2.1 直线的倾斜角与斜率 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦两条直线平行和垂直的判定，课前预习衔接直线倾斜角与斜率知识，课中通过探究点和例题构建从概念辨析到实际应用的学习支架，帮助学生逐步掌握判定方法。 其亮点在于通过诊断分析辨析易混点，结合斜率和方向向量双方法探究，如反射问题用两种方法求解，培养数学思维和语言表达。学生能深化理解，教师可利用结构化资源提升教学效果。

2.1 直线的倾斜角与斜率 1 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 2 探究点一 两条直线的平行问题 探究点二 两条直线的垂直问题 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直，并能用文字语言和符号 语言叙述并判断结论. 2.能描述如何利用斜率或方向向量判定两直线平行或垂直. 3.能根据给定条件求出直线的斜率或方向向量，进而判定两直线 平行或垂直. 4 知识点一 两条直线平行 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 对应关系 ______ ___ 两条直线的斜率都不存在 图示 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）“直线与平行”是“直线与 的斜率相等”的充要条件.( ) × [解析] 两直线平行，它们的斜率可能都不存在；两直线的斜率相等， 它们可能重合.所以是既不充分也不必要条件. 课 前 预 习 6 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）如果两条直线平行，那么这两条直线的方向向量一定相等.( ) × [解析] 如果两条直线平行，那么这两条直线的方向向量一定平行. （3）如果两条直线平行，那么这两条直线的倾斜角一定相等.( ) √ 课 前 预 习 7 知识点二 两条直线垂直 图示 对应 关系 对于斜率分别为, 的两条直线 ,， ___________ 若的斜率不存在， 的 斜率为0，则_______ 课 前 预 习 8 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）已知直线的倾斜角为 ，直线的倾斜角为 ，若 ， 则 .( ) × [解析] 由得 . 课 前 预 习 9 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）已知直线,的一个方向向量分别为, ， 若，则，从而 .( ) √ [解析] 由得，因此，即 ，故 . 课 前 预 习 10 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）“直线,的斜率之积为”是“直线， 互相垂直”的充要条 件.( ) × [解析] 当直线,的斜率之积为时，直线， 互相垂直；当直 线，互相垂直时，直线,的斜率有不存在的情况.故“直线, 的斜率之积为”不是“直线, 互相垂直”的充要条件. 课 前 预 习 11 探究点一 两条直线的平行问题 例1 根据下列条件,判断直线与直线 是否平行或重合： （1）经过点，，经过点， ； 解：由题意知直线的斜率，直线 的斜率 . 因为，且，，，四点不共线，所以 . （2）的倾斜角为 ，经过点， ； 解：由题意知直线的斜率为，直线 的斜率为 ，所以或与 重合. 课 中 探 究 12 例1 根据下列条件,判断直线与直线 是否平行或重合： （3）平行于轴，经过点， . 解：由题意知的斜率不存在,且不与轴重合, 的斜率不存在,且与 轴重合,所以 . 课 中 探 究 13 变式（1）[2026·安徽部分学校高二期中]已知直线经过 ， 两点，直线的一个方向向量为，若，则 ( ) A.1或 B.2 C.2或 D.1 [解析] 当时，直线的斜率不存在，而直线的斜率为 ， 与显然不平行，不符合题意，故，则直线 的斜率 ，直线的斜率. 因为，所以 ，即，整理得， 解得 或1.故选A. √ 课 中 探 究 14 （2）已知，，，若，，， 可以构成平行四 边形，求点 的坐标. 解：由题意得，， ，设 . 若四边形是平行四边形，则， ，即 解得即 . 课 中 探 究 15 若四边形是平行四边形，则， ， 即解得即 . 若四边形是平行四边形，则， ，即 解得即 . 综上，点的坐标为或或 . 课 中 探 究 ［素养小结］ 判断两条不重合的直线是否平行有两种方法:一种是利用两条直线的 方向向量,另一种是利用两条直线的斜率.利用两条直线的斜率判断两 条直线是否平行的方法如下: 课 中 探 究 17 拓展 若一束光线从点发出，射到轴上的 点后被反射，反射 光线所在的直线与一条斜率为2的直线平行，则点 的坐标为______. [解析] 方法一（利用斜率）关于轴的对称点为 ， 设，连接,则反射光线所在的直线为直线 ， 又反射光线所在的直线与一条斜率为2的直线平行， , ,即 . 课 中 探 究 18 方法二（利用方向向量）关于轴的对称点为 ，设 ，连接,则反射光线所在的直线为直线 ，它的一个方向 向量为，斜率为2的直线的一个方向向量为 ， 由题意知,，解得,即 . 课 中 探 究 19 探究点二 两条直线的垂直问题 例2 根据下列条件，判断直线与 是否垂直： （1）的倾斜角为，经过， 两点； 解：因为的倾斜角为 ，所以的斜率为 . 因为经过， 两点， 所以的斜率为 . 因为，所以 . 课 中 探 究 20 例2 根据下列条件，判断直线与 是否垂直： （2）的斜率为，经过， 两点； 解：因为经过，两点，所以 的斜率为 . 因为的斜率为，且，所以与 不垂直. 课 中 探 究 21 例2 根据下列条件，判断直线与 是否垂直： （3）的斜率为，的倾斜角为 ， 为锐角，且 . 解：记的斜率为，因为，所以，解得 或 . 因为 为锐角，所以 . 因为的斜率为，且，所以 . 课 中 探 究 22 变式（1）已知,，若点在 轴负半轴上，且 ，则点 的纵坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 设点,，则直线, 的斜率必存在，且 ,， 因为 ，所以，整理得， 又 ，所以，即点的纵坐标为 .故选A. √ 课 中 探 究 23 （2）[2026·马鞍山二中高二质检] 已知直线过点， ， 直线的一个方向向量为，且，则 ___. 3 [解析] 由直线的一个方向向量为，可得直线 的斜率 ， 因为直线过点，，且 ，所以 ，解得 . 课 中 探 究 24 ［素养小结］ （1）利用直线的斜率判断平面图形的形状时,一般先由图形进行猜测, 然后利用直线的斜率关系进行判断. （2）由平面图形的形状求参数（一般是点的坐标）时,要考虑到平面 图形可能出现的各种情形,设计如何运算.在运算时既要考虑运算对象, 又要考虑斜率是否存在. 课 中 探 究 25 拓展 如图，在平面直角坐标系中，设 的顶点分别为 ，，，点是线段 上的一点 （异于端点），设,,,均为非零实数，直线,分别交, 于 点,，若，求证： . 课 中 探 究 26 证明：由点和点，知直线 的斜率 为，由点和点，知直线 的斜 率为 ， 因为，所以，即 . 由点和点，知直线的斜率为 ， 由点和点，知直线的斜率为 ， 则直线与的斜率之积为 ，所以 课 中 探 究 27 课后习题 28 1.若直线的斜率为1,,则直线 的倾斜角为( ) A. B. C. D. [解析] 因为直线的斜率为1,,所以直线的斜率为 ,故直线 的倾斜角为 ，故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 2.已知直线经过，两点，直线 的倾斜角为 ，那么与 ( ) A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直 [解析] 由题意知, ，因为 ，所以 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 3.已知直线的一个方向向量为，直线 的一个方向向量 为，若，则 ( ) A. B.1 C. 或1 D.0或2 [解析] 因为直线的一个方向向量为，直线 的一个方向 向量为，，所以，则 ，解得 或 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 4.若的三个顶点为，，，则 边上的高所 在直线的斜率为( ) A.2 B. C. D. [解析] ，，，设 边上的高所在直 线的斜率为，则， .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 5.若直线经过两点，，直线的倾斜角为 ， 且，则 的值为( ) A. B. C.0 D.2 [解析] 因为直线经过两点，，所以直线 的斜 率. 因为直线的倾斜角为 ，所以直线 的斜率. 因为，所以，即 ，所以 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 6.（多选题）若与 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为 ，，斜率分别为， ，则下列说法正确的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 [解析] 对于A，若，则，A正确； 对于B，若 ，则，B正确； 对于C，若，则 ，C正确； 对于D，若,则,D不正确.故选 . √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 7.如图所示，直线的倾斜角 ， ， 则直线 的斜率为_____． [解析] 由题意知，直线 的斜率 ， 设直线 的斜率为,因为，所以，所以 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 8.已知直线平行于第二、四象限的平分线，则直线 的倾斜角为___ （用弧度制表示）． [解析] 设直线的倾斜角为，因为直线 平行于第二、四 象限的平分线，所以直线的斜率，所以 ，可得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 9.（13分）[2026·沈阳二十二中高二月考] 已知直线经过点 , . （1）若的斜率为2，且，求 的值； 解：因为的斜率为2，且，直线经过点, ，所以 ，解得 . （2）若的一个方向向量的坐标为，且，求 的值. 解：因为的一个方向向量的坐标为，所以的斜率为 ， 又因为，所以直线的斜率为 ，即，解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 10.张老师玩折纸游戏,他将一张画了直角坐标系（两坐标轴的单位长 度相同）的纸折叠一次,使点与点重合,点 与 点重合,则 ( ) A.4048 B.4049 C.4050 D.4051 [解析] 设,,则直线的斜率为 . 由题意知,过点和点的直线与直线平行, 所以 ,整理得 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 11.已知的两个顶点为,,若是 的垂 心，则点 的坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 设点的坐标为， 直线的斜率 ， ，且点的横坐标为6，， 又 ，，，则， 点的坐标为 . 故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 12.（多选题）[2026·西安一中高二月考]已知点， ， 点在轴上，若为直角三角形，则点 的坐标可能是 ( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 [解析] 设，易知当或时，不合题意，因此 且 ，可得，,. 当 为直角顶点时，，解得, 此时点 的坐标为. 当为直角顶点时， ，解得, 此时点的坐标为. 当 为直角顶点时，，整理得， 解得 或，此时点的坐标为或.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 13.在平面直角坐标系中，四边形的顶点依次为 ， ，，，其中，则四边形 的 形状为______. 矩形 [解析] 由题得， ， ，，所以 ， ， 从而，，所以四边形 为平行四边形. 又，所以，故四边形 为矩形. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 14.（15分）已知，， . （1）若点在轴上，且满足，求点 的坐标； 解：设，因为， ， 所以，故，解得，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 14.（15分）已知，， . （2）若点在轴上，且，求直线 的倾斜角. 解：设，因为，所以 ， 又,，所以,解得 ， 所以， 结合，得 轴， 故直线的倾斜角为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 15.直线的倾斜角为 ，点在直线上，将直线绕点 按逆时针方向旋转 后到达直线的位置，若直线与 平行，且 与直线垂直，其中，，则实数 的值是____ ___． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 [解析] 由题意知，直线的倾斜角为 ，所以直线 的斜率. 当时，直线 的斜率不存在，此时的斜率为0，不满足. 当时，直线的斜率为0，此时 的斜率不存在，不满足. 当且时，直线 的斜率为，所以的斜率 . 因为，所以 ，即，解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 16.（15分）已知，，， 四点. （1）当直线与直线平行时，求 的值； 解：当时，直线轴，，，直线与 轴 不垂直，即直线与直线 不平行，不符合题意； 当时，直线轴，，，直线与 轴 不垂直，即直线与直线 不平行，不符合题意； 当且时，直线，的斜率都存在，且直线 的 斜率，直线的斜率 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 因为直线与直线平行，所以，即 ，整理可 得，解得或 . 经检验，， 均符合题意. 综上所述，当直线与直线平行时，或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）已知，，， 四点. （2）求证：无论取何值，总有 . 证明：若，则，，，此时 轴，轴，所以 ； 若，则直线的斜率，直线的斜率 ， 此时，所以 . 综上所述，无论取何值，总有 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 $