第2章 §3 函数的单调性和最值 第2课时 函数的单调性和最值的应用(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

本讲义聚焦高中数学函数单调性和最值的应用，系统梳理定义法（取值、作差变形、判号、定论）及运算性质等判断方法，衔接复合函数单调性证明，关联单调性与最值的关系，构建从基础判断到应用（证明、求最值、比较大小、解不等式）的学习支架。 资料通过例1及变式强化定义证明步骤，培养推理能力（数学思维），结合恒等变形方法（因式分解、通分等）引导抽象问题转化（数学眼光），应用实例如比较大小、解不等式提升数学语言表达。课中助力教师分层教学，课后学生可借例题变式回顾强化，弥补知识盲点。

第2课时　函数的单调性和最值的应用 【学习目标】 1.理解函数单调性的实质,会用函数单调性解决相关问题. 2.理解复合函数的单调性,并会证明和判断. 3.熟悉单调性在研究函数问题中的应用. ◆ 知识点一　判断函数单调性的方法 1.用定义法判断并证明 (1)取值,即设x1,x2是所给区间内的　　　　两个值,且x1<x2.  (2)作差变形,即作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),并通过因式分解、配方、通分、有理化等方法使其转化为易于判断正负的式子. (3)判号,即确定f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号,当符号不确定时,要进行　　　　.  (4)定论,即根据定义得出结论. 2.用函数单调性的运算性质判断 设C为常数. (1)函数y=f(x)与函数y=f(x)+C的单调性相同. (2)当C>0时,函数y=f(x)与函数y=Cf(x)的单调性相同;当C<0时,函数y=f(x)与函数y=Cf(x)的单调性相反. (3)当f(x)恒为正值或恒为负值时,函数y=f(x)与函数y=的单调性相反. (4)在f(x),g(x)的公共单调区间上,有如下结论: y=f(x) y=g(x) y=f(x)+g(x) y=f(x)-g(x) 单调递增 单调递增 单调递增 不能确定单调性 单调递增 单调递减 不能确定单调性 单调递增 单调递减 单调递减 单调递减 不能确定单调性 单调递减 单调递增 不能确定单调性 单调递减 ◆ 知识点二　函数最值与单调性的联系 (1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f(x)在区间[a,b]上的最大值为　　　　,最小值为　　　　.  (2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则f(x)在区间[a,b]上的最大值为　　　　,最小值为　　　　.  ◆ 探究点一　用定义证明或判定函数的单调性 例1 判断函数f(x)=x-在区间(-1,+∞)上的单调性并用定义证明. 变式 判断函数f(x)=-x3+1在R上的单调性并用定义证明. [素养小结] (1)利用定义证明函数单调性时,要严格按照定义的步骤进行,同时要注意取值的任意性.(2)利用定义证明函数单调性的关键是将f(x2)-f(x1)(或f(x1)-f(x2))进行恒等变形,转化成易于判断其正负的形式.当原函数是多项式函数时,通常作差后进行因式分解.当原函数是分式函数时,作差后往往先进行通分,然后对分子进行因式分解.当原函数是二次函数时,作差后若不能分解因式,则需考虑配方.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化. 拓展 讨论函数f(x)=(a≠0)在区间(-1,1)上的单调性. ◆ 探究点二　利用单调性求函数的最值 例2 已知函数f(x)=. (1)判断函数f(x)在区间(-1,+∞)上的单调性并用定义证明; (2)求f(x)在区间[2,4]上的最大值与最小值. 变式 已知f(x)=. (1)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明; (2)若f(x)在[m,n]上的取值范围为,求n-m的取值范围. [素养小结] 利用单调性求函数的最大(小)值只需先判断函数的单调性,再利用单调性求出最大(小)值即可,但求最值时勿忘先看定义域.对于函数在闭区间上的最值,不能不判断单调性而直接将区间两端点值代入求解. ◆ 探究点三　利用函数单调性比较大小、解不等式 例3 (1)已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且当1<x1<x2时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)>0恒成立.设a=f,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c (2)若函数f(x)在R上是减函数,且f(m-2)>f(-m),则实数m的取值范围是 (　 ) A.(1,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,1) 变式 (1)若函数f(x)在R上为减函数,a>0,则下列不等式一定成立的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.f(a2)<f(a) B.f(a)<f C.f(a)<f(2a) D.f(a2)<f(a-1) (2)已知函数f(x)=-x|x|,则满足f(2+5m)<f(2m2-1)的m的取值范围为 (　 ) A. B. C.∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪ [素养小结] 1.已知函数的单调性比较函数值的大小,只需先比较相应的自变量的大小,再利用单调性得出函数值的大小关系,这当中有时需结合函数的图象先转化再进行比较. 2.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　函数的单调性和最值的应用 【课前预习】 知识点一 1.(1)任意　(3)分类讨论 知识点二 (1)f(b)　f(a)　(2)f(a)　f(b) 【课中探究】 探究点一 例1　解:f(x)=x-在区间(-1,+∞)上单调递增.证明如下:任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=x1--x2+=x1-x2+-=x1-x2+=(x1-x2), 因为x1<x2,所以x1-x2<0, 又x1,x2∈(-1,+∞),所以1+>0, 则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)<0, 即f(x1)<f(x2),故f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增. 变式　解:函数f(x)在R上是减函数.证明如下: 任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=(-+1)-(-+1)=-=(x1-x2)(+x1x2+)=(x1-x2). 因为x1<x2,所以x1-x2<0,又+>0, 所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x1)>f(x2), 所以函数f(x)在R上是减函数. 拓展　解:任取x1,x2,且-1<x1<x2<1, 则f(x1)-f(x2)=-= =. ∵-1<x1<x2<1, ∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(-1)(-1)>0. 当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), ∴函数f(x)在(-1,1)上单调递减; 当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), ∴函数f(x)在(-1,1)上单调递增. 探究点二 例2　解:(1)函数f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增.证明如下:任取x1,x2,且-1<x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-=. 因为-1<x1<x2,所以x1+1>0,x2+1>0,x1-x2<0, 所以f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增. (2)由(1)知f(x)在区间[2,4]上单调递增, 所以当x∈[2,4]时,f(x)max=f(4)==,f(x)min=f(2)==. 变式　解:(1)当x>0时,f(x)==≤(当且仅当x=2时取等号),则函数f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减.证明如下:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-= =. 当0<x1<x2<2时,x1-x2<0,4-x1x2>0, 又+4>0,+4>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以f(x)在(0,2)上单调递增; 当2<x1<x2时,x1-x2<0,4-x1x2<0, 又+4>0,+4>0, 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以f(x)在(2,+∞)上单调递减. (2)因为f(x)在[m,n]上的取值范围为, 所以由(1)知0<m≤2≤n(m≠n), 令=,即x2-5x+4=0,解得x=1或x=4. 当m=1时,2≤n≤4,则有n-m∈[1,3], 当n=4时,1≤m≤2,则有n-m∈[2,3], 综上所述,n-m的取值范围为[1,3]. 探究点三 例3　(1)A　(2)D　[解析] (1)因为当1<x1<x2时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0恒成立,所以f(x)在(1,+∞)上单调递增.又f(x)的图象关于直线x=1对称,所以a=f=f,又1<2<<3,所以f(2)<f<f(3),即b<a<c.故选A. (2)由函数f(x)在R上是减函数,f(m-2)>f(-m),得m-2<-m,解得m<1,所以实数m的取值范围是(-∞,1).故选D. 变式　(1)D　(2)A　[解析] (1)对于A,a2-a=a(a-1),当a>1时,a2>a,所以f(a2)<f(a),当0<a≤1时,a2≤a,所以f(a2)≥f(a),即A不一定成立;对于B,当a>1时,a>,所以f(a)<f,当0<a≤1时,a≤,所以f(a)≥f,即B不一定成立;对于C,因为a>0,所以2a>a,则f(a)>f(2a),即C一定不成立;对于D,a2-(a-1)=a2-a+1=+>0,则a2>a-1,所以f(a2)<f(a-1),即D一定成立.故选D. (2)函数f(x)=-x|x|=根据二次函数的性质,可得f(x)在(-∞,0),[0,+∞)上均单调递减,又f(x)的定义域为R,当x=0时,-x2=x2,所以函数f(x)在R上为减函数.由f(2+5m)<f(2m2-1),可得2+5m>2m2-1,即(2m+1)(m-3)<0,解得-<m<3,即实数m的取值范围为.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $