第4章 §2 对数的运算 2.1 对数的运算性质(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

**基本信息** 本同步练聚焦“对数的运算性质”，通过基础辨析、情境应用、综合探究三层设计，构建“概念理解-运算技能-实际应用”的巩固路径，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|对数运算性质直接应用|选择题1-3考查性质辨析，填空题10-11强化基本运算，夯实概念理解| |中档|性质综合与简单应用|选择题4-7结合指数互化、方程根、pH计算，填空题12涉及对数与指数转化，提升运算能力| |综合|跨知识点与问题解决|解答题15-16融合方程思想、勾股定理，多选题8-9深化性质逻辑辨析，发展数学思维与创新意识|

§2　对数的运算 2.1　对数的运算性质 1.B　[解析] (log312-2log32)=(log6+log63)(log312-log322)=log6(2×3)×log3=log66×log33=1×1=1.故选B. 2.A　[解析] 根据对数的运算性质logaMb=blogaM(M>0,a>0,且a≠1)知③与⑤正确.故选A. 3.C　[解析] ∵lg x=lg a+3lg b-5lg c=lg a+lg b3-lg c5=lg,∴x=.故选C. 4.B　[解析] 因为3a=4,所以log34=a,又因为b=log3,所以a+b=log34+log3=log39=log332=2.故选B. 5.D　[解析] ∵lg a,lg b是方程6x2-4x-3=0的两根,∴lg a+lg b=,lg a·lg b=-, ∴=(lg b-lg a)2=(lg b+lg a)2-4lg a·lg b=-4×=,故选D. 6.C　[解析] ===. 7.C　[解析] pH=-lg(1.25×10-3)=-(lg 1.25-3)=3-lg=2+3lg 2=2+3a.故选C. 8.BCD　[解析] 对于A选项,若logaM=logaN,则M=N>0,说法正确;对于B选项,当M=N≤0时结论不成立,说法错误;对于C选项,若logaM2=logaN2,则M2=N2>0,M=N不一定成立,说法错误;对于D选项,当M=N=0时结论不成立,说法错误.故选BCD. 9.AC　[解析] ===1,A成立;===1,B不成立; lg 14-2lg+lg 7-lg 18=(lg 7+lg 2)-(2lg 7-2lg 3)+lg 7-(2lg 3+lg 2)=0,C成立;(lg 2)2+lg 2·lg 5 +lg 5=lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5=lg 2+lg 5=1,D不成立.故选AC. 10.a+b　[解析] log76=log72+log73=a+b. 11.4　[解析] 因为log2x+log2(x-3)=log24,所以log2[x(x-3)]=log24,即x(x-3)=4,解得x=4或x=-1,又因为对数的真数大于0,即⇒x>3,所以x=4. 12.　[解析] 因为m=4log32,所以=====. 13.解:(1)ln =ln x+ln y-ln z. (2)ln(x2y4z3)=ln x2+ln y4+ln z3=2ln x+4ln y+3ln z. (3)ln(×)=ln +ln =ln x+ln y+ln z. 14.解:(1)log3+lg 125+lg 8++log1251+log77 =log3+lg(125×8)+2+=+lg 1000+2+=+3+2+=7. (2)4lg 5+lg 16+2ln-=4lg 5+lg 24+2ln - =4(lg 5+lg 2)+-=4+-=4. (3)(lg 2)3+(lg 5)3+3lg 2×lg 5=(lg 2+lg 5)×[(lg 2)2-lg 2×lg 5+(lg 5)2]+3lg 2×lg 5 =(lg 2)2-lg 2×lg 5+(lg 5)2+3lg 2×lg 5=(lg 2)2+2lg 2×lg 5+(lg 5)2=(lg 2+lg 5)2=12=1. 15.9　[解析] 由b3+log3b=-得b3+3log3b=-,即b3+log3b3=+log3b3=-,则+log3b3+=0.由3a-2+a=得3a-2+a-2=-,即3a-2+a-2+=0.构造函数f(x)=3x+x+,因为f(x)在R上单调递增,所以f(log3b3)=f(a-2)=0,则log3b3=a-2,所以3a-2=b3,所以=32=9. 16.解:(1)∵a2+b2=c2,∴log2+log2=log2= log2=log2=log2=1. (2)由log4=1,得1+=4,即3a-b-c=0.由log8(a+b-c)=,得a+b-c==4. 又a2+b2=c2,且a,b,c∈N*,∴a=6,b=8,c=10. 学科网（北京）股份有限公司 $ §2　对数的运算 2.1　对数的运算性质 一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分) 1.(log312-2log32)=(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.0 B.1 C.2 D.4 2.若a>0,且a≠1,x>0,n∈N*,给出下列各式: ①(logax)n=nlogax; ②(logax)n=logaxn; ③logax=-loga; ④=logax; ⑤=loga. 其中正确的个数为 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 3.如果lg x=lg a+3lg b-5lg c,其中,x>0,a>0,b>0,c>0,那么 (　 ) A.x=a+3b-c B.x= C.x= D.x=a+b3+c3 4.[2024·北京西城区高一期末] 已知3a=4,b=log3,则a+b= (　 ) A.9 B.2 C. D.-2 5.已知lg a,lg b是方程6x2-4x-3=0的两根,则= (　 ) A. B. C. D. 6.若lg 2=m,lg 3=n,则= (　 ) A. B. C. D. 7.[2024·山西太原外国语学校、成成中学高一月考] 常用pH来表示溶液酸碱度,pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.经检测某饮料中氢离子的浓度为1.25×10-3摩尔/升,令lg 2=a,则此饮料的pH是 (　 ) A.2+2a B.3+2a C.2+3a D.3+3a 8.(多选题)若a>0,a≠1,则下列说法错误的是 (　 ) A.若logaM=logaN,则M=N B.若M=N,则logaM=logaN C.若logaM2=logaN2,则M=N D.若M=N,则logaM2=logaN2 9.(多选题)下列等式成立的是 (　 ) A.=1 B.=2 C.lg 14-2lg +lg 7-lg 18=0 D.(lg 2)2+lg 2·lg 5+lg 5=2 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 10.若log72=a,log73=b,则log76=　　　　.(用a,b表示)  11.方程log2x+log2(x-3)=2的解为x=　　　　.  12.若实数m=4log32,则=　　　　.  三、解答题(本大题共2小题,共20分) 13.(10分)用ln x,ln y,ln z表示下列各式: (1)ln ;(2)ln(x2y4z3);(3)ln(×). 14.(10分)计算下列各式的值: (1)log3+lg 125+lg 8++log1251+log77; (2)4lg 5+lg 16+2ln-; (3)(lg 2)3+(lg 5)3+3lg 2×lg 5. 15.(5分)[2024·四川凉山安宁河联盟高一期末] 已知实数a,b满足3a-2+a=,b3+log3b=-,则=　　　　.  16.(15分)已知a,b,c∈N*,且满足a2+b2=c2. (1)求log2+log2的值; (2)若log4=1,log8(a+b-c)=,求a,b,c的值. 学科网（北京）股份有限公司 $