2.2 直线的方程 2.2.1 直线的点斜式方程(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线的点斜式与斜截式方程，通过课前预习的知识点讲解及诊断分析，结合斜率公式回顾，搭建从已知到未知的学习支架，为课中探究奠定基础。 其亮点在于以诊断分析强化概念辨析，如判断y轴方程是否适用点斜式，结合例题与变式培养数学思维与模型意识，素养小结提炼方法。助力学生夯实基础提升能力，为教师提供结构化资源便于分层教学。

2.2 直线的方程 1 2.2.1 直线的点斜式方程 2 探究点一 直线的点斜式方程 探究点二 直线的斜截式方程 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.能根据斜率公式导出直线的点斜式方程. 2.能利用直线的点斜式方程导出直线的斜截式方程. 3.能描述点斜式方程的适用范围. 4 知识点一 直线的点斜式方程 直线经过点,且斜率为.设是直线上不同于点 的 任意一点，因为直线的斜率为,由斜率公式得 ，即_______ ______________①. （1）方程①由直线上一个定点及该直线的斜率 确定，我们 把它叫作直线的点斜式方程，简称点斜式. （2）方程①适用的条件：直线的斜率存在. 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）直线恒过定点 .( ) √ [解析] 由直线的点斜式方程知，方程 表示过点 ，斜率为 的直线. （2）轴所在直线的方程为 ，该方程可化为点斜式方程.( ) × [解析] 轴所在直线的倾斜角为 ，斜率不存在，因此没有点斜式 方程，但轴上任一点的横坐标都为0，所以 轴所在直线的方程为 . 课 前 预 习 6 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）轴所在直线的方程为 ，该方程可化为点斜式方程.( ) √ [解析] 轴所在直线的倾斜角为 ，斜率为0，又 轴所在直线过原 点，所以轴所在直线的点斜式方程为，即 . （4）经过点 的所有直线都能用点斜式方程来表示.( ) × [解析] 经过点且垂直于 轴的直线不能用点斜式方程来表示. 课 前 预 习 7 知识点二 直线的斜截式方程 1.我们把直线与轴的交点的_________叫作直线在 轴上的截距. 纵坐标 2.直线的斜截式方程：如果斜率为的直线过点,这时 是直 线与轴的交点，代入直线的点斜式方程，得 ，即 ___________②. （1）方程②由直线的斜率与它在轴上的截距 确定，我们把②叫 作直线的斜截式方程，简称斜截式. （2）方程②适用的条件：直线的斜率存在. 课 前 预 习 8 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）直线在轴上的截距是直线与 轴的交点到原点的距离.( ) × [解析] 直线在轴上的截距是直线与 轴交点的纵坐标，而不是交 点到原点的距离. 课 前 预 习 9 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）直线的斜截式方程等同于一次函数的解析式.( ) × [解析] 当时，为一次函数，当时， 不是 一次函数. （3）直线在轴上的截距为，在 轴上的截距为0.( ) × [解析] 直线在轴上的截距为,在 轴上的截距不存在. 课 前 预 习 10 探究点一 直线的点斜式方程 例1 已知直线经过点且倾斜角为 ，斜率为，求直线 的点斜式 方程． （1）， ； 解：因为直线的斜率，且经过点，所以直线 的点斜式 方程为 . 课 中 探 究 11 例1 已知直线经过点且倾斜角为 ，斜率为，求直线 的点斜式 方程． （2）， ； 解：直线的倾斜角，则直线的斜率 ， 又直线经过点，故直线 的点斜式方程为 . 课 中 探 究 12 例1 已知直线经过点且倾斜角为 ，斜率为，求直线 的点斜式 方程． （3）， ． 解：直线的倾斜角，则直线的斜率 ， 又直线经过点 ， 故直线的点斜式方程为 . 课 中 探 究 13 变式（1）[2026·扬州一中高二期中]已知两点, ，则线 段 的垂直平分线的方程为( ) A. B. C. D. [解析] 由,，得线段的中点坐标为，直线 的斜率为，所以线段 的垂直平分线的方程为 ，即 .故选D. √ 课 中 探 究 14 （2）[2026·北京理工大学附中高二期中] 已知直线经过点 ，且 与轴平行，则直线 的方程为______. [解析] 由直线经过点，且与轴平行，可知直线 的斜率为0， 所以直线的方程为 . 课 中 探 究 15 （3）已知是直线上一点，且是直线 的一个方向向 量，则 的点斜式方程为_ _______________. [解析] 由是直线的一个方向向量，得直线的斜率为 ， 又直线过点，所以直线的点斜式方程为 . 课 中 探 究 16 ［素养小结］ 利用点斜式求直线方程的方法 （1）用点斜式求直线的方程,首先要确定直线的斜率和该直线上一个 点<m></m>.注意在斜率存在的条件下,才能求直线的点斜式方程;若斜 率不存在，则直线方程为<m></m>. （2）已知两点坐标求直线的方程,可以先求斜率,再用点斜式求直线 的方程. 课 中 探 究 17 探究点二 直线的斜截式方程 例2 根据下列条件写出直线的斜截式方程. （1）斜率为2,在 轴上的截距是5; 解：所求直线的斜截式方程为 . （2）倾斜角为 ,在轴上的截距是 ; 解： 倾斜角为 , 斜率, 所求直线的斜 截式方程为 . 课 中 探 究 18 例2 根据下列条件写出直线的斜截式方程. （3）倾斜角为 ,与 轴的交点到坐标原点的距离为3. 解： 直线的倾斜角为 , 斜率 . 直线与轴的交点到坐标原点的距离为3, 直线在 轴上的截距为3 或, 所求直线的斜截式方程为或 . 课 中 探 究 19 变式（1）已知直线的倾斜角为 ，且过点，则在 轴上 的截距为( ) A. B. C.1 D. [解析] 直线的斜率为，又直线过点 ，所以直线 的方程为，当时，，所以在 轴 上的截距为 .故选B. √ 课 中 探 究 20 （2）[2026·连云港高级中学高二月考] 直线经过点 ，且倾斜 角为直线的倾斜角的一半，则 的方程为_ ___________. [解析] 显然直线的斜率为，所以其倾斜角为 ，所以 直线的倾斜角为，则直线的斜率， 又直线 经过点，所以的方程为,即 . 课 中 探 究 21 ［素养小结］ 直线的斜截式方程的求解策略 （1）求直线的斜截式方程，首先要求出直线的斜率与它在<m></m>轴上的 截距. （2）当斜率和在<m></m>轴上的截距未知时，可结合已知条件，先求出斜 率和在<m></m>轴上的截距，再写出直线的斜截式方程. 课 中 探 究 22 拓展 已知直线 ，若这条直线不经过第二象 限，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 若，即，则直线方程可化为 ，此时直线 不经过第二象限，满足条件； 若 ，则直线方程可化为 ，此时若直线不 经过第二象限，则 且，解得. 综上，实数的取值范围是 .故选D. √ 课 中 探 究 23 课后习题 24 1.直线的倾斜角及其在 轴上的截距分别为( ) A. ，2 B. ， C. ，2 D. ， [解析] 由直线方程知，直线的斜率，直线在 轴 上的截距为，所以直线的倾斜角为 ,所以直线 的倾斜角及其在轴上的截距分别为 ， .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 2.若直线的斜率为，在轴上的截距为，则 的方程为( ) A. B. C. D. [解析] 因为直线在轴上的截距为，所以直线过点 ，又直 线的斜率为，故直线的方程为 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 3.直线 所过定点的坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 因为直线方程为 ，所以由直线的点斜式方程 可得直线恒过点 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 4.[2026·江苏启东中学高二月考]若，，则直线 不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] 直线的斜率为，直线在 轴上的截距 为， 因为，，所以直线 经过第一、二、四象限， 不经过第三象限.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 5.已知直线的倾斜角为 ，若直线过点，且 的倾斜角 与的倾斜角互余，则 的方程为( ) A. B. C. D. [解析] 因为的倾斜角为 ，的倾斜角与 的倾斜角互余，所以 的倾斜角为 ,所以. 又过点，所以 的方程为 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 6.（多选题）[2026·漳州三中高二月考]下列说法正确的是( ) A.点斜式方程可表示过点 的所有直线 B.若直线经过第一、三、四象限，则点 在第四象限 C.过点，且倾斜角为 的直线的点斜式方程为 D.斜率为，且在轴上的截距为3的直线方程为 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 [解析] 对于选项A，点斜式方程不能表示斜率不存在的直线,故选项 A错误； 对于选项B,由直线 经过第一、三、四象限，可得， ，所以点 在第四象限，故选项B正确； 对于选项C，直线的倾斜角为 ，则直线的斜率 ，由点斜 式方程得所求直线的方程为 ，故选项C正确； 对于选项D，因为直线在轴上的截距为3，斜率为 ，所以直线的 方程为，故选项D错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 7.已知直线与直线互相垂直，直线与直线在 轴上的截距相等，则直线 的方程为____________. [解析] 直线与直线互相垂直， 直线的斜率为 直线与直线在轴上的截距相等， 直线经过点 ， 故直线的方程为 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 8.将直线绕点顺时针旋转 得到的直线的方程是 _ __________________. [解析] 因为直线的斜率为1，所以其倾斜角为 . 将直线绕点顺时针旋转 ，所得直线的倾斜角为 ，所以所求直线的斜率为 ， 又所求直线过点，所以所求直线的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 9.（13分）已知直线的倾斜角为 . （1）若直线过点，求直线 的方程； 解： 直线的倾斜角为 ， 直线的斜率为 ， 又直线过点， 由直线的点斜式方程得，直线 的方程为 ，即 . （2）若直线在轴上的截距为4，求直线 的方程. 解： 直线在轴上的截距为4， 由直线的斜截式方程得，直线 的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 10.设，如果直线与直线 平 行，那么 的值是( ) A. B.1或 C.2或 D.1 [解析] 由题意可得解得 或1.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 11.已知，，若点在线段上，则 的最大 值为( ) A. B.3 C.7 D.8 [解析] 依题意得， 线段 的方程为 ，，即， ，故 ，． 设 ，,易知在上单调递增， 故当 时， .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 12.（多选题）在同一平面直角坐标系中，直线 与 的位置可能是( ) A. B. C. D. √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 [解析] 对于A，由直线的位置可得, ，由直 线的位置可得, ，故A正确； 对于B，由直线的位置可得,，由直线 的位置可得,，故B错误； 对于C，由直线 的位置可得,，由直线 的位置可得 ,，故C正确； 对于D，由直线的位置可得 ,，由直线 的位置可得, ，故D错误. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 13.已知直线经过点，且和直线的夹角为 ，则 直线 的方程是_________________________. 或 [解析] 直线的斜率为，所以其倾斜角为 ， 所以直线的倾斜角为 或 . 当直线的倾斜角为 时，直线 的方程为， 即； 当直线的倾斜角为 时，直线的方程为.故直线的方程 为 或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 14.（15分）已知的三个顶点为，， . （1）求过点且与直线 平行的直线的方程； 解：直线的斜率,所以过点且与直线 平行的 直线的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 14.（15分）已知的三个顶点为，， . （2）求 边上的中线所在直线的方程； 解：设边的中点为，因为， ， 所以点的坐标为 ， 即，故 ， 所以边上的中线所在直线的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 14.（15分）已知的三个顶点为，， . （3）求 边上的高所在直线的方程. 解：因为 ， 所以边上的高所在直线的斜率为 ， 故边上的高所在直线的方程为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 15.（多选题）已知直线过点，且与轴和 轴围成一个有一 个内角为的直角三角形，则满足条件的直线 的方程可以是 ( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 [解析] 由题意知，直线的倾斜角是或或或，所以直线 的斜率 或或 或 ，所以直线的方程为 或 或或 . 由，整理得，此时直线 过原点，无法与 轴和轴围成直角三角形，舍去.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 16.（15分）已知直线与轴、轴分别交于， 两点，若使（为坐标原点）的面积为的直线 共有四条， 求正实数 的取值范围. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 解：由题意知， 直线与轴、 轴的交点 分别是， ， . 当时， ， ，当且仅当 时取等号， 当时，存在两个使得 . 当时， ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 ，当且仅当 时取等号， 当时，不存在使得 ; 当时，存在唯一一个使得 ; 当时，存在两个使得 . 综上，若使（为坐标原点）的面积为的直线 共有四条， 则正实数的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $