第1章 §2 常用逻辑用语 2.1 必要条件与充分条件 第1课时 必要条件与充分条件(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

本高中数学讲义聚焦必要条件与充分条件核心知识点，前承命题真假判断，通过“若p则q”为真命题引入概念，明确必要条件（q是p的必要条件）和充分条件（p是q的充分条件）的定义，并以集合关系（子集、超集）作为判断学习支架。 资料设计亮点在于通过诊断分析（正误判断）、探究点（例题与多选题变式）及素养小结构建学习路径，培养学生逻辑推理能力和数学思维。课中助力教师引导学生通过命题推理与集合关系判断条件关系，课后学生可借助变式题和方法总结查漏补缺，强化知识应用。

§2　常用逻辑用语 2.1　必要条件与充分条件 第1课时　必要条件与充分条件 【课前预习】 知识点一 必要 诊断分析 (1)×　(2)×　[解析] (1)“x∈B”是“x∈A”的必要条件,故(1)错误. (2)“x>3”是“x>5”的必要条件,故(2)错误. 知识点二 充分　必要　充分 诊断分析 1.(1)×　(2)√　[解析] (1)“两个三角形的面积相等”不能推出“两个三角形全等”,故(1)错误. (2)符合充分条件、必要条件的定义,故(2)正确. 2.解:是.因为p⇒q,q⇒r,所以p⇒r,所以p是r的充分条件. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)因为当x>1时,x2>1,所以p⇒q,即q是p的必要条件;当x2>1时,x>1或x<-1,所以q⇒/ p,即p不是q的必要条件. (2)因为当四边形的对角线相等时,四边形不一定是矩形,即p⇒/ q,所以q不是p的必要条件;当四边形是矩形时,四边形的对角线相等,即q⇒p,所以p是q的必要条件. (3)因为当两个三角形相似时,两个三角形的对应角相等,即p⇒q,所以q是p的必要条件;当两个三角形的对应角相等时,两个三角形相似,即q⇒p,所以p是q的必要条件. 变式　BCD　[解析] 对于A,x+y是偶数,不能保证x,y均是偶数,x,y也有可能都是奇数,故A不符合题意;对于B,若方程x2-2x+a=0有实根,则需满足Δ=4-4a≥0,即a≤1,可推出a<2,故B符合题意;对于C,若四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直,故C符合题意;对于D,若a=0,则ab=0,故D符合题意.故选BCD. 探究点二 例2　解:(1)若a∈A∩B,则a∈A且a∈B,可以推出a∈A∪B,反之不一定成立,即p⇒q,q⇒/ p,所以p是q的充分条件,q不是p的充分条件 . (2)x>5或x<-5推不出x<-5,反之成立,即p⇒/ q,q⇒p,所以p不是q的充分条件,q是p的充分条件. (3)根据相似三角形的判定定理,可得p⇒q,所以p是q的充分条件.由相似三角形的性质可得q⇒p,所以q是p的充分条件. (4)由x2=1,得x=1或x=-1,推不出x=1,所以p不是q的充分条件.由x=1可以推出x2=1,所以q是p的充分条件. (5)由等式的性质知, p⇒q,所以p是q的充分条件;当c=0时,a与b不一定相等,q⇒/ p,故q不是p的充分条件. 变式　ABC　[解析] 对于A,由x>可推出x>1,所以“x>”是“x>1”的充分条件,A正确.对于B,由m=0可推出mn=0,所以“m=0”是“mn=0”的充分条件,B正确.对于C,由x2≠0可推出x≠0,所以“x2≠0”是“x≠0”的充分条件,C正确.对于D,当x=2,y=-2时,满足x>y,但是x2=y2,所以“x>y”不是“x2>y2”的充分条件,D错误.故选ABC. 探究点三 例3　解:(1)全集U=R,集合A={x|1≤x≤5},非空集合B={x|2-a≤x≤1+2a}, 因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A⊆B, 所以即解得a≥2, 所以实数a的取值范围是[2,+∞). (2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件,所以B⊆A, 所以即解得≤a≤1, 所以实数a的取值范围是. 变式　C　[解析] 因为p:x<1,q:x<a,p是q的充分条件,所以{x|x<1}⊆{x|x<a},故a≥1.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $ §2　常用逻辑用语 2.1　必要条件与充分条件 第1课时　必要条件与充分条件 【学习目标】 1.理解必要条件、充分条件的概念. 2.能够判断命题之间的充分、必要关系. 3.通过对必要条件、充分条件的概念的理解和运用,培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力. ◆ 知识点一　必要条件与性质定理 一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称q是p的 　　　条件.也就是说,一旦q不成立,p一定也不成立,即q对于p的成立是必要的.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若A={中学生},B={学生},则“x∈A”是“x∈B”的必要条件. (　 ) (2)“x>5”是“x>3”的必要条件. (　 ) ◆ 知识点二　充分条件与判定定理 一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称p是q的　　　　条件.  对于真命题“若p,则q”,即p⇒q时,称q是p的　　　　条件,也称p是q的　　　　条件.  【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)“两个三角形的面积相等”是“两个三角形全等”的充分条件. (　 ) (2)若p是q的必要条件,则q是p的充分条件. (　 ) 2.如果p是q的充分条件,q是r的充分条件,那么p是r的充分条件吗? ◆ 探究点一　必要条件的判定 例1 下列所给的各组p, q中,判断p是否为q的必要条件,q是否为p的必要条件. (1)p:x>1,q:x2>1; (2)p:四边形的对角线相等,q:四边形是矩形; (3)p:两个三角形相似,q:两个三角形的对应角相等. 变式 (多选题)[2024·四川绵阳中学月考] 下列命题中,p是q的必要条件的有 (　 ) A.p:x,y是偶数, q:x+y是偶数 B.p:a<2,q:方程x2-2x+a=0有实根 C.p:四边形的对角线互相垂直,q:四边形是菱形 D.p:ab=0,q:a=0 [素养小结] (1)判断q是否为p的必要条件时,主要判断“若p成立,能否推出q成立”,若p⇒q,则q是p的必要条件;判断p是否为q的必要条件时,主要判断“若q成立,能否推出p成立”,若q⇒p,则p是q的必要条件. (2)也可利用集合的关系判断,已知甲:x∈A,乙:x∈B,若A⊇B,则甲是乙的必要条件. ◆ 探究点二　 充分条件的判定 例2 下列所给的各组p, q中,判断p是否为q的充分条件,q是否为p的充分条件. (1)p:a∈A∩B,q:a∈A∪B; (2)p:x>5或x<-5;q:x<-5; (3)p:两个三角形的三边成比例,q:两个三角形相似; (4)p:x2=1,q:x=1; (5)p:a=b,q:ac=bc. 变式 (多选题)[2024·四川绵阳高一期中] 下列选项中满足p是q的充分条件的是 (　 ) A.p:x>,q:x>1 B.p:m=0,q:mn=0 C.p:x2≠0,q:x≠0 D.p:x>y,q:x2>y2 [素养小结] (1)判断p是q的充分条件时,主要判断“若p成立,能否推出q成立”,若p⇒q,则p是q的充分条件. (2)也可利用集合的关系判断,已知甲:x∈A,乙:x∈B,若A⊆B,则甲是乙的充分条件. ◆ 探究点三　由必要条件、充分条件求参数的范围 例3 [2024·江苏宿迁青华中学高一月考] 设全集U=R,集合A={x|1≤x≤5},非空集合B={x|2-a≤x≤1+2a}. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数a的取值范围; (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求实数a的取值范围. 变式 设p:x<1,q:x<a,若p是q的充分条件,则实数a的取值范围为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.a>1 B.a<1 C.a≥1 D.a≤1 [素养小结] 利用必要条件或充分条件求参数的值或取值范围,关键是将已知条件转化为集合间的包含关系,再通过解不等式(组)来求解.但要注意集合为空集的情况,还要注意等号的取舍. 学科网（北京）股份有限公司 $