1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第3课时 空间中直线、平面的垂直(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“用空间向量研究空间线面垂直”，课前预习通过表格梳理线线、线面、面面垂直的向量条件，诊断分析巩固基础，课中探究以例题为支架，连接向量运算与立体几何证明，形成完整知识脉络。 其亮点是通过问题驱动探究，如四棱锥垂直证明题，引导学生用向量法解决几何问题，培养数学思维与语言表达能力。素养小结提炼证明方法，帮助学生构建知识体系，提升逻辑推理能力，也为教师提供分层教学资源，提高教学效率。

1.4 空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 1 第3课时 空间中直线、平面的垂直 2 探究点一 空间向量与垂直关系 探究点二 利用空间向量证明垂直关系 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.能用直线的方向向量和平面的法向量刻画直线与直线、直线与 平面、平面与平面的垂直. 2.能分析和解决一些立体几何中的垂直问题，体会向量方法与综 合几何方法的共性和差异，体会直线的方向向量和平面的法向量的 作用，感悟向量是研究几何问题的有效工具. 4 知识点 用空间向量描述空间线面的垂直关系 设直线，的方向向量分别为，，平面 ， 的法向量分别 为， ，则 垂直关系 对应线面 图形 满足条件 线线垂直 与 ________ ___________ 线面垂直 与 ________ ，使得______ ____ 课 前 预 习 5 垂直关系 对应线面 图形 满足条件 面面垂直 与 ________ ___________ 续表 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）两条直线的方向向量垂直，则这两条直线垂直.( ) √ （2）直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与 平面垂直.( ) √ （3）两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直.( ) √ （4）若直线,的方向向量分别为, ,则 .( ) √ 课 前 预 习 7 探究点一 空间向量与垂直关系 例1（1）[2026·长沙名校联合体高二月考]在空间直角坐标系 中， 已知平面 ， 的一个法向量分别为, ， 若 ，则 ( ) A.2 B. C. D.6 [解析] 因为 ，所以，可得 . 故选A. √ 课 中 探 究 8 （2）下列说法正确的是( ) A.一条直线的方向向量是唯一的 B.若直线的方向向量与平面 的法向量平行，则 C.若平面 的法向量与平面 的法向量平行，则 D.若直线的方向向量与平面 的法向量垂直，则 √ 课 中 探 究 9 [解析] 对于A，一条直线的方向向量不唯一，A错误； 对于B，若直线的方向向量与平面 的法向量平行，则 ，B正确； 对于C，若平面 的法向量与平面 的法向量平行，则 ，C错误； 对于D，若直线的方向向量与平面 的法向量垂直，则 或 ， D错误.故选B. 课 中 探 究 10 变式（1）（多选题）下列选项正确的是( ) A.两条不重合直线,的一个方向向量分别是 , ，则 B.两个不同的平面 , 的一个法向量分别是 , ，则 C.直线的一个方向向量是，平面 的一个法向量是 ，则 D.直线的一个方向向量是，平面 的一个法向量是 ，则 √ √ 课 中 探 究 11 [解析] 对于A，两条不重合直线, 的一个方向向量分别是 ,，则，所以，即 ， 故A正确； 对于B，两个不同的平面 , 的一个法向量分别是, ，则，所以 ，故B正确； 对于C，直线的一个方向向量是，平面 的一个法向 量是，则 ，所以 ，则 或 ，故C错误； 对于D，直线 的一个方向向量是，平面 的一个法向量是 ，则 ，所以，故 ，故D错误.故选 . 课 中 探 究 （2）已知点,,,,若 平面 ,则点 的坐标为_________. [解析] 由题意得,, . 设平面的法向量为,由得 令,则平面的一个法向量为. 因为 平面，所以,即存在实数 , 使得,即 解得 故 . 课 中 探 究 13 ［素养小结］ 在探究空间的垂直关系时，通常的做法是看到直线找直线的方向向 量，看到平面找平面的法向量，然后通过向量的运算得到直线的方 向向量与直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、平面 的法向量与平面的法向量之间的关系，从而确定线线、线面、面面 之间的关系. 课 中 探 究 14 探究点二 利用空间向量证明垂直关系 例2 [2025·上饶一中高二月考] 已知四棱锥 的底面是直角梯形， ， ，侧面 底面 .证明： （1） ； 证明：取的中点，连接 ， ， ， 又 侧面 底面， 侧面 底面， 侧面 ， 底面 . 课 中 探 究 15 以为原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 不妨设，则, ， ,,, ， ， . ， ， . 课 中 探 究 16 例2 [2025·上饶一中高二月考] 已知四棱锥 的底面是直角 梯形， ， ，侧面 底面 .证明： （2）平面 平面 . 课 中 探 究 17 证明： 取的中点，连接，则 ， ，， ， ，即 . 同理可得，又,, 平面 ， 平面 . 平面， 平面 平面 . 课 中 探 究 18 变式 如图，在四棱锥中，已知 平面 ，底面 为正方形，，，分别为， 的中点. 求证： 平面 . 课 中 探 究 19 证明：因为 平面，底面 为正方形， 所以以为原点，以,,所在直线分别为,, 轴 建立如图所示的空间直角坐标系. 由，，分别为， 的中点， 得,,,,, , , 所以,, , 设平面的法向量为 ， 则令，可得 ， 因为，所以 平面 . 课 中 探 究 20 ［素养小结］ （1）用向量法证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面 内的两条相交直线的方向向量垂直;②证明直线的方向向量与平面的 法向量平行. （2）证明面面垂直的方法:①利用面面垂直的判定定理转化为线面 垂直、线线垂直去证明；②证明两个平面的法向量互相垂直. 课 中 探 究 21 拓展 如图①，在边长为2的菱形中， , ，垂 足为，将沿折起到的位置，使 ，如图②. （1）求证： 平面 . 课 中 探 究 22 证明：， ， 又,, 平面, 平面 ， 平面 . 平面， ， 又,, 平面, 平面 ， 平面 . 课 中 探 究 23 拓展 如图①，在边长为2的菱形中， , ，垂 足为，将沿折起到的位置，使 ，如图②. （2）在线段上是否存在点，使得平面 平面 ？若 存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 课 中 探 究 24 解：存在，理由如下： 平面, ， 以为原点，分别以,,所在直线为, , 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,, . 假设在线段上存在一点，使得平面 平面 ， 设, ， 则， ， , . 课 中 探 究 25 设平面的法向量为 ， 由 得 令 ，得 . 设平面的法向量为 ， 又, ， 课 中 探 究 故 取，得 . 平面 平面 ， ，解得 ，满足 ， 在线段上存在点，使得平面 平面，且此时 . 课 中 探 究 课后习题 28 1.[2026·江苏太湖高级中学高二期中]已知平面 ， 的一个法向量 分别为，，若 ，则 的值为( ) A.10 B. C. D. [解析] 因为 ，所以，所以 ，解得 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 2.已知向量，分别是直线， 的方向向量， 若 ，则下列几组解中可能正确的是( ) A.， B.， C.， D.， [解析] 由题意得，即 ，将各 选项中的值代入计算，只有C满足 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 3.已知直线与平面 垂直，直线的一个方向向量为 ， 直线的一个方向向量为，且直线与平面 平行，则 ( ) A. B.1 C. D.2 [解析] 由题意可知，，即，解得 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 4.若平面 ， 的一个法向量分别为， ， 则平面 与平面 的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 [解析] 平面 ， 的一个法向量分别为， ， 易知,不平行，则平面 ， 不平行， 又，则平面 ， 不垂直， 故平面 与 相交但不垂直.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 5.如图，在正方体中,若 为的中点,则直线 垂直于( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 [解析] 以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1,则, , ,,, , ,, , , , ， ，， 与，， 均不垂直.故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 6.（多选题）[2026·东北师大附中高二期中]已知平面 与平面 的 法向量分别是,，直线的方向向量为 ，则下列说法正确的是 ( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 [解析] 对于A，若，则，所以 ，故A正确； 对于B，若，则 ，故B正确； 对于C，若 ，则，所以 或 ，故C错误； 对于D，若 ，则，所以 或 ，故D错误. 故选 . √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 7.已知，，分别是平面 , , 的 一个法向量，则 , , 三个平面中互相垂直的有___对. 0 [解析] 因为 ， ， ， 所以,, 中任意两个都不垂直，即 , , 中任意两个都不垂直. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 8.已知是直线的方向向量， 是平面 的法向量，如果 ，那么 ____. 24 [解析] 因为 ，所以，所以存在实数 ，使得 ，即 ，所以 ， ， ，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 9.（13分）如图所示,正三棱柱的棱长均为2,为 的 中点.求证: 平面 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 证明：方法一:取的中点,连接 为正三角形, . 在正三棱柱中, 易得平面 平面 , 平面 平面， 平面 ， 平面 . 如图，取的中点,连接,以为原点,, , 所在直线分 别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系,则, , , , . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 设平面的法向量为,则 即 又 , , 取,得 . ,, 平面 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二:设平面内的任意一条直线 的方向向 量为，则存在实数 , ,使得 . 令,, ,显然它们不共面,且 ,, , 将,, 作为空间的一个基底, 则 , , , 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故 , 故 , 故, 平面 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法三:令,, ,显然它们不共 面,且, , , 将,, 作为空间的一个基底, 则 , , . , , ,,即, , 又,， 平面 ， 平面 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 10.若平面 的一个法向量为，直线 平面 ，则直 线的单位方向向量 ( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 [解析] 由题意知，直线 平面 ，所以， 由 ，可设，所以， 又因为 是单位向量，所以，解得， 所以 .故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 11.如图，正方体 的棱长为2， ，分别为棱，的中点，若点 为正方 体表面上一动点，且满足 平面 ，则点 的轨迹长度为( ) A. B. C. D.2 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 [解析] 以为原点，,,所在直线分别为 , ,轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 , ,,，， 连接 ，则,, ，所以 , ， 所以 ,， 又，, 平面，所以 平面， 所以当点在线段（除去点）上时，满足 平面， 故点的轨迹长度为 .故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 12.（多选题）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且,,, 四个顶点在同一平面内，则下列结论正确的是( ) A.平面 B.平面平面 C. D.平面 平面 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 [解析] 由题可知，题中八面体为正八面体， 如图，记与交于点，则为正八面体的中心， 连接 ，以为原点，,,所在直线分别为 ,, 轴，建立空间直角坐标系 ， 设正八面体的棱长为2，则 ,,, , ，所以 ，， . 设平面的法向量为 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 则 令，则,，所以 为平面 的一个法向量，又 ，所以 ，因为 平面，所以平面 ， 故A正确. 因为， 平面, 平面 ，所以平面，又， ， 平面，所以平面平面 ，故B正确. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为，,, ， 所以， ，所以 ，所以与 不垂直，故C错误. 易知平面的一个法向量为，平面 的一个法向量为，因为 ， 所以平面 平面，故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.[2026·山西大学附中高二月考] 在长方体 中， ，动点满足 ，则当 与垂直时， 的值为__. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 [解析] 以为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则，，， ， 可得，所以 ， 连接，，则， ， 所以 ， . 由，可得 ，所以， 解得或，因为 ，所以实数 的值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 14.（15分）如图，已知正方体中，为棱 上的 动点. （1）求证： ； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 证明：以为原点，，， 所在直线分 别为轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角 坐标系， 设正方体的棱长为，则， , . 设，则 , ， ， ，即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 14.（15分）如图，已知正方体中，为棱 上的 动点. （2）若平面 平面，求证：为 的中点. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 证明： 设平面和平面 的法向量分别为 ， . 易知,, ， 由得令 ，则 ，则 . 由得令 ，则 ,，则 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 由平面 平面，得 . ，解得 ， 当平面 平面时，为 的中点. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.（多选题）在正三棱柱中，，点 满 足，其中， ，则( ) A.当时，有 B.当时， 的周长为定值 C.当时，有且仅有一个点，使得 D.当时，有且仅有一个点，使得 平面 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 [解析] 取的中点，取的中点，连接, ， 在正三角形中，易知 ，在正三棱柱 中，易知 平面，以 为原点， 分别以,,所在直线为,, 轴，建立如图所示的 空间直角坐标系，则,, ， ，，则 ，. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 对于A，由，得 ， ，由，得 ， 故A正确. 对于B，，由 ，得 ，则 ，所以 ， ，，故 的周长 为 ，不为定值，故B错误. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，由，得 ， 又 ，则 ，由 ， 得，解得 或1， 所以有两个符合题意的点 ，故C错误. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，由， ， 得，即，所以. 由 ，得 ， 故 . 令，解得 ，此时， 即.因为，, 平面， 所以 平面，所以当 时，有且仅有一个点符合 题意，故D正确. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）如图①，在中，, ，点 ，分别为边，的中点，将沿折起到 的位置， 使得平面 平面 ，如图②. （1）求证： . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 证明：在中， 点，分别为边， 的中点， ， 又,，故 . 又 平面 平面，平面 平面, 平面， 平面 . 又 平面, . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）在平面内是否存在点，使得平面 平面 ？若 存在，指出点 的位置；若不存在，说明理由. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 解：由（1）知，,,. 以点 为原点，以,，所在直线分别为，， 轴，建立空间直角坐标系，如图， 则， ，，， ， ，， . 设平面的法向量为 ， 则即令 ，则 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 假设在平面内存在点，使得平面 平面 . 若，则设 . 设 平面的法向量为，则 即 令，则 . 平面的一个法向量为，由 知 此情况不成立. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若与不共线，则设，连接 . 设 ， 则 . 设平面的法向量为 ， 则即 令，则 . 若平面 平面，即平面 平面 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则，故，解得， 在平面内存在点，当点 在直线 上时，平面 平面 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $