可得的周长为，
即，因为，所以，
即，所以椭圆的短轴长，
故选: B
27．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为，则的长轴长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】讨论焦点所在位置，结合椭圆的定义求出.
【详解】因为椭圆，
若椭圆的焦点在轴上，则，则由,得舍去，
若椭圆的焦点在轴上，则，则由得，
故椭圆的长轴长为．
故选：B．
28．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）（多选）若将一个椭圆绕其对称中心旋转，所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆被称为“对偶椭圆”.已知椭圆是对偶椭圆，则该椭圆的短轴长可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据“对偶椭圆”的定义计算即可.
【详解】因为椭圆是对偶椭圆，根据“对偶椭圆”的定义可得：
当时，则的焦点在x轴上，
由题意可得，解得，即.
此时该椭圆的短轴长为；
当时，则的焦点在y轴上，
则，解得，即.
此时该椭圆的短轴长为；
故选：AC.
考点八 椭圆中的轨迹问题
29．（26-27高二上·全国·课后作业）动点与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据动点到定点和定直线的距离比例关系列等式，化简得到轨迹方程后匹配选项即可.
【详解】由题意可知，动点 到定点 的距离为 ，
到定直线 的距离为 ，
则两边平方消去根号和绝对值化简得，
即.
30．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）（1）已知曲线方程，，若方程表示焦距为的椭圆，求的值．
（2）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，求该动圆圆心的轨迹方程．
【答案】（1）或；
（2）
【分析】（1）两个分母与都含参数，谁大谁小不确定，故需分类讨论；同时 “表示椭圆”还要求两个分母均为正，这是隐含条件，由焦距为得，故只需按与 的大小分两类，利用建立方程求；
（2）动点是动圆的圆心，等量关系来自两个相切条件：外切时圆心距等于两半径之和，内切时圆心距等于两半径之差，设动圆半径为，则两个条件可写成与 ；两式相加即可消去，得到，其中、为定点，且 ，结合椭圆的定义得解.
【详解】（1）由题意得且，解得.
① 当，即时，焦点在轴上，
，，.
又焦距，得，即，解得，符合.
② 当，即时，焦点在轴上，
，，.
由得，解得，符合.
当时，方程为，表示圆，不合题意.
综上，或.
（2）圆：，配方得 ，
所以圆心 ，半径 ，
圆：，配方得，
所以圆心，半径，
设动圆圆心为，半径为，
动圆与圆外切，则，
动圆与圆内切，则，
两式相加，得，
又，
所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，
设椭圆方程为为，
则由得，半焦距为，所以，
故动圆圆心的轨迹方程为.
31．（26-27高二上·全国·课后作业）已知动点到点的距离与到定直线的距离之比为，求点的轨迹方程．
【答案】
【分析】方法一：由题意列方程化简可得结论；
方法二：结合椭圆第二定义判断轨迹形状，由此确定轨迹方程.
【详解】方法一：由题意得．整理得，
故点的轨迹方程为．
方法二：由椭圆的第二定义可知点的轨迹是椭圆，其中，，
则，即．因为，且，与椭圆的第二定义中需满足的条件相符，
所以椭圆的中心在原点，其方程为．
32．（2026高二·全国·专题练习）（1）如图，为圆：上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，求点的轨迹方程；
（2）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹．
【答案】（1）（2）
【详解】（1）连接，由垂直平分线得，所以，
且大于，即点轨迹为以为焦点的椭圆，且，，，
轨迹方程为.
（2）设d是点M到直线的距离，
根据题意，动点M的轨迹就是集合，则，
将上式两边平方，并化简，得，即．
所以点M的轨迹方程为：．
考点九 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值
33．（2026·广西崇左·一模）（多选）已知P为椭圆上的一个动点，Q为圆上的一个动点，点，则（ ）
A．的最小值为6
B．的最小值为7
C．的最大值为8
D．的最大值为9
【答案】BD
【分析】确定，为C的两个焦点，由椭圆的定义结合圆外一点到圆的最值求解即可.
【详解】圆的圆心为，则，为C的两个焦点，
由椭圆的定义知，，如图，
由Q为圆M上的动点，得，即，
则，
即，故的最小值为7，最大值为9.
34．（2026·辽宁·二模）已知点分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为__________.
【答案】/
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义将所求最大值转化为求值的最大值，再结合圆的性质求解.
【详解】因为为椭圆的右焦点，设其左焦点为，
圆的圆心，半径，由椭圆的定义得，
则，
而，当且仅当点在直线上时取等号，
所以当是线段延长线与椭圆的交点、是线段延长线与圆的交点时，取得最大值.
35．（2026·山东淄博·二模）椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______．
【答案】/
【分析】根据椭圆的定义及线段和差关系即可求解．
【详解】依题意可得，，
将点代入椭圆C，有，则点在椭圆C内，
由椭圆的定义可知，即，
所以，
所以的最小值为．
36．（2026·广西·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，点M在C上，若周长的最大值为8，则C的焦距为（ ）
A．3 B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义将周长的最大值问题转化为求的最大值即可求出，再求出焦距即可.
【详解】由题意知，，且，
则，
由椭圆的定义可知，，
则的周长为，
因为，等号成立时三点共线，
所以周长的最大值为，得，则，得，
故C的焦距为.
考点十 求椭圆的离心率或其取值范围
37．（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若对椭圆上的所有的点均满足，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用，将不等式转化为仅含的不等式；根据椭圆上点到焦点的取值范围为，将原不等式转化为，根据，，转化为的不等式，结合解不等式即可.
【详解】由点在椭圆上，得，即.
，，得恒成立.
，，即.
由，，得.
，得，即.
当，即时，不等式恒成立，
当，即时，，则，得，解得，；
，，即椭圆的离心率的取值范围为.
38．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，为圆的一条直径，点为上一点且满足，，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由圆的方程确定圆心即为右焦点，得出的值，利用向量加法的平行四边形法则（中线向量公式）求出，再结合椭圆的定义求出，最后代入离心率公式即可.
【详解】由圆的方程可知，圆心为，半径，
因为为椭圆的右焦点，所以的坐标为，即，
因为为圆的直径，所以圆心是线段的中点，
根据向量的中点公式，可得，
因为，所以，即，
因为点在椭圆上，由椭圆的定义可知，
又已知，所以，解得,
所以椭圆的离心率.
39．（26-27高二上·云南红河·阶段检测）已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的离心率为________.
【答案】
【分析】利用“点差法”以及中点弦即可求解．
【详解】如图所示，
因为椭圆E的右焦点为，所以，
不妨设，，
又且，则是的中点，
所以，，
又点，在椭圆E上面，
所以，，
两式相减整理得，
即，
所以直线的斜率可以表示为，
又，在直线上，
所以直线的斜率为，
则，解得，即，，
所以，椭圆E的离心率为.
40．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义和余弦定理可表示出，从而可得，再利用换元法将转化为二次函数的形式，求出二次函数的最大值即可.
【详解】设，令，则，，
所以，所以，
在中，，则由余弦定理得
，
所以，
所以，
令，由，可得，则
，
当或时，取最大值：，
所以的最大值为.
考点十一 利用椭圆的离心率求参数的取值范围
41．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）焦点在轴上的椭圆的离心率，则的取值范围是________．
【答案】
【详解】由题意可得，解得，故的取值范围是.
42．（25-26高三上·青海西宁·阶段检测）已知椭圆的焦点在 轴上，且离心率为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为椭圆的焦点在 轴上，所以 ，，．
由离心率 得 ，故 ，即 ，解得 ．
43．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得，设，进而得到，，，再根据余弦定理建立方程求解即可.
【详解】由题意，，即，
由于，，则，
设，则，
在中，，，，
由余弦定理得，
则，
解得，即.
44．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）椭圆的两焦点分别为，设椭圆的离心率，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【分析】根据椭圆的方程和离心率公式可得到，结合椭圆的离心率的取值范围解不等式即可.
【详解】依题意，设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则，所以，
又椭圆的离心率为，所以，
即，即，解得，
则实数的取值范围是.
故答案为：.
考点十二 椭圆的应用
45．（26-27高二上·全国·课后作业）某火星探测器的运行轨道是以火星（其半径百千米）的中心为右焦点的椭圆．已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）到火星表面的距离为8百千米，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）到火星表面的距离为800百千米．假定探测器由近火星点第一次逆时针运行到与轨道中心的距离为百千米时进行变轨，其中，分别为椭圆的长半轴长、短半轴长，则此时探测器与火星表面的距离为________百千米．（精确到1百千米）
【答案】
【分析】根据题意求出轨道方程为，设变轨时，探测器位于，则，结合轨道方程求出，再利用两点间的距离公式即可求解.
【详解】设轨道方程为，且．
因为，，所以，，所以，
所以轨道方程为．
设变轨时，探测器位于，则，
与联立，解得，，
所以．
故探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百千米．
46．（25-26高二下·上海闵行·期中）已知太阳系中水星绕太阳旋转的轨道是一个椭圆，现将水星与太阳视作质点（忽略大小），如图所示建立平面直角坐标系，太阳在椭圆轨道的焦点处.资料显示，水星在点处离太阳最近，距离为46百万公里，在点处离太阳最远，距离为70百万公里.为水星某一时刻运行在轨道上的位置，将水星从远日点绕逆时针旋转到得到的角记为.
(1)根据题干中的数据，计算水星绕太阳旋转轨道的离心率；
(2)当时，求水星到太阳的距离.（单位：百万公里，精确到整数）.
【答案】(1)；
(2)约为68百万公里.
【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆的长半轴长及半焦距即可.
（2）利用椭圆的定义及余弦定理，结合（1）中信息计算得解.
【详解】（1）令水星绕太阳旋转的椭圆轨道长半轴长为，半焦距为，
依题意，，解得，
所以水星绕太阳旋转轨道的离心率.
（2）令水星绕太阳旋转的椭圆轨道的另一个焦点为，
在中，，令，则，
由余弦定理得，
即，整理得，
由（1）得，
所以水星到太阳的距离约为68百万公里.
47．（25-26高二上·吉林长春·期末）椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.对于椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆C上任意一点，面积的最大值为，椭圆C在点P处的切线为l，过点P且与l垂直的直线与椭圆的长轴交于点M（M与O不重合），且，若，则________．
【答案】3
【分析】根据给定条件，求出椭圆方程，再利用三角形面积公式及椭圆定义，结合余弦定理列式求解.
【详解】由椭圆，得椭圆的短半轴长，设该椭圆半焦距为，
由面积的最大值为，得，，即椭圆的方程为，
由椭圆的光学性质得过点与垂直的直线为的角平分线，而，
则，令，
则，而，，
于是，且，
由，得，
整理得，解得或，
当时，，点与点重合，不符合题意，
所以，.
故答案为：3
48．（25-26高二上·北京东城·阶段检测）“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，，则就是“天问一号”在点时对火星的观测角．图（2）所示的四个点处，对火星的观测角最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接点和椭圆的左焦点，由对称性和椭圆上点到焦点距离的特征得点位于图中点处，对火星的观测角最小.
【详解】设火星半径为，椭圆左焦点为，连接，如图所示：
则，
因为，
所以越大，越小，越小，
所以当点位于点处时，对火星的观测角最小，
故选：C.
1．（26-27高二上·河南·期中）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【详解】椭圆：的长半轴长，
分别是椭圆左、右焦点，点在上，
由椭圆的定义知，椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于长轴长，
所以.
2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（ ）
A．的周长为12 B．
C．点到轴的距离为 D．
【答案】C
【详解】对于A，根据椭圆标准方程得，，，由椭圆定义知，
所以的周长为，A错误.
对于B，在中，由余弦定理可得，，
由，代入，
化简得，
所以，
在中，，所以为锐角，
且，
故，B选项错误.
对于C，由B选项知，在中，设点到的距离为，
由，得，即，
因为到的距离,就是到轴的距离，C选项正确.
对于D，根据数量积公式，，D选项错误.
3．（26-27高二上·陕西渭南·阶段检测）焦点坐标为，，且长轴长等于12的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设椭圆方程为，易得、，再结合，即可求解.
【详解】设椭圆方程为，由题可得：，，即
根据解得：，所以椭圆方程为.
4．（26-27高二上·全国·课后作业）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（ ）
A． B．椭圆的焦距为
C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义和性质计算即可.
【详解】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误；
焦点在轴上时，，解得，C正确；
焦点在轴上时，，解得，D错误；
焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误．
5．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）设椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，点满足是等边三角形，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由椭圆的标准方程得到，，以及的值，分类讨论点，异侧和同侧两种情况，当点，异侧时，无解，舍去；当点，同侧时，根据椭圆的定义以及等边的边的关系得到点，，三点共线，从而分析出，在中运用余弦定理，最后代入中计算即可.
【详解】由椭圆：，可得，，
，，
所以焦点，，，
因为点在上，则由椭圆的定义可知，，
以为圆心，作一个半径为6的圆，则点在此圆上，
当点，异侧时，如图所示，
设，则，
在等边中，，
在中，由余弦定理得，
，
在中，，故，
所以点，异侧舍去；
当点，同侧时，如图所示，
在等边中，，
则，又因为，
所以，即点，，三点共线，
故，
设，则，
在中，由余弦定理得，，
即，
整理得，，，
所以.
6．（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（ ）
A．8 B．7 C．6． D．5
【答案】B
【分析】根据题意，利用椭圆的定义，得到，再由，得到，进而求得的最大值，得到答案.
【详解】由圆，可得圆心，半径为，
设椭圆的上焦点为，下焦点为，
则，
要使得的最大值，即求的最小值，
因为，可得
所以，
故选：B.
7．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）椭圆：（）的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，推出点在轴的右侧，由角平分线定理得，推出，，再在中，由余弦定理得出的关系，
【详解】如图所示；
是内心，是的角平分线，.
又，.
在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，，.
，，.
由椭圆的定义得，，，.
在中，由余弦定理得,
，化简得.
该椭圆的离心率为.
8．（2026高三·全国·专题练习）椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设椭圆的左顶点为,根据右焦点F在AP的垂直平分线上，知，得到，列出关于的不等式，求解即得的取值范围.
【详解】设椭圆的左顶点为.
由题意，即以F为圆心，为半径画圆与椭圆有交点P，如图．只需
即即
两边除以得即
得，又，
．
9．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最小值为1
C．面积的最大值为
D．存在点P，使得
【答案】ABC
【分析】根据椭圆的标准方程，找出，，；对于A选项，利用椭圆的定义即可求解；对于B选项，分析出点在左顶点时，取最小值，计算即可；对于C选项，表示出的面积，，分析出，计算即可得的面积的最大值；对于D选项，假设点存在，设，将转化为，计算求.
【详解】椭圆，则，，，
所以，，，，，
对于A选项，由椭圆的定义可得，，故A正确；
对于B选项，当点在左顶点时，取最小值，
左顶点，此时，故B正确；
对于C选项，，
，，
所以，故C正确；
对于D选项，假设存在点，使得，
设点，则
因为，所以，
，，
由得，，
整理得，，则，
代入，
可得，解得，无实数解，
说明点不存在，故D错误.
10．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．的周长为
C．的最大值为9
D．的最小值为4
【答案】ABC
【详解】选项A，椭圆半长轴长，半短轴长，半焦距，故离心率为，A正确；
选项B，因为椭圆上异于长轴端点的动点，则，
则的周长为，B正确；
选项C，由上得，则，当点为短轴顶点时取等，故C正确；
选项D，设，则，，，
则 ，当点为短轴顶点时，取得最小值为，故D错误.
11．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）（多选）已知椭圆，若P在椭圆上，分别是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．的最大值为
C．的周长小于
D．满足是直角三角形的点P有4个
【答案】ABC
【分析】先由椭圆方程求得基本参数，结合椭圆定义、余弦定理、轨迹交点等知识逐一判断选项.
【详解】由椭圆，可知椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，
选项A：若，则为椭圆短轴端点，此时，，
在中，，故，A正确；
选项B：椭圆上点对两焦点的张角最大值在短轴端点处取得，
由余弦定理得，
故，即的最大值为，B正确；
选项C：的周长为，C正确；
选项D：分三类讨论：①直角在：过作轴垂线交椭圆得2个点；
②直角在：同理得2个点；③直角在：在以为直径的圆上，
由于该圆的半径为，且圆心和椭圆中心重合，，故该圆与椭圆将有4个交点，
由此可知满足是直角三角形的点P共有8个，D错误.
12．（26-27高二上·山东菏泽·阶段检测）方程若表示圆，实数的取值为___________，若表示椭圆，则实数的取值范围为___________．
【答案】 6
【分析】利用圆与椭圆的定义求解即可.
【详解】方程若表示圆，则，解得：，此时实数的取值为6
方程若表示椭圆，则，解得：，或，此时实数的取值范围为.
13．（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）若椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，且四边形的面积为，则四边形周长的最小值为________．
【答案】
【分析】菱形面积转化为对角线乘积的一半，周长借助勾股定理表示，最后借助基本不等式求最值.
【详解】由题，，且四边形为菱形，
又因为菱形的面积为，所以，
四边形周长为，当时，等号成立，
故四边形的周长的最小值为.
14．（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知，是圆：上的动点，且满足，点M满足，点P在椭圆：上运动，则的最大值是________．
【答案】
【分析】由的坐标及已知等式，可得到，结合求出点的轨迹方程为，其轨迹为以为圆心的圆，进而求出的最大值，根据（r为轨迹圆的半径）即可求出答案.
【详解】因为圆，所以圆心，半径为，
由是圆上的动点知，
由，得，
由，得，
所以，
将等式两边同时平方，得，
所以，所以动点的轨迹方程为，
由椭圆的方程可设点的坐标为，
由动点的轨迹方程可得该圆的圆心为，半径为，如图，
则
，
当时，，
所以.
15．（2026高三·全国·专题练习）根据下列条件求椭圆的标准方程．
(1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；
(2)经过两点和．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）先用椭圆的定义求出长半轴，结合通径公式算出，分焦点在x、y轴两种情况写方程;
（2）设椭圆一般式，代入两点坐标解方程组，直接得到标准方程.
【详解】（1）设椭圆的标准方程是或，
则由题意知. .
在方程中令得，
在方程中令得，
因为过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，
所以. .
即椭圆的标准方程为或.
（2）设经过两点的椭圆的一般方程为，代入A、B得
∴所求椭圆方程为.
16．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线：与椭圆相交于，两点，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件确定的值，确定椭圆方程.
（2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求出，再利用求的面积即可.
【详解】（1）由题知，，则，
又因为，
所以椭圆的标准方程为．
（2）由题意知，直线过右焦点，如图，作出符合题意的图形，
设，，联立，
消去得，所以由韦达定理得，，
则由弦长公式得，
所以的面积．
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