第2章 §3 函数的单调性和最值 第2课时 函数的单调性和最值的应用(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数的单调性和最值，涵盖定义判定、最值求解及应用三大核心内容。课前预习通过定义法和运算性质搭建基础，课中探究以三个递进式探究点为支架，衔接前后知识形成完整学习脉络。 其亮点在于以定义证明的严谨步骤培养数学思维，通过分式、二次函数等实例训练运算能力，素养小结提炼方法助力知识内化。能提升学生逻辑推理与应用意识，为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

§3 函数的单调性和最值 1 第2课时 函数的单调性和最值的应用 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 用定义证明或判定函数的单调性 探究点二 利用单调性求函数的最值 探究点三 利用函数单调性比较大小、解不等式 3 【学习目标】 1.理解函数单调性的实质,会用函数单调性解决相关问题. 2.理解复合函数的单调性,并会证明和判断. 3.熟悉单调性在研究函数问题中的应用. 4 知识点一 判断函数单调性的方法 1.用定义法判断并证明 （1）取值，即设，是所给区间内的______两个值，且 . 任意 （2）作差变形，即作差或 ，并通过因式分解、配 方、通分、有理化等方法使其转化为易于判断正负的式子. （3）判号，即确定或 的符号，当符号不确 定时，要进行__________. 分类讨论 （4）定论，即根据定义得出结论. 课 前 预 习 5 2.用函数单调性的运算性质判断 设 为常数. （1）函数与函数 的单调性相同. （2）当时，函数与函数的单调性相同；当 时， 函数与函数 的单调性相反. （3）当恒为正值或恒为负值时，函数与函数 的单调性相 反. 课 前 预 习 6 （4）在, 的公共单调区间上，有如下结论： 单调递增 单调递增 单调递增 不能确定单调性 单调递增 单调递减 不能确定单调性 单调递增 单调递减 单调递减 单调递减 不能确定单调性 单调递减 单调递增 不能确定单调性 单调递减 课 前 预 习 7 知识点二 函数最值与单调性的联系 （1）若函数在区间上单调递增，则在区间 上的最 大值为_____，最小值为_____. （2）若函数在区间上单调递减，则在区间 上的最 大值为_____，最小值为_____. 课 前 预 习 8 探究点一 用定义证明或判定函数的单调性 例1 判断函数在区间 上的单调性并用定义证明. 解：在区间上单调递增. 证明如下：任取 , ，且 ， 则 ， 因为，所以 ，又,，所以 ， 则 ， 即，故在区间 上单调递增. 课 中 探 究 9 变式 判断函数在 上的单调性并用定义证明. 解：函数在 上是减函数. 证明如下：任取,,且 ,则= . 因为,所以,又 , 所以,即 , 所以函数在 上是减函数. 课 中 探 究 10 ［素养小结］ （1）利用定义证明函数单调性时,要严格按照定义的步骤进行,同时要注意取值 的任意性.（2）利用定义证明函数单调性的关键是将 或 进行恒等变形,转化成易于判断其正负的形式.当原函数是多项式函数时，通常作差后进行因式分解.当原函数是分式函数时，作差后往往先进行通分，然后对分子进行因式分解.当原函数是二次函数时，作差后若不能分解因式，则需考虑配方.当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化. 课 中 探 究 11 拓展 讨论函数在区间 上的单调性. 解：任取,,且 , 则 . , ,, . 当时,,即 , 函数在 上单调递减; 当时,,即 , 函数在 上单调递增. 课 中 探 究 12 探究点二 利用单调性求函数的最值 例2 已知函数 . （1）判断函数在区间 上的单调性并用定义证明； 解：函数在区间上单调递增. 证明如下：任取,,且 ， 则 . 因为，所以，， ， 所以，所以函数在区间 上单调递增. 课 中 探 究 13 （2）求在区间 上的最大值与最小值. 解：由（1）知在区间 上单调递增, 所以当时，, . 课 中 探 究 14 变式 已知 . （1）判断在 上的单调性并用定义证明； 解:当时，（当且仅当时取等号），则函数 在上单调递增，在上单调递减. 证明如下：任取, ，且，则 . 当时，， ， 又， ， 课 中 探 究 15 所以，即 ， 所以在 上单调递增； 当时，， ， 又， ， 所以，即 ， 所以在 上单调递减. 课 中 探 究 16 （2）若在上的取值范围为，求 的取值范围. 解:因为在上的取值范围为 ， 所以由（1）知 ， 令，即，解得或 . 当时，，则有 ， 当时，，则有 ， 综上所述，的取值范围为 . 课 中 探 究 17 ［素养小结］ 利用单调性求函数的最大（小）值只需先判断函数的单调性，再利用单调性求 出最大（小）值即可，但求最值时勿忘先看定义域.对于函数在闭区间上的最值， 不能不判断单调性而直接将区间两端点值代入求解. 课 中 探 究 18 探究点三 利用函数单调性比较大小、解不等式 例3（1） 已知函数的图象关于直线对称，且当 时， 恒成立.设，， ，则 ，， 的大小关系为( ) A A. B. C. D. [解析] 因为当时，恒成立，所以 在上单调递增.又的图象关于直线 对称，所以 ，又,所以，即 . 故选A. 课 中 探 究 19 （2）若函数在上是减函数，且，则实数 的取值范围 是( ) D A. B. C. D. [解析] 由函数在上是减函数，，得 ， 解得，所以实数的取值范围是 .故选D. 课 中 探 究 20 变式（1） 若函数在上为减函数， ，则下列不等式一定成立的是 ( ) D A. B. C. D. 课 中 探 究 21 [解析] 对于A，，当时，，所以 ， 当时，，所以 ，即A不一定成立； 对于B，当时，，所以， 当时，，所以 ，即B不一定成立； 对于C，因为，所以，则 ，即C一定不成立； 对于D，，则 ， 所以 ，即D一定成立.故选D. 课 中 探 究 22 （2）已知函数，则满足的 的取值范围 为( ) A A. B. C. D. [解析] 函数根据二次函数的性质，可得 在 ，上均单调递减， 又的定义域为，当时， , 所以函数在上为减函数. 由 ，可得，即， 解得，即实数 的取值范围为 .故选A. 课 中 探 究 23 ［素养小结］ 1.已知函数的单调性比较函数值的大小，只需先比较相应的自变量的大小，再 利用单调性得出函数值的大小关系，这当中有时需结合函数的图象先转化再进 行比较. 2.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“ ”脱掉，使 其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. 课 中 探 究 24 $