2.1 直线的倾斜角与斜率 2.1.1 倾斜角与斜率(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角、斜率及方向向量，通过课前诊断分析题（如判断倾斜角范围、斜率存在性）衔接初中一次函数知识，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生逐步理解概念及转换关系。 其亮点是课中探究结合几何情境（如直线旋转求倾斜角）与代数运算（斜率公式应用），通过例题变式培养数学眼光（几何直观）和数学思维（推理能力），素养小结系统梳理方法。学生能提升问题解决能力，教师可利用分层习题和探究案例优化教学。

2.1 直线的倾斜角与斜率 1 2.1.1 倾斜角与斜率 2 探究点一 直线的倾斜角 探究点二 直线的斜率 探究点三 直线的方向向量的应用 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，描述两者之间的相互转换关系. 2.能说明倾斜角是刻画直线倾斜程度和确定直线的几何要素，并 能根据斜率（倾斜角）的范围判断倾斜角（斜率）的范围. 3.掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能灵活运用公式计算直 线的斜率. 4 知识点一 直线的倾斜角 1.定义:当直线与轴相交时,我们以轴为基准,轴正向与直线 _____ 的方向之间所成的角 叫作直线 的倾斜角.特别地,当____________ ___________时,我们规定它的倾斜角为 . 向上 直线与轴 平行或重合 2.直线的倾斜角 的取值范围:______________. 课 前 预 习 5 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若一条直线的倾斜角为 ,则这条直线与 轴垂直.( ) √ （2）某条直线的倾斜角可能为 ，也可能为 .( ) × [解析] 直线的倾斜角 的取值范围是 ，所以某条直 线的倾斜角不可能为 ，也不可能为 . （3）任意一条直线都有且只有一个倾斜角和它对应.( ) √ 课 前 预 习 6 2.当直线的倾斜角为锐角时,直线一定过哪两个象限? 解：当直线的倾斜角为锐角时,直线一定过第一、三象限. 课 前 预 习 7 知识点二 直线的斜率 1.直线斜率的定义 我们把一条直线的__________________叫作这条直线的斜率.斜率常 用小写字母 表示,即__________. （1）倾斜角是 的直线没有斜率,但并不是该直线不存在,此时,直 线垂直于 轴. 倾斜角 的正切值 （2）倾斜角 与斜率 的关系: 当 时,______;当 时,______;当 时,______ _____;当 时,______. 不 存在 课 前 预 习 8 2.斜率公式 经过两点, 的直线的斜率公式是________ _____. 对于上面的斜率公式要注意下面两点: （1）斜率公式与点， 的先后顺序无关. （2）运用斜率公式的前提条件是“”，即直线不与 轴垂直， 因为当直线与 轴垂直时，斜率是不存在的． 课 前 预 习 9 3.直线的方向向量与斜率的关系 （1）经过两点, 的直线的一个方向向量 为 ,因此,当直线的斜率 存在时,直线的一个方向向量为______; （2）若直线的一个方向向量为,则直线的斜率 _ _. 课 前 预 习 10 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）任意一条直线都有且只有一个斜率和它对应.( ) × [解析] 任意一条直线都有倾斜角,但不一定都有斜率,如与 轴垂直的 直线的倾斜角为 ,但它没有斜率. 课 前 预 习 11 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）已知直线上的两点, 可以确定直线的方向,求 出直线的一个方向向量,进而可以求出它的斜率.( ) × [解析] 由直线上的两点, 可以确定直线的方向，求 出直线的一个方向向量为，但是当 时， 无意义，直线的斜率不存在. 课 前 预 习 12 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）直线的倾斜角是锐角时,直线的斜率为正;直线的倾斜角是钝角 时,直线的斜率为负.( ) √ 课 前 预 习 13 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （4）直线的倾斜角越大,它的斜率越大;反过来,直线的斜率越大,它的 倾斜角也越大.( ) × [解析] 设直线的倾斜角为 ,斜率为. 当 时,且 随着 的增大而增大; 当 时,且随着 的增大而增大. 但当 时,并不随着 的增大而增大. 如 时,; 时, . 课 前 预 习 14 探究点一 直线的倾斜角 例1（1）若直线向上的方向与轴正向之间所成的角为 ，则直 线 的倾斜角为( ) A. B. C. 或 D. 或 [解析] 如图所示，直线有两种情况，故直线 的倾 斜角为 或 . √ 课 中 探 究 15 （2）直线过原点，且不过第三象限，则的倾斜角 的取值范 围是( ) A. B. C. 或 D. [解析] 直线过原点，且不过第三象限， 直线 与坐标轴重 合或经过第二、四象限，的倾斜角 的取值范围为 或 ，故选C. √ 课 中 探 究 16 变式（1）（多选题）若直线与轴交于点，其倾斜角为 ，将直 线绕点顺时针旋转后得到直线，则直线 的倾斜角可能为 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为直线的倾斜角的取值范围为，所以当 时， 直线的倾斜角为，当时，直线 的倾斜角为 .故选 . √ √ 课 中 探 究 17 （2）如图，已知直线的倾斜角为 ， ，垂足为，，与 轴分别相交于 点，，直线平分，则 的倾斜角 为____. [解析] 因为直线的倾斜角为 ，所以 ，所以 的 倾斜角为 . 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 求直线的倾斜角的方法：结合图形，利用特殊三角形（如直角三角 形）求角． 课 中 探 究 19 探究点二 直线的斜率 例2（1）若直线的倾斜角为，则直线 的斜率为( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以直线的斜率为 .故选C. √ 课 中 探 究 20 （2）[2026·天津滨海新区高二期中] 已知过和 的直 线的斜率为2，则 的值是___. 0 [解析] 由题意可知，且，解得 . 课 中 探 究 21 变式（1）如图，若直线，， 的斜率分别 为，， ，则( ) A. B. C. D. [解析] 设直线，，的倾斜角分别为 ， ，，则,, . 由图可知， ，所以 .故选D. √ 课 中 探 究 22 （2）[2026·襄阳四中高二月考]经过点作直线，若直线 与 ，两点的连线总有公共点，设的倾斜角为 ， 的斜 率为 ，则( ) A. B. C. D. [解析] , ,由题意得 ，即. 由，解得 或， 的取值范围是 .故选A. √ 课 中 探 究 23 ［素养小结］ （1）由直线的倾斜角<m></m> 的大小（或取值范围）求斜率<m></m>的值 （或取值范围）时,可利用公式<m></m>. （2）由直线上两点<m></m>,<m></m>的坐标求斜率<m></m>时,可 利用公式<m></m>. 课 中 探 究 24 拓展 已知点在函数的图象上，当 时，求： （1） 的最大值与最小值； 解：如图所示，由点 在函数 的图象上，且 ，可 知点在线段上移动，且 ， ． 的几何意义是过， 两点的直线的斜率， 又， ， 由图可知的最大值为2，最小值为 . 课 中 探 究 拓展 已知点在函数的图象上，当 时，求： （2） 的取值范围． 解：，其几何意义是过， 两点的直线 的斜率. ，， ， 的取值范围为 . 课 中 探 究 26 探究点三 直线的方向向量的应用 例3（1）（多选题）经过， 两点的直线的方向向量可 能为( ) A. B. C. D. [解析] 由，，可得 ， 因为，，所以， 都是 直线的方向向量，而和都不是直线 的方向向量. 故选 . √ √ 课 中 探 究 27 （2）经过，两点的直线的一个方向向量为，则 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 直线的一个方向向量为， ，解得 .故选C. √ 课 中 探 究 28 （3）已知直线的一个方向向量为，则直线 的斜率为_ ____. [解析] 因为直线的一个方向向量为，所以直线 的斜率为 . 课 中 探 究 29 课后习题 30 1.[2026·十堰高二期中]某直线的斜率为 ，则该直线的倾斜角为 ( ) A.0 B. C. D. [解析] 设该直线的倾斜角为 ，则，因为 ，所 以 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 2.已知经过点,的直线的斜率为2，则 的值为( ) A. B.0 C.1 D.2 [解析] 因为经过点,的直线的斜率为2，所以 ， 且，解得 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 3.倾斜角为 的直线的一个单位方向向量是( ) A. B. C. D. [解析] 易知倾斜角为 的直线的斜率为 ，所以该直线的一个方 向向量为. 设单位方向向量为，可得 ，即， 解得，故直线的单位方向向量为 或 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 4.已知点，在斜率为的直线上，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 点，在斜率为的直线 上，则 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 5.[2026·天津武清区高二期中]已知直线经过两点，，直线 的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线 的斜率是( ) A.0 B.1 C. D. [解析] 因为直线经过两点,，所以直线 的斜率不存在，则 直线的倾斜角为， 又直线的倾斜角是直线 的倾斜角的两倍，所以直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 6.（多选题）给出下列说法，其中正确的是( ) A.若是直线的一个方向向量，则是直线 的斜率 B.若直线的斜率是，则是直线 的一个方向向量 C.任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D.任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 [解析] 对于A，若是直线的一个方向向量，则直线 的斜率为 ，故A正确； 对于B，直线的斜率是，设直线 的方向向量为，则有 ，不妨取，则，即 是直线 的一个方向向量， 故B正确； 对于C，根据直线的倾斜角的定义可知，任一条直线都有倾斜角， 而当倾斜角为 时，直线的斜率不存在，故C正确； 对于D，直线的倾斜角的正切值为直线的斜率，根据正切函数的性质 可知，当倾斜角为 时，直线的斜率不存在，故D错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 7.已知直线的倾斜角为 ，则 的取值范围是____________ _____. [解析] 由题意得 ,故 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 8.已知直线的倾斜角，则直线的斜率 的取值范 围为____________________. [解析] ，因为 在 上单调递增,所以当 时，. 因为 在 上单调递增,所以当时， ,所以直线 的斜率的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 9.（13分）已知坐标平面内三点，， . （1）求直线，， 的斜率和倾斜角； 解：由题得， ， ， 因为直线的斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的取值范围是， 所以直线的倾斜角为0，直线 的倾斜角为，直线的倾斜角为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 9.（13分）已知坐标平面内三点，， . （2）若为的边上一个动点，求直线 的倾斜角的取值范围. 解：如图，由图可知的取值范围为 ， 所以直线的倾斜角的取值范围为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 10.[2026·辽宁朝阳高二期中]已知直线 的斜率的取值范围为 ，则其倾斜角的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 设直线的斜率为，倾斜角为 ，则 ， ， 由，得，所以 .故 选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 11.[2026·广东金山中学高二月考]已知点，， ， 若过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 [解析] 如图所示， 若过点的直线与线段 有公共点， 则直线的斜率满足 或， ，， 或， 即 的取值范围是 .故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 12.（多选题）[2026·陕西庆安高级中学高二月考]若直线，， 的 斜率分别为，，，且，则，， 在同一坐标 系中的位置可能为( ) A. B. C. D. √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 [解析] 设直线，，的倾斜角分别为,, . 对于A，，所以 ，故A正确； 对于B，，所以 ，故B正确； 对于C，，所以 ，故C错误； 对于D，，所以，故D错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 13.在平面直角坐标系中，将直线沿 轴正方向平移3个单位长度，再 沿轴负方向平移2个单位长度后回到原来的位置，则直线 的斜率 ____. [解析] 设直线上任意一点，将直线沿 轴正方向平移3个 单位长度，则点移动后为，再沿 轴负方向平移2个单 位长度，则点移动后为 ，都在直线 上， 直线的斜率 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 14.（15分）已知平面直角坐标系内两点 ， . （1）当直线的倾斜角为锐角时，求 的取值范围; 解：若直线的倾斜角 为锐角，则直线的斜率 ， 即，可得 ，解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 14.（15分）已知平面直角坐标系内两点 ， . （2）若直线的一个方向向量为，求 的值. 解：因为直线的一个方向向量为 ， 所以直线的斜率，解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 15.（多选题）已知在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点 与原点重合，且直线的斜率为，则直线 的斜率可能为 ( ) A. B. C. D. √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 [解析] 设直线的倾斜角为 ，直线的倾斜角为 ， 如图①②所示， 因为为等边三角形，所以或 ， 由题知. 当时， ; 当 时， .故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 16.（15分）在平面直角坐标系中，已知线段 的两个端点为 ，，点是线段 上一个动点． （1）求 的最大值和最小值； 解：连接，， ，如图所示， 可看作是直线 的斜率， 由图知，， 而， ，所以的最大值为2，最小值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 16.（15分）在平面直角坐标系中，已知线段 的两个端点为 ，，点是线段 上一个动点． （2）求 的取值范围． 解：因为，所以 ， 即的取值范围是 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 $