第2章 §1 生活中的变量关系(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（北师大版）

该高中数学课件围绕生活中的变量关系，核心讲解依赖关系与函数关系的概念及区别。通过课前预习诊断分析（如圆的周长与半径等实例），衔接初中函数知识，课中探究结合自由落体、销售额与广告费等生活情境，搭建从生活实例到数学概念的学习支架。 其亮点在于以“龟兔赛跑”图象分析、列车行驶距离分段函数等实例，落实“会用数学的眼光观察现实世界”“会用数学的语言表达现实世界”等核心素养。采用课前诊断-课中探究-素养小结的结构化教学，帮助学生提升抽象能力与应用意识，也为教师提供清晰的教学脉络和探究式教学资源。

§1 生活中的变量关系 1 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 变量间的关系 探究点二 变量关系的应用 2 【学习目标】 1.通过生活中的实际例子，认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系. 能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系与函数关系的联系与区别. 2.培养类比分析问题的能力，并通过对现实生活中依赖关系的观察、分析 归纳和比较来提高实践能力. 3 知识点一 依赖关系与函数关系 1.依赖关系 在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量 的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系. 2.函数关系 如果在一个变化过程中，有两个变量和，对于变量的__________，变量 都 有__________的值和它对应，那么就是的______，其中是________， 是 ________. 注意：函数关系一定是依赖关系，而依赖关系不一定是函数关系，要确定两变 量间的函数关系，关键是分清楚谁是自变量，谁是因变量. 每一个值 唯一确定 函数 自变量 因变量 课 前 预 习 4 【诊断分析】 下列两个变量之间存在依赖关系的是________，其中是函数关系的是____. ①圆的周长和它的半径； ②某同学的数学成绩与他在数学学科上所花的时间； ③家庭收入与消费支出. ①②③ ① 课 前 预 习 5 知识点二 分段函数 有些函数在其定义域中，对于自变量 的不同__________，有着不同的________ __，这样的函数叫作分段函数. 取值范围 对应关系 课 前 预 习 6 【诊断分析】 分段函数中的取值集合分别是各段函数中的取值集合的______， 的取值集合 分别是各段函数中 的取值集合的______. 并集 并集 课 前 预 习 7 探究点一 变量间的关系 例1（1） （多选题）若变量是变量 的函数,则( ) AC A.变量, 之间具有依赖关系 B.变量是变量 的函数 C.当每取一个值时,变量 都有唯一的值与之对应 D.当每取一个值时,变量 都有唯一的值与之对应 [解析] 因为变量是变量的函数,所以变量,之间具有依赖关系，且当 每取一 个值时,变量都有唯一的值与之对应，故选 . 课 中 探 究 8 （2）下列变量间的关系是函数关系的是( ) C A.某种农作物单位种植面积的施肥量与产量 B.某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系 C.正方形的面积与其边长 之间的关系 D.光照时间和苹果的亩产量 [解析] A是依赖关系，B是依赖关系，C是函数关系，D是依赖关系.故选C. 课 中 探 究 9 变式 下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？ （1）做自由落体运动的物体下落的距离与时间的关系； 解：科学家通过实验发现，做自由落体运动的物体下落的距离与时间 的关系 为，其中是常量，很显然，对于时间 在其变化范围内的每一个取值， 都有唯一的下落距离 与之对应，故这两个变量之间存在依赖关系，且下落距离 是时间的函数. （2）商品的销售额与广告费之间的关系； 解：商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的 销售额还受其他因素的影响，如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的 销售额与广告费之间不是函数关系. 课 中 探 究 10 （3）家庭的食品支出与电视机价格之间的关系. 解：家庭的食品支出与电视机价格之间不存在依赖关系. 课 中 探 究 11 ［素养小结］ 依赖关系与函数关系的判断方法与步骤：对于两个变量，首先判断一个变量的 改变是否影响另一个变量，若是，则两个变量具有依赖关系；若不是，则两个 变量不具有依赖关系.当两个变量具有依赖关系时，再判断一个变量的确定是否 决定另一个变量的确定，若是，则两个变量是函数关系；若不是，则两个变量 是非函数关系. 课 中 探 究 12 探究点二 变量关系的应用 例2 大家都听说过“龟兔赛跑”的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲 起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已 晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程， 为时 间，则下列图象中与故事情节相吻合的是( ) D A. B. C. D. 课 中 探 究 13 [解析] 对于A，此函数图象中， 先取到最大值，即兔子先到达终点，不符合 题意. 对于B，此函数图象中， 第2段随时间的增加一直保持不变， 与“当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶”不符. 对于C，此函数图象中， ， 同时到达终点，不符合题意. 对于D，易知符合题意.故选D. 课 中 探 究 14 变式 （多选题）一辆赛车在一个周长为 的封闭跑道上行驶，跑道由几段 直道和弯道组成，图①反应了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路 程之间的关系. 根据图①，以下说法中正确的是( ) 课 中 探 究 15 A.在这第二圈的到 之间，赛车速度逐渐增加 B.在整个跑道，最长的直线路程不超过 C.大约在这第二圈的到 之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶 D.在图②的四条曲线（注：为初始记录数据时的位置）中，曲线 最能符合赛 车的运动轨迹 [解析] 由题图①知，在到 之间，图象上升，故在这第二圈的 到 之间，赛车速度逐渐增加，故A正确； 在整个跑道上，高速行驶时长最长在到 之间，但直道加减速也有 过程，故最长的直线路程一定超过，故B不正确； 最长直线路程应在到 之间开始，故C不正确； 由图①可知，跑道应有3个弯道，且直线路段两长一短，故D正确.故选 . √ √ 课 中 探 究 16 ［素养小结］ 利用图象表示两个变量间的关系更加直观，更能反映两个变量相互影响的变化 趋势.解题时要注意关注图象的上升、下降，增加、减小的速度快慢等特征.还要 注意利用图象中的数据. 课 中 探 究 17 拓展 列车从地出发直达外的地，途中要经过离地的 地.假 设列车匀速行驶，后从地到达 地. （1）求列车的行驶速度，并建立列车与地的距离（单位：）关于时间 （单位： ）的函数关系； 解：列车的行驶速度为 . 由题意知 课 中 探 究 18 （2）在平面直角坐标系中画出函数的图象. 解：图象如图所示. 课 中 探 究 19 $