1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第2课时 空间中直线、平面的平行(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量与平行关系，通过课前预习表格梳理线线、线面、面面平行的向量条件，结合判断题巩固基础，课中探究以例题变式搭建从向量平行到线面平行证明的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于用结构化表格呈现平行关系条件，例题变式梯度设计培养逻辑推理（数学思维），素养小结归纳证明方法助力数学语言表达，分层习题结合正方体、直三棱柱实例提升应用意识（数学语言）。学生能提升空间想象与推理能力，教师可高效实施分层教学。

1.4 空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 1 第2课时 空间中直线、平面的平行 2 探究点一 空间向量与平行关系 探究点二 利用空间向量证明平行关系 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.能用直线的方向向量和平面的法向量刻画直线与直线、直线与 平面、平面与平面的平行. 2.能分析和解决一些立体几何中有关平行的问题，体会向量方法 与综合几何方法的共性和差异，体会直线的方向向量和平面的法向 量的作用，感悟向量是研究几何问题的有效工具. 4 知识点 用空间向量描述空间线面的平行关系 设直线，的方向向量分别为，，平面 ， 的法向量分别 为， ，则 平行关 系 对应线 面 图形 满足条件 线线平 行 与 ________ ，使得 _____ 课 前 预 习 5 平行关 系 对应线 面 图形 满足条件 线面平 行 与 ________ ___ 面面平 行 与 ________ ，使得 _____ 续表 0 课 前 预 习 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反.( ) √ [解析] 若两条直线平行,则它们的方向向量也平行,故它们的方向向量 的方向相同或相反. 课 前 预 习 7 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直 线与平面平行.( ) √ [解析] 由线面平行的判定定理知,若平面外的一条直线的方向向量与 平面的法向量垂直,则该直线与平面平行. 课 前 预 习 8 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）若两条不同直线,的方向向量分别为 , ,则 .( ) √ [解析] 因为,所以 . （4）若两个平面平行，则这两个平面的法向量一定平行.( ) √ [解析] 若两个平面平行，则这两个平面的法向量一定平行. 课 前 预 习 9 探究点一 空间向量与平行关系 例1（1）[2025·深圳高二期中]已知直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为，则直线 与平 面 的位置关系是( ) A.与 相交 B. C. D. 或 [解析] 因为，所以 ， 则 或 .故选D. √ 课 中 探 究 10 （2）已知平面 的一个法向量为，平面 的一个法 向量为，若 ，则 ( ) A. B.1 C.2 D. [解析] 若 ，则，所以，解得 , ，故 .故选A. √ 课 中 探 究 11 （3）[2025·北京通州区高二期中] 已知向量 ， 分别是直线，的一个方向向量，若 ，则 ___. 6 [解析] 因为，所以，故存在实数 使得 ，则 解得所以 . 课 中 探 究 12 变式 已知空间中两条不同的直线，，两个不同的平面 ， ， 则下列说法中正确的是( ) A.若直线的一个方向向量为，直线 的一个方向向量 为，则 B.若直线的一个方向向量为，平面 的一个法向量为 ，则 C.若平面 ， 的一个法向量分别为， ， 则 D.若平面 经过三个点，， ，向量 是平面 的一个法向量，则 √ 课 中 探 究 13 [解析] 对于A，易知向量与向量 不平行， 可得与 不平行，故A错误； 对于B，易知，所以 或 ， 故B错误； 对于C，易知两平面的法向量， 不平行，所 以 与 不平行，故C错误； 对于D， , ，则 解得所以 ，故D正确.故选D. 课 中 探 究 14 探究点二 利用空间向量证明平行关系 例2 如图，在直三棱柱 中， ，点，分别为, 的中点，点 为的中点， .求证： 平面 . 证明：在直三棱柱中， 平 面，且，即 , 所以，， 两两垂直， 课 中 探 究 15 以点为原点，，， 所在直线 分别为，， 轴建立如图所示的空间直角 坐标系， 则，，， ， 故，， ，则 . 由题可知，平面的一个法向量为， ，， 平面，平面 . 课 中 探 究 16 变式 如图，在正方体中，，，分别是 ， ， 的中点，利用向量法证明： （1）平面 ； 课 中 探 究 17 证明：以为原点，，， 所在直线分 别为轴、轴、 轴建立空间直角坐标系，如 图所示. 课 中 探 究 18 方法一：设正方体的棱长为2，则,, , , . 由正方体的性质知 平面 ， 所以为平面 的一个法向量. 因为， 所以 ， 所以 . 又 平面，所以平面 . 课 中 探 究 19 方法二：设正方体的棱长为2，则,, , ，, . 因为，， ， 所以 ， 又 平面， 所以平面 . 课 中 探 究 变式 如图，在正方体中，，，分别是 ， ， 的中点，利用向量法证明： （2）平面平面 . 课 中 探 究 21 证明： 方法一：因为 ， ， ，所以 所以也是平面 的一个法向量， 又 平面，所以平面与平面 不重合， 所以平面平面 . 课 中 探 究 22 方法二：由， ，得 ，所以， 又 平面 ， 平面， 所以平面 . 由（1）知平面， 又与 相交于点 ， 所以平面平面 . 课 中 探 究 ［素养小结］ 证明线、面平行问题的方法： （1）用向量法证明线面平行：①证明直线的方向向量与平面内的某 一向量是共线向量且直线不在平面内；②证明直线的方向向量可以 用平面内两个不共线向量表示,且直线不在平面内；③证明直线的方 向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内. （2）利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行. 课 中 探 究 24 拓展 如图，在直三棱柱 中， ，四边形、四边形 均为 正方形，点是棱的中点.在棱 （不含端点）上是否存在点，使得 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说 明理由. 课 中 探 究 25 解：以为原点，分别以,, 所在的直线 为轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐 标系， 不妨设，则， ， ，， ， ， . 假设在棱上存在点，使得平面 ， 易知 . 课 中 探 究 26 设平面的法向量为 ， 则 ， ， 是平面 的一个法向量. 由，解得 ， ，为棱 的中点， 故在棱上存在点，且，使得平面 . 课 中 探 究 课后习题 28 1.[2026·江门二中高二月考]已知直线 的一个方向向量为 ，直线的一个方向向量为，若 ， 则 的值为( ) A. B.1 C. D. [解析] 因为直线的一个方向向量为，直线 的一个方 向向量为，，所以，设 ，则 , , ，解得， .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 2.[2026·河南T20名校高二调研]已知点， ，若平面 的一个法向量为，则直线与平面 的位置关系是 ( ) A. B. C. D. 或 [解析] 因为，，所以 ，所以 或 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 3.已知平面 的一个法向量为，平面 的一个法向量为 ，若 ，则实数 的值为( ) A. B.4 C. D.10 [解析] 因为 ，所以，所以，解得 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 4.在正方体中，与直线和都垂直， 不 过点，则直线与 的位置关系是( ) A.异面 B.平行 C.垂直不相交 D.垂直且相交 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 [解析] 设正方体 的棱长为1， 以为原点，,,所在直线分别为轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，，， ， ，， 所以 ,． 设 ，则可得 又，所以，所以, 又 不过点，所以 ．故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 5.[2026·安徽A10联盟高二诊断]已知平面 的一个法向量为 ，若直线平面 ，则直线的一个方向向量 可以是 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为平面 的一个法向量为，且直线平面 ， 所以. 对于A，若，则 ，所以A不符合题意； 对于B，若，则 ，所以B不符合题意； 对于C，若，则 ，所以C符合题意； 对于D，若，则 ，所以D不符合题意. 故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 6.（多选题）若平面 ， 平行，则下列两个向量可以分别是这两 个平面的法向量的是( ) A.， B.， C.， D.， √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 [解析] 对于A， ，则两个向量平行，故A正确； 对于B，不存在实数 使得 ，则两个向量不平行，故B错误； 对于C，，则两个向量平行，故C正确； 对于D， ，则两个向量平行，故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 7.已知直线,的方向向量分别为和 ， 若，则 ____. [解析] 因为，所以，即 ，所 以解得 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 8.如图，在四棱台中，底面 是边长为2的正 方形， 平面，，，为 的中点， 则与平面 的位置关系为______. 平行 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 [解析] 因为底面 是边长为2的正方 形， 平面，所以， ， 两两垂直. 以为原点，,, 所在直线分别为 轴、轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接 . 在四棱台中，，， 为 的中点，故, ,,, 则 ,,所以，即， 又 平面， 平面，故平面 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 9.（13分）在直四棱柱中，底面 为等腰梯 形，，，，，是棱 的中点. 试用向量的方法证明：平面平面 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 证明：因为底面为等腰梯形，， ，，是棱的中点， 所以 ， 所以四边形 为平行四边形， 所以，所以 为正三角形， 所以 . 取的中点，连接，则，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 以为原点，所在直线为轴， 所在 直线为轴，所在直线为 轴建立空间直 角坐标系 ，如图， 则，， ， ，， ， 所以， ，， ， 所以，，所以， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 因为， 平面， 平面 ， 所以平面. 因为， 平面， 平面， 所以 平面 . 又，, 平面 ， 所以平面平面 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知空间中两条不同的直线，，其方向向量分别为， ，则“ ，共线”是“直线， 平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 [解析] 若直线的方向向量， 共线，则两直线平行或重合，又因为 直线，是空间中两条不同的直线，所以直线，平行，即“， 共线”是“直线，平行”的充分条件； 若直线，平行，则， 共线，即“，共线”是“直线，平行” 的必要条件.综上，“， 共线”是“直线， 平行”的充要条件.故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 11.若平面 的一个法向量为， ， ，且平面 与平面 不重合，则( ) A.平面平面 B.平面 平面 C.平面 与平面 相交但不垂直 D.以上均有可能 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 [解析] 设平面的法向量为 ,则 取，则， ，即 ，则， 又平面 与平面 不重合，所以平面平面 .故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 12.（多选题） 如图，在正方体 中，，，， 均是所在 棱的中点， 则下列说法正确的是( ) A. B.平面 C.平面平面 D. √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 [解析] 依题意，以 为原点，建立空间直角坐 标系 ，如图所示,不妨设正方体 的棱长为2，则 , ,,,, , ,,所以 , ，所以 ，即 ，故，故A正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 , ，设平面的法向量为 ，则 即令 ，则 ,，所以，所以，即，又 平面 ，所以平面，故B正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 , ， 设平面 的法向量为， 则 即 令，则, ， 所以，所以，即 ， 所以平面平面 ，故C正确； 因为, , 所以和不平行，故D错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图，在直三棱柱中，， ， ，.若在棱上存在点，使得平面 ，则 __． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 [解析] 因为，， ，所 以，所以 ， 则在直三棱柱中，， ， 两两垂直，以为原点，以， ， 所在直线分别为轴、轴、 轴，建立 如图所示的空间直角坐标系，则 ， ，，， ， 设，则 ， ，. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 设平面 的法向量为， 则 即 令 ，则， 若平面 ，则， 所以. 由 在上得，即 ， 由①②可得，，即为 的中点，故 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.（15分）在如图所示的几何体中，四边形 为平行四边形， ， 平面，，， ， ，，且是的中点．求证：平面 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 证明：方法一：如图①,取的中点 ，连接，. 在中，是的中点， 是的中点， , ， 又,， 且， 四边形 为平行四边形，则 ， 又 平面， 平面，平面 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 方法二：以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、 轴，建立如图②所示的空间直角坐标系 ． ，,, ， , ，， ， ，， ， ， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面的法向量是 , 则取 ，得 ,3, ． 又， ， 又 平面，平面 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.如图，在棱长为3的正方体 中，以 为原点，建立空 间直角坐标系，点在上，且 ， 点在上，且 ，若平面 上存在一点，平面 上存在一 （答案不唯一） 点，使得平面平面，则一个满足条件的点 的坐标为 _ ______________________. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 [解析] 因为平面平面， 平面，所以平面 . 由题知，,, ， 所以，， 设 ，平面的法向量为 ， 则即 令 ，则 ， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 又 ， 所以，即. 令 ，则，故点 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）如图，在正三棱柱 中， ,,是的中点，在 上，且 ，点在 上，且 .是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请 说明理由. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 解：假设存在实数 ,使得. 如图，取 的中点，连接，可得 ， 又在正三棱柱中， 平面 平面 , 平面 平面, 平面 ， 所以 平面 . 以为原点，，,的方向分别为轴、 轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 则，， , ,,, 连接 ,则, , . 因为 , 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 若,则,则存在实数 ,使得 ,即 方程组无解， 故不存在实数 ,使得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $