3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第3课时 零点的存在性及其近似值的求法(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 聚焦零点存在性及二分法，分层设计从概念理解到实际建模，梯度合理，强化数学推理与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|零点存在判定、二分法概念|选用山东、宁夏等地期中真题，如第1题直接考查二分法区间选取，强化基础应用| |方法应用|二分法步骤、近似值计算|结合函数图象（第2题）和数据表格（第6题），训练运算能力，如第8题分步引导区间缩小| |综合提升|零点证明、实际问题建模|设置13-16分解答题，如第16题正方形铁皮折盒问题，培养模型意识与创新思维|

第3课时　零点的存在性及其近似值的求法 1.[2025·山东德州高一期中] 用二分法研究函数f(x)=x3-2x+2的零点时,通过计算得f(-1)>0,f(-2)<0,则下一步应计算f(x1),则x1= (　 ) A.0 B.- C.- D.- 2.已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数及可以用二分法求近似解的零点的个数分别为 (　 ) A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3 3.[2025·宁夏银川高一期中] 用二分法求函数y=f(x)在区间[2,4]上零点的近似值时,经验证有f(2)·f(4)<0,取区间的中点x1==3,计算得f(2)·f(x1)<0,则此时零点x0满足 (　 ) A.x0=x1 B.x0>x1 C.2<x0<3 D.x0<2 4.[2026·云南楚雄高一期中] 在下列区间中,函数f(x)=x3+x-3存在零点的区间是 (　 ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 5.实数a,b,c是图象连续不断的函数f(x)定义域中的三个数,且满足a<b<c,f(a)·f(b)<0,f(b)·f(c)<0,则函数f(x)在区间(a,c)上的零点有 (　 ) A.2个 B.奇数个 C.1个 D.至少2个 6.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表: f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260 f(1.437 5)=0.162 f(1.406 25)=-0.054 那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.025)为 (　 ) A.1.25 B.1.40 625 C.1.437 5 D.1.421 875 7.(多选题)用二分法求方程f(x)=0的近似解时,第一次所取的区间是(-2,4),则第三次所取的区间可能是 (　 ) A.(1,4) B. C. D. 8.用二分法研究函数f(x)=x2+3x-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈　　　　,第二次应计算　　　　.  9.已知函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是　　　　.  10.(13分)证明:函数y=5x2-7x-1的一个零点在区间(-1,0)内,另一个零点在区间(1,2)内. 11.函数f(x)=x3-x2+5,x∈[-2,-1]有零点,用二分法求零点的近似值(精确度小于0.1)时,至少需要计算区间中点的次数为 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 12.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一异号零点同在(0,4),(0,2),内,则与f(0)符号不同的是 (　 ) A.f(4) B.f(2) C.f(1) D.f 13.用二分法求方程x2-8=0的近似解为　　　　　.(精确度为0.01)  14.(15分)已知函数f(x)=x3-x2+1. (1)证明:方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解; (2)请使用二分法,取区间[0,2]的中点两次,指出方程f(x)=0,x∈[0,2]的实数解x0在哪个较小的区间内. 15.若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点-1,1,x0,且x0∈(2,3),则实数c的取值范围是　　　　.  16.(15分)如图,有一块边长为30 cm的正方形铁皮,将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形,然后折成一个无盖的盒子,如果要做成一个容积是1200 cm3的无盖盒子,那么截去的小正方形的边长是多少厘米(精确度为0.1)?请利用二分法思想,设计解决该问题的思路和过程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3课时　零点的存在性及其近似值的求法 1.C　[解析] 因为f(-1)>0,f(-2)<0,且函数f(x)=x3-2x+2的图象连续不断,所以函数f(x)=x3-2x+2在区间(-2,-1)内有零点,所以下一步应计算f(x1),x1==-.故选C. 2.D　[解析] 由图象知函数f(x)的图象与x轴有4个交点,因此零点的个数为4.从左往右数第4个与x轴的交点两侧不满足函数值异号,因此不能用二分法求零点近似解,而其余3个均可使用二分法求零点近似解. 3.C　[解析] 根据题意,f(2)·f(4)<0,根据零点存在定理,得函数y=f(x)在(2,4)上存在零点,取区间的中点x1==3,且f(2)·f(x1)<0,即f(2)·f(3)<0,所以x0∈(2,3).故选C. 4.B　[解析] 因为y=x3,y=x均为R上的增函数,所以f(x)=x3+x-3为R上的增函数,又f(1)=13+1-3=-1<0,f(2)=23+2-3=7>0,所以f(x)在区间(1,2)上存在零点.故选B. 5.D　[解析] 因为f(a)·f(b)<0,所以f(x)在(a,b)上至少存在1个零点,又f(b)·f(c)<0,所以f(x)在(b,c)上至少存在1个零点,所以f(x)在(a,c)上至少存在2个零点.故选D. 6.D　[解析] ∵f(1.406 25)=-0.054<0<f(1.437 5)=0.162,∴f(1.406 25)·f(1.437 5)<0,则零点在区间(1.406 25,1.437 5)内,即该方程的根在区间(1.406 25,1.437 5)内,又1.437 5-1.406 25=0.031 25<0.05,∴方程的近似解为=1.421 875.故选D. 7.BD　[解析] ∵第一次所取的区间是(-2,4),∴第二次所取的区间可能为(-2,1),(1,4),∴第三次所取的区间可能为,,,.故选BD. 8.(0,0.5)　f(0.25)　[解析] 由零点存在定理可知,x0∈(0,0.5),取该区间的中点=0.25,所以第二次应计算f(0.25). 9.a2=4b　[解析] ∵函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,∴函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴相切,∴Δ=a2-4b=0,∴a2=4b. 10.证明:设f(x)=5x2-7x-1,因为f(-1)=5+7-1=11>0,f(0)=-1<0,所以函数f(x)在(-1,0)内有零点, 又f(1)=5-7-1=-3<0,f(2)=20-14-1=5>0,所以函数f(x)在(1,2)内有零点,又函数y=5x2-7x-1最多有两个零点,所以函数y=5x2-7x-1的一个零点在区间(-1,0)内,另一个零点在区间(1,2)内. 11.C　[解析] f(-2)=-8-4+5=-7<0,f(-1)=-1-1+5=3>0,|-2-(-1)|=1>0.2,取区间(-2,-1)的中点x1==-, 因为f=--+5=-<0,所以零点在区间上.=>0.2,取区间的中点x2==-,因为f=-+5>0,所以零点在区间上.=>0.2,取区间的中点x3==-,因为f=-+5>0,所以零点在区间上.因为=<0.2,所以区间的中点x4==-,即为零点的近似值,即函数f(x)的零点x0≈-,所以至少需进行4次区间中点的计算.故选C. 12.ABD　[解析] 因为函数f(x)的唯一异号零点同在(0,4),(0,2),内,所以函数f(x)的零点在(1,2)内,所以f(0)·f(4)<0,f(0)·f(2)<0,f(1)·f(2)<0,f(1)·f<0,所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),f.故选ABD. 13.±2.835 937 5　[解析] 令f(x)=x2-8.因为f(x)为偶函数,所以只要求出一个正实数解即可.因为f(2)=-4<0,f(3)=1>0,所以方程x2-8=0在(2,3)内有解,所以取区间(2,3)为初始区间,用二分法逐步计算,列表如下: 零点所 在区间 区间中点 中点对应的函数值 取中点作为近似值 时误差小于的值 (2,3) 2.5 -1.75 0.5 (2.5,3) 2.75 -0.437 5 0.25 (2.75,3) 2.875 0.265 625 0.125 (2.75,2.875) 2.812 5 -0.089 844 0.062 5 (2.812 5,2.875) 2.843 75 0.086 914 0.031 25 (2.812 5,2.84 375) 2.828 125 -0.001 709 0.015 625 因为|2.828 125-2.843 75|<0.02,所以=2.835 937 5为方程的一个近似解,则方程的近似解为±2.835 937 5. 14.解:(1)证明:∵f(0)=1>0,f(2)=-<0, ∴f(0)·f(2)=-<0,又函数f(x)=x3-x2+1的图象是连续不断的,∴由函数的零点存在定理可得方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解. (2)取x1=×(0+2)=1,得f(1)=>0,由此可得f(1)·f(2)=-<0,则下一个有解区间为(1,2). 再取x2=×(1+2)=,得f=-<0,由f(1)·f=-<0,得下一个有解区间为. 综上所述,所求的实数解x0在区间内. 15.(2,3)　[解析] 因为-1,1是函数的零点,所以所以所以f(x)=x3-cx2-x+c.令f(x)=0,即x3-cx2-x+c=0,即(x-c)(x2-1)=0,又因为x0是函数f(x)的零点,所以x0=c,因为x0∈(2,3),所以2<c<3.因此,实数c的取值范围为(2,3). 16.解:由题意,盒子的底面正方形的边长为(30-2x)cm, 所以盒子的体积y关于自变量x的函数解析式为y=(30-2x)2x,其定义域为{x|0<x<15}. 要折成一个容积是1200 cm3的无盖盒子,那么(30-2x)2x=1200,令f(x)=(30-2x)2x-1200,0<x<15, 因为f(1)<0,f(2)>0,f(9)>0,f(10)<0, 所以函数f(x)分别在区间(1,2)和(9,10)内各有一个零点, 即方程(30-2x)2x=1200分别在区间(1,2)和(9,10)内各有一个解.利用二分法求方程的近似解. 取区间(1,2)的中点x1=1.5,则f(1.5)=-106.5<0,因为f(1.5)·f(2)<0,所以近似解x0∈(1.5,2),同理可得x0∈(1.5,1.75),x0∈(1.625,1.75),x0∈(1.687 5,1.75),x0∈(1.687 5,1.718 75),x0∈(1.687 5,1.703 125), 因为|1.703 125-1.687 5|=0.015 625<0.2, 所以方程在区间(1,2)内的近似解为=1.695 312 5. 同理可得方程在区间(9,10)内的近似解为9.335 937 5. 故如果要做成一个容积是1200 cm3的无盖盒子,截去的小正方形的边长大约是1.695 312 5 cm或9.335 937 5 cm. 学科网（北京）股份有限公司 $