第4章 §3 对数函数 3.3 第1课时 对数函数y=logax的图象和性质(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

本讲义聚焦对数函数y=logₐx（a>0且a≠1）的图象和性质，系统梳理定义域、值域、过定点、单调性及函数值变化等核心内容，通过知识点解析、诊断分析搭建从概念理解到应用（定义域值域、图象识别、比较大小、解不等式）的完整学习支架。 资料以“诊断分析+探究提问”引导学生用数学眼光观察底数对图象的影响，通过分类讨论（如a>1与0<a<1）培养数学思维，结合例题变式（如定义域求解、图象辨析题）强化数学语言表达。课中助力教师引导互动探究，课后素养小结与拓展题帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

3.3　对数函数y=logax的图象和性质 第1课时　对数函数y=logax的图象和性质 【课前预习】 知识点一 (0,+∞)　R　(1,0)　增函数　减函数　y>0　y>0 诊断分析 解:函数y=logax的图象与y=lox的图象关于x轴对称. 知识点二 诊断分析 1.解:将不同底数的对数函数的图象画在同一个平面直角坐标系中,沿直线y=a(a<0)自左向右看,对数函数的底数逐渐减小. 2.解:不一定.当x>1时,有log2x>log3x;当x=1时,有log2x=log3x=0;当0<x<1时,有log2x<log3x. 【课中探究】 探究点一 提问 解:若函数y=log3(x-1)有意义,则x>1. 例1　(1)(-∞,0)　(2)[-3,+∞)　[解析] (1)要使函数有意义,需满足>0,即1-3x>0,∴3x<1=30,∴x<0,∴函数y=log2的定义域为(-∞,0). (2)因为函数y=lox在(0,8]上是减函数,所以lox≥lo8=-3,故函数的值域为[-3,+∞). 变式　(1)C　(2)3　[解析] (1)由已知得a-lg x≥0的解集为(0,10],由a-lg x≥0,得lg x≤a,又当0<x≤10时,lg x≤1,所以a=1.故选C. (2)当a>1时,f(x)在区间[2,3]上单调递增,∴f(x)的最大值是f(3)=1,则loga3=1,∴a=3>1,∴a=3符合题意.当0<a<1时,f(x)在区间[2,3]上单调递减,∴f(x)的最大值是f(2)=1,则loga2=1,∴a=2>1,∴a=2不合题意.综上,a=3. 拓展　解:若0<a<1,则由题意可得0<3a-1<1,所以<a<;若a>1,则由题意可得3a-1>1,所以a>1. 综上,a>1或<a<. 探究点二 提问 解:可以.只需将真数(x+b)看成一个整体,令x+b=1,得x=1-b,所以形如y=loga(x+b)+c(a>0且a≠1)的函数图象过定点(1-b,c). 例2　(1)ABC　(2)A　[解析] (1)由题图得a>1>c>b>0,即b<c<a.而y=2x在R上是增函数,∴2b<2c<2a.故选ABC. (2)当0<a<1时,y=ax与y=lox的图象如图①所示, 当a>1时,y=ax与y=lox的图象如图②所示,故选A. ① ② 变式　(1)C　(2)BC　[解析] (1)f(x)=1+log2x的图象由函数y=log2x的图象向上平移1个单位长度得到,所以函数f(x)的图象过点(1,1),且f(x)为增函数.函数g(x)=21-x=2×,其图象经过点(0,2),且g(x)为减函数.故选C. (2)曲线为y=logax的图象,直线为y=bx+a的图象.对于A,由y=logax的图象知a>1,由y=bx+a的图象知0<a<1,矛盾,所以A项错误.对于B,由y=logax的图象知a>1,由y=bx+a的图象知a>1,所以B项正确.对于C,由y=logax的图象知0<a<1,由y=bx+a的图象知0<a<1,所以C项正确.对于D,由y=logax的图象知0<a<1,由y=bx+a的图象知a>1,矛盾,所以D项错误.故选BC. 探究点三 提问 增函数　减函数 例3　(1)D　(2)B　[解析] (1)∵0<log32<1,log23>1,log0.23<0,∴log23>log32>log0.23,即b>a>c. (2)方法一:结合题意,画出函数y=logax,y=logbx的大致图象,如图所示.再由对数函数的图象可知0<b<a<1.故选B. 方法二:由已知得<<0,则0>log2a>log2b,即log21>log2a>log2b.∵y=log2x在定义域上为增函数,∴0<b<a<1. 变式　(1)D　(2)ABC　[解析] (1)因为a=log0.62<0,b=log67>1,0<c=0.23<1,所以b>c>a.故选D. (2)因为y=x3是R上的增函数,0.8>0.7,所以0.83>0.73,又y=ln x在(0,+∞)上是增函数,所以ln 0.83>ln 0.73,故A正确;因为y=lg x是(0,+∞)上的增函数,1.6>1.4,所以lg 1.6>lg 1.4,故B正确;因为y=log0.5x是(0,+∞)上的减函数,0.4<0.6,所以log0.50.4>log0.50.6,故C正确;因为1<log23<2,2<log0.50.2<3,所以log23<log0.50.2,故D错误.故选ABC. 探究点四 例4　(1)(0,2)　[解析] 由题意可得解得0<x<2.所以原不等式的解集为(0,2). (2)解:由题意,当0<a<1时,原不等式等价于解得即2<x<5.当a>1时,原不等式等价于解得即<x<2. 所以当0<a<1时,原不等式的解集为(2,5), 当a>1时,原不等式的解集为. 变式　(1)A　[解析] 当a>1时,loga<loga1=0<1,满足题意;当0<a<1时,因为loga<1,所以解得0<a<.综上,a∈∪(1,+∞).故选A. (2)解:原不等式等价于解得所以原不等式的解集为{x|0<x<1或4<x<5}. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3　对数函数y=logax的图象和性质 第1课时　对数函数y=logax的图象和性质 【学习目标】 1.掌握对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象与性质. 2.会应用对数函数的图象与性质识图、比较大小、求定义域等. ◆ 知识点一　对数函数的图象和性质 函数 y=logax(a>1) y=logax(0<a<1) 图象 性 质 定义域 　　　  值域 　　　  过定点 　　　  单调性 在(0,+∞)上为　　　  在(0,+∞)上为　　　  函数值 变化 当x>1时,　　　  当x>1时,y<0 当0<x<1时,y<0 当0<x<1时,　　  【诊断分析】 已知a>0且a≠1,则函数y=logax的图象与y=lox的图象关于什么对称? ◆ 知识点二　底数对对数函数图象的影响 图中的四条曲线分别为四个对数函数y=logax,y=logbx和y=logcx,y=logdx的图象,则b>a>1>d>c>0. 【诊断分析】 1.将不同底数的对数函数的图象画在同一个平面直角坐标系中,若沿直线y=a(a<0)自左向右观察能得到什么结论? 2.当a>1时,函数y=logax是增函数,则对任意的x>0,一定有log2x<log3x吗? ◆ 探究点一　与对数函数有关的定义域与值域 [提问] 若函数y=log3(x-1)有意义,则x应满足什么?     例1 (1)函数y=log2的定义域为　　　　.  (2)函数y=lox,x∈(0,8]的值域为　　　　.  变式 (1)[2024·江西新余四中高一月考] 函数f(x)=的定义域为(0,10],则实数a的值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.0 B.10 C.1 D. (2)若函数f(x)=logax(a>0且a≠1)在[2,3]上的最大值为1,则a=　　　　.  [素养小结] 与对数函数有关的定义域、值域问题在求解时要注意对数的性质,即真数大于0,底数大于0且不等于1,底数不确定时,还要对底数a按照a>1,0<a<1进行分类讨论. 拓展 已知a>0且a≠1,若loga(3a-1)>0恒成立,求a的取值范围. ◆ 探究点二　对数函数的图象 [提问] 对数函数的图象恒过点(1,0),利用对数函数的图象过定点可以处理形如y=loga(x+b)+c(a>0且a≠1)的函数图象过定点的问题吗?     例2 (1)(多选题)如图所示的平面直角坐标系中有三个对数函数的图象,则下列结论正确 的是 (　 ) A.a>1 B.0<b<1 C.2b<2c<2a D.c<b (2)函数y=ax与y=lox(a>0且a≠1)(a>0且a≠1)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (　 ) A B C D 变式 (1)函数f(x)=1+log2x与g(x)=21-x在同一个平面直角坐标系中的图象大致是 (　 ) A B C D (2)(多选题)函数y=bx+a与y=logax(a>0且a≠1)在同一平面直角坐标系中的图象可能为 (　 ) A B C D [素养小结] 处理对数函数图象问题的3个注意点: (1)明确图象的分布区域.对数函数的图象分布在第一、四象限.当x趋近于0时,函数图象会越来越靠近y轴,但永远不会与y轴相交. (2)建立分类讨论的思想.在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1,还是0<a<1. (3)牢记特殊点.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象经过点(1,0),(a,1)和. ◆ 探究点三　比较大小 [提问] 当a>1时,y=logax为　　　　,当0<a<1时,y=logax为　　　　,运用此单调性可以比较一些对数式的大小.  例3 (1)已知a=log32,b=log23,c=log0.23,则 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.c<a<b (2)若loga2<logb2<0,则 (　 ) A.0<a<b<1 B.0<b<a<1 C.a>b>1 D.b>a>1 变式 (1)已知a=log0.62,b=log67,c=0.23,则 (　 ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a (2)(多选题)下列各式中正确的是 (　 ) A.ln 0.83>ln 0.73 B.lg 1.6>lg 1.4 C.log0.50.4>log0.50.6 D. log23>log0.50.2 [素养小结] 比较对数式的大小,主要依据对数函数的单调性. (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接比较. (2)若底数不同,真数相同,则可以先用对数换底公式化为相同底数的对数后,再进行比较.也可以利用在第一象限内顺时针方向底数增大的规律画出函数的图象,再进行比较. (3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较. ◆ 探究点四　解对数不等式 例4 (1)不等式lox>lo (4-x)的解集为　　　　.  (2)解关于x的不等式loga(2x-1)<loga(-x+5),其中a>0,且a≠1. 变式 (1)若loga<1,则实数a的取值范围是(　 ) A.∪(1,+∞) B. C. D. (2)解不等式2+lo(5-x)+log2>0. [素养小结] 解对数不等式的关键在于根据对数函数的单调性将其转化为不含对数的不等式来求解.对于形如logaf(x)<logag(x)的不等式,当0<a<1时,可转化为f(x)>g(x)>0;当a>1时,可转化为0<f(x)<g(x).对于形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<logaab,当0<a<1时,可转化为f(x)>ab;当a>1时,可转化为0<f(x)<ab.但一定要遵循“定义域优先”原则. 学科网（北京）股份有限公司 $