第4章 §3 对数函数 3.3 第2课时 对数函数y=logax的性质与应用(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

**基本信息** 聚焦对数函数性质与应用，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，实现从概念理解到实际建模的递进，适配新授课知识内化与能力培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|定义域、单调性、值域等单一性质|选择题1-5直接考查概念辨析与简单运算，强化数学抽象能力| |综合应用|复合函数、性质综合、实际情境应用|题6（地震能量计算）体现模型意识，多选题8-9培养推理能力| |拓展提升|复杂复合函数、跨知识点综合|题16（单调性讨论与不等式）提升数学思维逻辑性，题15发展创新意识|

第2课时　对数函数y=logax的性质与应用 1.B　[解析] 易知函数f(x)的定义域为,函数f(x)=log2(4x-3)的单调递增区间即为y=4x-3的单调递增区间.根据一次函数的性质可得,y=4x-3的单调递增区间为,故f(x)的单调递增区间为,故选B. 2.B　[解析] 要使f(x)的定义域为R,则对任意的实数x都有x2-ax+1>0恒成立,故有解得0<a<1或1<a<2,故a的取值范围为(0,1)∪(1,2).故选B. 3.A　[解析] 令t=log2x,因为x∈[1,16],所以t∈[0,4],则y=t2-4t+3=(t-2)2-1∈[-1,3].故函数f(x)的值域为[-1,3].故选A. 4.B　[解析] f(-x)=lg=-f(x),且f(x)的定义域为(-1,1),所以f(x)为奇函数,所以f(-a)=-f(a)=-b,故选B. 5.A　[解析] 令t=3-2x-x2,则y=log2t,因为t=3-2x-x2=-(x+1)2+4≤4,t>0,所以y=log2t的定义域为(0,4],又y=log2t为增函数,所以y=log2t的值域为(-∞,2].故选A. 6.A　[解析] 由题意得lg E1=4.8+1.5M1,lg E2=4.8+1.5M2,两式相减得lg=1.5(M2-M1),∵M2-M1=2,∴=103.故选A. 7.D　[解析] 根据题意得a>0且a≠.设g(x)=3x-ax2,则由题意知g(x)在区间(0,1)上不单调,且g(x)>0在(0,1)上恒成立.由a>0知g(x)的图象开口向下,只需要满足g(x)图象的对称轴x=∈(0,1),且min{g(0),g(1)}≥0即可,所以解得<a≤3,则a的取值范围为.故选D. 8.BD　[解析] 由f(x)=lg(x2+2x-3),得x2+2x-3>0,解得x>1或x<-3,所以f(x)的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞),故A错误,B正确;令u=x2+2x-3,则u在(1,+∞)上单调递增,在(-∞,-3)上单调递减,又函数y=lg u在定义域内为增函数,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,-3),单调递增区间为(1,+∞),故C错误,D正确.故选BD. 9.ABD　[解析] 对于A,由2x-1>0,解得x>0,所以函数g(x)的定义域为(0,+∞),故A正确;对于B,g(x)=ln(2x+1)-ln(2x-1)=ln,因为1+>1,所以g(x)>0,即函数g(x)的值域为(0,+∞),故B正确;对于C,因为y=2x在(0,+∞)上单调递增,所以y=在(0,+∞)上单调递减,故g(x)在(0,+∞)上为减函数,故C不正确;对于D,因为函数g(x)的定义域为(0,+∞),不关于原点对称,所以函数g(x)为非奇非偶函数,故D正确.故选ABD. 10.(-2,2)　[解析] 由-x2-4x+12>0,解得-6<x<2,所以函数f(x)=lo(-x2-4x+12)的定义域为(-6,2).设u=-x2-4x+12,则u=-x2-4x+12的图象的对称轴为直线x=-2,且开口向下,所以u=-x2-4x+12在区间(-6,-2)上单调递增,在区间(-2,2)上单调递减,又y=lou为减函数,所以函数f(x)的单调递增区间为(-2,2). 11.-　[解析] 依题意得f(x)=log2x·(2+2log2x)=(log2x)2+log2x=-≥-,当log2x=-,即x=时等号成立,所以函数f(x)的最小值为-. 12.2　[解析] 令u=x2-x+2,则u=x2-x+2在[0,2]上的最大值为4,最小值为.当a>1时,y=logau是增函数,则f(x)max=loga4=2,得a=2;当0<a<1时,y=logau是减函数,f(x)max=loga=2,得a=(舍去).故a=2. 13.解:(1)由得-3<x<1,则函数f(x)的定义域为(-3,1).∵f(x)的定义域(-3,1)不关于原点对称, ∴f(x)为非奇非偶函数. (2)f(x)=loga[(1-x)(x+3)]=loga(-x2-2x+3)=loga[-(x+1)2+4],∵-3<x<1,∴0<-(x+1)2+4≤4,∵0<a<1,∴loga[-(x+1)2+4]≥loga4,即f(x)min=loga4.由loga4=-4,得a-4=4,∴a==. 14.解:(1)将v=1.7,x=6400代入v=log2-lg x0,得1.7=log2-lg x0,可得lg x0=0.3,解得x0≈2,所以此时x0的值为2. (2)设甲北极燕鸥每分钟的耗氧量为x1,乙北极燕鸥每分钟的耗氧量为x2,乙北极燕鸥每分钟的耗氧偏差为x'0则甲北极燕鸥每分钟的耗氧偏差为10x'0. 由题意可知,甲北极燕鸥的飞行速度v1=log2-lg(10x'0)=log2-lg x'0-1,乙北极燕鸥的飞行速度v2=log2-lg x'0,由v1=v2,得log2-log2=1,则log2=3,所以=8,即甲北极燕鸥每分钟的耗氧量是乙北极燕鸥每分钟耗氧量的8倍. 15.B　[解析] 令g(x)=f(x)-1012=2023-x+log2023-2023x,则g(x)的定义域为(-1,1).y=2023-x-2023x在(-1,1)上单调递减,y=log2023=log2023=log2023在(-1,1)上单调递减,所以g(x)在(-1,1)上单调递减.因为g(-x)=2023x+log2023-2023-x=-=-g(x),所以g(x)为奇函数.原不等式可化为g(4x+1)+g(2x+1)<0,则g(4x+1)<g(-2x-1),可得解得-<x<0,故选B. 16.解:(1)因为g(x)=log2(x+2)+log2(5-x),所以解得-2<x<5,即函数g(x)的定义域为(-2,5).g(x)=log2(x+2)+log2(5-x)=log2[(x+2)(5-x)]=log2(-x2+3x+10),因为函数y=-x2+3x+10在上单调递增,在上单调递减,y=log2x在定义域上为增函数,所以根据复合函数的单调性可得函数g(x)=log2(-x2+3x+10)在上单调递增,在上单调递减. (2)因为x∈[-1,3],不等式g(x)-m-log23≤0的解集非空,所以m+log23≥g(x)min,x∈[-1,3]. 由(1)可得g(x)=log2(-x2+3x+10)在上单调递增,在上单调递减,又g(-1)=log26,g(3)=log210,所以g(x)min=log26=1+log23,所以m+log23≥1+log23,所以m≥1,即m的取值范围为[1,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　对数函数y=logax的性质与应用 一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分) 1.函数f(x)=log2(4x-3)的单调递增区间是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(-∞,+∞) B. C. D. 2.若函数y=loga(x2-ax+1)的定义域为R,则a的取值范围是 (　 ) A.(0,1) B.(0,1)∪(1,2) C.(1,2) D.[2,+∞) 3.设函数f(x)=(log2x)2-4log2x+3,x∈[1,16],则f(x)的值域为 (　 ) A.[-1,3] B.[1,2] C.[0,3] D.[1,4] 4.已知函数f(x)=lg,若f(a)=b,则f(-a)等于 (　 ) A.b B.-b C. D.- 5.函数y=log2(3-2x-x2)的值域为 (　 ) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[4,+∞) D.(-∞,4] 6.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学研究表明,地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M,已知两次地震释放的能量与里氏震级分别为Ei与Mi(i=1,2),若M2-M1=2,则= (　 ) A.103 B.3 C.lg 3 D.10-3 7.[2024·重庆八中高一月考] 若函数f(x)=log2a(3x-ax2)在(0,1)上有意义且不单调,则a的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 8.(多选题)[2024·贵州黔南期末] 关于函数f(x)=lg(x2+2x-3),下列说法正确的是(　 ) A.f(x)的定义域为(-3,1) B.f(x)的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞) C.f(x)的单调递增区间为(-1,+∞) D.f(x)的单调递减区间为(-∞,-3) 9.(多选题)已知函数g(x)=ln(2x+1)-ln(2x-1),下列关于g(x)的说法正确的是 (　 ) A.g(x)的定义域为(0,+∞) B.g(x)的值域为(0,+∞) C.g(x)为增函数 D.g(x)为非奇非偶函数 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 10.若函数f(x)=lo(-x2-4x+12),则f(x)的单调递增区间是　　　　.  11.函数f(x)=log2·lo(2x)的最小值为　　　　.  12.若函数f(x)=loga(x2-x+2)(a>0,且a≠1)在区间[0,2]上的最大值为2,则实数a=　　　　.  三、解答题(本大题共2小题,共20分) 13.(10分)已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(0<a<1). (1)求函数f(x)的定义域并判断函数f(x)的奇偶性; (2)若函数f(x)的最小值为-4,求a的值. 14.(10分)北极燕鸥是已知的鸟类中迁徙路线最长的,属于燕鸥属的一种海鸟.科学家经过测量发现北极燕鸥的飞行速度v(单位:km/min)可以表示为v=log2-lg x0,其中x表示北极燕鸥每分钟耗氧量的单位数,x0表示测量过程中北极燕鸥每分钟的耗氧偏差.(注:lg 2≈0.3) (1)当北极燕鸥每分钟的耗氧量为6400个单位时,它的飞行速度为1.7 km/min,求此时x0的值; (2)当甲、乙两只北极燕鸥速度相同时,甲北极燕鸥每分钟的耗氧偏差是乙北极燕鸥每分钟耗氧偏差的10倍,试问甲北极燕鸥每分钟的耗氧量是乙北极燕鸥每分钟耗氧量的多少倍? 15.(5分) [2024·云南昭通市直中学高一月考] 已知函数f(x)=2023-x+log2023-2023x+1012,则关于x的不等式f(4x+1)+f(2x+1)-2024<0的解集为 (　 ) A. B. C. D. 16.(15分)(1)已知函数g(x)=log2(x+2)+log2(5-x),讨论函数g(x)的单调性; (2)对于(1)中的函数g(x),若x∈[-1,3],不等式g(x)-m-log23≤0的解集非空,求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $