第2章 §4 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1 函数的奇偶性 第2课时 函数性质的应用(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数奇偶性与单调性等性质应用，通过课前预习梳理奇偶性与单调性的关系，课中设置求解析式、解不等式、比较大小、图象对称性四个探究点，构建从基础回顾到综合应用的学习支架。 其亮点在于以例题变式结合素养小结，如利用奇偶性求解析式的“求谁设谁”方法培养数学思维，通过单调性与奇偶性解不等式强化逻辑推理，帮助学生提升用数学语言表达规律的能力，也为教师提供结构化探究式教学资源，提高教学效率。

§4 函数的奇偶性与简单的幂函数 1 第2课时 函数性质的应用 4.1 函数的奇偶性 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 利用函数的奇偶性求函数的解析式 探究点二 利用函数的单调性、奇偶性解不等式 探究点三 利用函数的单调性、奇偶性比较大小 探究点四 函数图象的对称性的判断 3 【学习目标】 掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数 的基本性质解决一些问题. 4 知识点 函数的奇偶性、单调性 （1）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称 的区间上有相反的单调性. （2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值；奇函数在关于原 点对称的区间上的最大（小）值与最小（大）值互为相反数. （3）奇偶性与单调性都是函数的重要性质，单调性是函数的“局部”性质，研究 的是函数值随自变量的变化趋势；而奇偶性是函数的“整体”性质，研究的是函 数图象在整个定义域上的对称性. 课 前 预 习 5 探究点一 利用函数的奇偶性求函数的解析式 例1（1） 已知是定义在上的奇函数，且当时， ， 求函数 的解析式. 解：当时，，所以 . 因为是定义在 上的奇函数，所以，且 ， 所以当时， ，即 . 故函数的解析式为 课 中 探 究 6 （2）已知函数满足为奇函数，函数 为偶函数，求 的解析式. 解： 为奇函数， ， . 为偶函数， ， . 由，得， . 课 中 探 究 7 变式（1） 已知函数为奇函数，函数 为偶函数， ，则 ( ) A A. B. C.1 D.2 [解析] 根据题意，由 ①， 得， 因为为奇函数， 为偶函数，所以，， 所以. 由 得，所以，则 .故选A. 课 中 探 究 8 （2）将例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当 时，函数 的解析式. 解：当时，，所以 . 因为是定义在上的偶函数，所以 ， 所以当时， . 课 中 探 究 9 ［素养小结］ 利用奇偶性求函数解析式的思路：（1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析 式，就设在哪个区间上.（2）利用在已知区间上的解析式，写出 . （3）利用的奇偶性写出或，从而得到 的解析式. 课 中 探 究 10 探究点二 利用函数的单调性、奇偶性解不等式 例2 已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意不相等的实数 , ，不等式 恒成立，求不等式 的解集. 解：因为对于任意不相等的实数, ， 不等式恒成立，所以在 上单调递减， 又函数是定义在上的奇函数，所以在上为减函数. 由 ，得，解得，即不等式的解集为 . 课 中 探 究 11 变式 是定义在上的偶函数，且在 上单调递增，则 的解集为( ) C A. B. C. D. [解析] 因为是定义在上的偶函数，所以，解得 ， 所以的定义域为， 又因为在上单调递增，所以在 上单调递减. 因为，所以 ，所以 解得或， 所以 的解集为 .故选C. 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 利用函数的单调性、奇偶性解不等式，首先应利用已知条件，结合函数的奇偶 性，把已知不等式转化为或 的形式，然后再根据奇 函数在关于原点对称的区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的区间上 的单调性相反，脱掉不等式中的“ ”转化为简单不等式（组）求解. 课 中 探 究 13 探究点三 利用函数的单调性、奇偶性比较大小 例3 是定义在上的偶函数，且在区间 上单调递减，则( ) C A. B. C. D. [解析] 由题意得，对任意,，都有 ， 所以. 又是偶函数，所以 ，所以 ，故选C. 课 中 探 究 14 变式 （多选题）[2024·河南省实验中学高一期中] 已知函数 是定义在 上的奇函数，在上单调，且 ，则下列结论正 确的是( ) BCD A. B. C. D. [解析] 因为函数是定义在上的奇函数，所以 ， ，因为，所以，故A错误； 因为 在上单调，，所以在上单调递增， 所以在 上单调递增，所以，， , 故B,C,D正确.故选 . 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 利用函数的单调性、奇偶性比较大小时，当自变量在同一单调区间上时，直接 利用函数的单调性比较大小；当自变量不在同一单调区间上时，需利用函数的 奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 课 中 探 究 16 探究点四 函数图象的对称性的判断 例4 已知函数，证明：函数的图象关于点 对称. 证明：, , , . 即对任意的 ,都有 成立， 函数的图象关于点 对称. 课 中 探 究 17 变式 （多选题）已知函数的图象关于点 对称的充要条件是函 数 为奇函数，则下列说法正确的是( ) BC A.的图象关于点 对称 B.若，则的图象关于点 对称 C.函数的图象关于直线对称的充要条件是 为偶函数 D.若，则 为偶函数 课 中 探 究 18 [解析] 由题意知，若函数 为奇函数， 则，则 . 对于A，，，，则 ，故A错误； 对于B，由 ，得，设 ，则，所以是奇函数，所以的图象关于点 对称，故B正确； 课 中 探 究 19 对于C，若函数的图象关于直线对称，则 ， 令，则，用替换，则 ， 故是偶函数， 若是偶函数，则 ， 令，则，故函数的图象关于直线 对称， 用替换，则函数的图象关于直线 对称，故C正确； 对于D，因为， ， 所以，所以不是偶函数，故D错误.故选 ． 课 中 探 究 ［素养小结］ （1）要证明函数的图象关于直线对称，只需证明对定义域内的任意 ， 都有 （2）要证明函数的图象关于点对称，只需证明对定义域内的任意 ， 都有 . 课 中 探 究 21 拓展 若定义在上的偶函数的图象关于点对称，且当 时，，则 ( ) D A. B. C. D. [解析] 是偶函数，且其图象关于点对称， ， ，， ， 则. 又当时，， .故选D． 课 中 探 究 22 $