2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教A版）

该高中数学课件围绕圆的标准方程展开，涵盖确定圆的几何要素、点与圆位置关系等核心内容。课前通过知识点梳理与诊断分析搭建基础，课中以不同条件下求圆方程的例题为支架，衔接从概念到应用的学习脉络。 其亮点在于通过多样例题（如直径端点求圆方程）培养数学眼光，多种解法（待定系数法、垂直平分线法）发展数学思维，结合代数与几何方法强化数学语言表达。素养小结系统归纳方法，助力学生提升问题解决能力，也为教师提供结构化教学资源。

2.4 圆的方程 1 2.4.1 圆的标准方程 2 探究点一 求圆的标准方程 探究点二 判断点与圆的位置关系 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.能描述确定圆的几何要素，能根据给定圆的几何要素推导出圆 的标准方程. 2.能分析圆的标准方程中相关量的几何意义. 3.能根据给定圆的几何要素求出圆的标准方程. 4 知识点一 圆的标准方程 1.圆的标准方程 圆心为,半径为 的圆的标准方程是_______________________. ______和______分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以只要 ,, 三个量确定了,圆的方程就唯一确定了. 圆心 半径 课 前 预 习 5 2.几种常见的特殊的圆的方程 条件 方程形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在原点 圆过原点 圆与 轴相切 圆与 轴相切 圆与两坐标轴都相切 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）确定一个圆的几何要素是圆心和半径.( ) √ （2）方程 一定表示圆.( ) × [解析] 当时,方程表示一个点；当 时,方程表示一个圆. 课 前 预 习 7 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）圆的圆心坐标是 ,半径是4.( ) × [解析] 圆的圆心坐标是 ,半径是2. （4）已知为定点，点满足,则点 的轨迹为圆.( ) √ 课 前 预 习 8 知识点二 点与圆的位置关系 点与圆 的位置关系及判 断方法 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点 在圆上 ___ ___ 点 在圆外 ___ ___ 点 在圆内 ___ ___ 课 前 预 习 9 探究点一 求圆的标准方程 例1 根据下列条件，求圆的标准方程： （1）圆心为点，且经过点 ； 解：由题意可得圆的半径 ， 所以圆的标准方程为 . 课 中 探 究 10 例1 根据下列条件，求圆的标准方程： （2）经过点和点 ，半径为2； 解：设圆的标准方程为 ， 因为圆经过点和点 ， 所以解得或 所以圆的标准方程为 或 . 课 中 探 究 11 例1 根据下列条件，求圆的标准方程： （3）， 为直径的两个端点. 解：因为的中点为，所以圆心为 ， 又半径 ， 所以圆的标准方程为 . 课 中 探 究 12 例2 根据下列条件，求圆的标准方程： （1）过,, 三点； 解：由,在圆上，得圆心在直线 上， 由,在圆上，得圆心在直线 上，则圆心为 ，半径 ， 故圆的标准方程为 . 课 中 探 究 13 例2 根据下列条件，求圆的标准方程： （2）经过，两点，且圆心在直线 上. 解：方法一：设圆的标准方程为 ， 依题意有可得 所以圆的标准方程为 . 课 中 探 究 14 方法二：直线的斜率为，所以线段 的垂直平分线的 斜率为1， 又线段的中点坐标为，所以线段 的垂直平分线的方程为 . 由可得则圆心为 ， 又圆的半径为 ， 所以圆的标准方程为 . 课 中 探 究 15 方法三：因为圆心在直线 上， 所以可设圆心的坐标为 ， 依题意有 ，解 得 ， 所以圆心坐标为，半径 ，所以 圆的标准方程为 . 课 中 探 究 16 变式1 已知半径为5的圆过点，且圆心 在直线 上，则圆 的标准方程为_________________________ ________________________. 或 [解析] 设圆心的坐标为 ，则圆 的标准方程为 .因为圆心在直线 上，所以 . 因为圆过点 ，所以，所以 或所以圆 的标准方程为或 . 课 中 探 究 17 变式2 已知点, ,求: （1）过点, 且周长最小的圆的标准方程; 解：连接，则当为直径时,过点, 的圆的半径最小,从而周长最小. 易得线段的中点坐标为，即圆心坐标为 ,圆的半径为 ， 所求圆的标准方程为 . 课 中 探 究 18 变式2 已知点, ,求: （2）过点,且圆心在直线 上的圆的标准方程. 解：连接， 直线的斜率,线段的中点坐标为 , 线段的垂直平分线的方程是,即 . 圆心在直线上, 直线 与直线 的交点即为圆心, 圆心坐标为 ,半径为 , 所求圆的标准方程是 . 课 中 探 究 19 ［素养小结］ 求圆的标准方程一般有两种方法：（1）直接法.通过研究圆的几何性 质，确定圆心坐标与半径长，即得到圆的标准方程．（2） 待定系 数法. 设圆的标准方程为<m></m>,先根据条 件列出关于<m></m>,<m></m>,<m></m>的方程组,然后解出<m></m>,<m></m>,<m></m>,最后代入标准方程. 课 中 探 究 20 探究点二 判断点与圆的位置关系 例3 已知两点和,求以线段 为直径的圆的标准方程, 并判断点,, 与圆的位置关系. 解：设圆心为,半径为,则由为线段 的中点,得 ,,即圆心为 . 由两点间的距离公式得 ,所以 所求圆的标准方程为 . 课 中 探 究 21 连接，，，则 , , , 所以点在圆外,点在圆上,点 在圆内. 课 中 探 究 22 变式（1）写出圆心为点 ,半径为5的圆的标准方程,并判断点 , 与该圆的位置关系. 解：易得圆的标准方程为,点 到圆心的距离 为,点 到圆心的距离为 ， 所以点在圆上,点 在圆内. 课 中 探 究 23 （2）已知点在圆的内部，求 的 取值范围. 解：由题意知 即解得，因此的取值范围是 . 课 中 探 究 24 拓展 已知，点是圆 上任意一 点，则 的最小值为___，最大值为___. 4 6 [解析] 由题意知，圆的圆心为，半径，连接 ，则 ，所以 ， . 课 中 探 究 25 课后习题 26 1.圆 的圆心坐标和半径分别为( ) A., B., C.,2 D. ,2 [解析] 圆的标准方程为 ，所以圆心坐标为 ，半径为 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 2.[2026·泰州高二期中]已知圆的一条直径的端点分别是 ， ，则该圆的标准方程为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意可知，圆心坐标为 ，半径 ，故所求圆的标准方程为 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 3.已知，是方程 的两个不相等的实数根，则点 与圆 的位置关系是( ) A.点在圆内 B.点在圆上 C.点 在圆外 D.无法确定 [解析] 因为，是方程 的两个不相等的实数根，所 以所以 ，由此 可知，点在圆 内.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 4.[2026·济宁高二期中]若点 在圆 的外部，则实数 的取值范围是( ) A. B. C.或 D. [解析] 由点在圆 的外部，得 ，即，解得或 ,所以 实数的取值范围是或 ,故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 5.圆心为 ，一条直径的两个端点落在两坐标轴上的圆的标准 方程为( ) A. B. C. D. [解析] 设两个端点落在两坐标轴上的直径为，且, ， 则解得所以半径为 ， 所以圆的标准方程为 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 6.（多选题）若圆上的点关于直线 的对称点仍在圆上， 且圆的半径为 ，则圆的标准方程可能是( ) A. B. C. D. [解析] 圆上的点关于直线的对称点仍在圆上， 圆 心在直线上. 设圆心坐标为 ，则由，解得或 ， 圆的标准方程为或. 故选 . √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 7.[2026·广西来宾高级中学高二期中] 圆心在 轴上，半径为1，且过 点 的圆的标准方程是_________________. [解析] 设所求圆的标准方程为 ，因为圆的 半径为1，且圆过点，所以解得 所以 所求圆的标准方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 8.已知的三个顶点为，，，那么 外 接圆的方程是_ _____________________. [解析] 因为的三个顶点为，， ，所以 为直角三角形，故外接圆的圆心为斜边的中点 ， 半径,所以 外接圆的 方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 9.（13分）求满足下列条件的圆的方程： （1）经过，两点，且圆心在 轴上； 解：由题知,所以的垂直平分线的斜率, 又 的中点为,即,所以 的垂直平分线的方程为 . 由题意知，直线与轴的交点即为圆心，所以 ， 所以圆的半径为 , 所以圆的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 9.（13分）求满足下列条件的圆的方程： （2）经过点，圆心为点 ． 解：圆的半径 ,圆心为点 ，所以圆的方程是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 10.[2026·武汉高二期中]已知圆，圆 与 圆关于直线对称，则圆 的方程为( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 [解析] 圆的圆心为，半径为，因为圆与圆 关于直线 对称，所以圆的半径为. 设圆的圆心为 ，则两圆心连线的中点在直线 上， 且两圆心所在直线与直线垂直， 故解得所以圆 的圆心为， 所以圆的方程为 .故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 11.已知圆经过原点，且其圆心在直线 上，则半径取 得最小值时圆 的方程为( ) A. B. C. D. [解析] 因为原点到直线 的距离为半径的最小值，所以 半径的最小值为，此时半径所在直线的方程为 ， 由解得所以，所以此时圆 的方程 为 ．故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 12.（多选题）设圆 ，则下列说法 正确的是( ) A.圆的面积为 B.存在，使得圆过点 C.经过点的圆 有且只有一个 D.不论如何变化，圆心 始终在一条直线上 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 [解析] 对于A，因为圆的半径为2，所以圆的面积为 ，A正确； 对于B，因为 ，所以圆必定不过点，B错误； 对于C，若圆经过点 ，则，即 ，解得 或，则经过点的圆 有 两个，C错误； 对于D，圆心始终在直线上，D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 13.已知,满足，则 的最小值为_____ ____. [解析] 表示圆心为，半径 的 圆，表示圆上的点与原点间的距离的平方. 连接 ，可得，则 的 最小值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 14.（15分）已知直线过直线和的交点 . （1）若在两坐标轴上的截距相等，求 的方程. 解：由解得故 . 当直线过原点时，直线的方程为，直线 在两坐标轴上的 截距相等； 当直线不过原点时，设直线的方程为 ，将点 的坐标代入得，解得 ， 所以直线的方程为 . 综上所述，直线的方程为或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 14.（15分）已知直线过直线和的交点 . （2）若圆过点及，圆 的面积存在最小值吗？如果存在， 求出面积的最小值和此时圆 的方程；若不存在，请说明理由. 解：方法一：易知当线段是圆的直径时，圆 的面积最小. 由（1）得，因为，所以圆的圆心坐标为 ， 半径为，所以圆的面积的最小值为 ，圆 的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 方法二：设圆心的坐标为，则在线段 的垂直平分线上. 因为，线段的中点坐标为 ， 所以线段的中垂线的方程为 ，即 ，所以，即 . 圆的半径 ， 所以当时，取得最小值，圆的面积取得最小值 ， 此时，则圆的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 15.若三角形的三边所在直线的方程分别为, , ,则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的标准方程为 ( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 [解析] 由题意得该三角形的三个顶点的坐标分别是,, , 易知该三角形为钝角三角形,故所求圆的方程是以最长边为直径的圆 的方程. 又最长边的两个端点的坐标分别为, ,所以所求圆的 圆心为，半径为 ,故所求圆的标 准方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 16.（15分）已知三点,,,以点 为圆心 作一个圆,使,, 三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个 圆的标准方程. 解：连接，，，则,, ,所以 , 要使，， 三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆 的半径 ， 故所求圆的标准方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 $