第1章 §2 常用逻辑用语 2.1 必要条件与充分条件 第2课时 充要条件(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦充要条件，系统梳理定义、四种条件类型及判定方法，通过课前预习（知识点梳理、诊断分析）搭建基础，课中探究分判定、求参数、证明三层次逐步深入，形成从概念到应用的学习支架。 其亮点在于结合具体实例（如集合关系判定、方程根问题证明），通过素养小结提炼判定方法与证明步骤，培养学生的数学思维（推理能力）和数学语言（逻辑表达）。学生能提升逻辑判断与问题解决能力，教师可借助结构化资源实施分层教学。

§2 常用逻辑用语 1 第2课时 充要条件 2.1 必要条件与充分条件 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 充要条件的判定 探究点二 根据充要条件求参数 探究点三 充要条件的证明 3 【学习目标】 1.理解充要条件的定义，掌握充分、必要条件的四种类型. 2.会判断条件和结论的关系. 3.通过判断与 的关系引导充要条件的定义，由诱导探究的方法归纳出判 断“是 的什么条件”的步骤及方法（定义法、集合法、传递法）. 4 知识点 充要条件 1.一般地,如果,且,那么称是的充分且必要条件,简称是 的______ _____,记作____ . 是的充要条件也常常说成“成立当且仅当成立”，或“与 等价”. 当是的充要条件时,也是 的充要条件. 充要条件 2.如果,，则称是 的充分不必要条件； 如果,，则称是 的必要不充分条件； 如果,，则称是 的既不充分也不必要条件. 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）“”是“ ”的充要条件.( ) √ [解析] 若成立,则成立;若成立,则 成 立.故（1）正确. （2）若“不能推出”和“不能推出”有一个成立，则一定不是 的充要条件. ( ) √ [解析] 当且时,才是 的充要条件,故（2）正确. 课 前 预 习 6 探究点一 充要条件的判定 例1（1） 设，是两个集合，则“”是“ ”的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 由可得，由可得， 所以“ ”是“ ”的充要条件.故选C. 课 中 探 究 7 （2）（多选题）[2024·广东东莞东华高级中学月考] 下列四个选项中，是 的 充要条件的有( ) AB A.三角形是等腰三角形， 三角形存在两角相等 B.两个三角形全等， 两个三角形的三边分别相等 C.,, D.四边形是正方形， 四边形的对角线互相垂直且平分 课 中 探 究 8 [解析] 若三角形是等腰三角形，则该三角形的两底角相等；反之，当三角形中 有两角相等时，这两角所对的边相等，即该三角形为等腰三角形，所以“三角形是 等腰三角形”是“三角形存在两角相等”的充要条件，故A正确. 若两个三角形全等，则两个三角形的三边分别相等；反之，若两个三角形的三边 分别相等，则这两个三角形全等.所以“两个三角形全等”是“两个三角形的三边分 别相等”的充要条件，故B正确. 当时，可能,或者,，故“ ”不是“, ”的 充要条件，故C错误. 正方形的对角线互相垂直且平分，但是对角线互相垂直且平分的四边形可以是 任意的菱形，不一定是正方形，故“四边形是正方形”不是“四边形的对角线互相 垂直且平分”的充要条件，故D错误.故选 . 课 中 探 究 9 ［素养小结］ 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 （1）定义法：直接判断“若,则”以及“若,则 ”的真假. （2）集合法：即利用集合之间的包含关系判断. （3）传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由 ,可得 ;充要条件也有传递性. 课 中 探 究 10 探究点二 根据充要条件求参数 例2 求“关于的方程 有两个不同的正根”的充要 条件.（附：由，得或 ） 解：设，是方程 的两个根， 由已知可得解得或 ， 即所求充要条件为“,或 ”. 课 中 探 究 11 变式 [2024·河北邢台翰林中学高一月考] 若集合, ，集合 ，则“ ”的充要条件是 ________. [解析] 因为，所以，又，所以，解得 . 经验证符合题意，则所求充要条件是“ ”. 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 是的充要条件意味着“成立则成立；不成立则 不成立”.已知两个条件为充 要条件求参数的值，通常转化为两个集合相等列方程（组）来求解. 课 中 探 究 13 探究点三 充要条件的证明 例3 求证：“关于的方程 有一个根为1”的充要条件是“ ”. 证明：若关于的方程 有一个根为1， 则满足方程 ，，即 . 若，则，代入方程 中， 可得，即 ， 因此，方程有一个根为1. 故 “关于的方程有一个根为1”的充要条件是“ ”. 课 中 探 究 14 变式 在中，，， ， 求证：“”的充要条件是“ ”. 证明：必要性：若，则，得 . 充分性： ， 若 成立，则成立. 在中， ，，， . 综上可知，“”的充要条件是“ ”. 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，谁是谁的什么条 件.证明充要条件要分两个环节：一是证明充分性成立；二是证明必要性成立. 课 中 探 究 16 $