3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第1课时 函数的零点(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 聚焦函数零点概念与应用，分层设计梯度清晰，从基础定义到综合应用，培养数学抽象、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|零点定义、简单函数零点求法|选择填空为主，直接考查概念（如第1题判断零点，第8题直接求零点）| |提升层|分段函数零点、方程根问题|含多选题（第7题）和中档解答题（第10题），强化运算与推理| |拓展层|函数性质综合、参数范围探究|解答题为主（如第14题方程实根问题），发展创新意识与综合应用能力|

3.2　函数与方程、不等式之间的关系 第1课时　函数的零点 1.函数y=1+的零点是 (　 ) A.(-1,0) B.0 C.-1 D.1 2.若函数f(x)=mx-m+1在区间[0,1]上无零点,则m的取值范围为 (　 ) A.0<m<1 B.m>1 C.m<0 D.m<1 3.已知x=-1是函数f(x)=+b(a≠0)的一个零点,则函数g(x)=ax2-bx的零点是 (　 ) A.-1,1 B.0,-1 C.1,0 D.2,1 ★4.若f(x)= 则函数g(x)=f(x)-x的零点个数是 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.[2025·江苏南通高一期中] 已知分段函数f(x)=则函数y=f(x)-1的零点的个数是 (　 ) A.4 B.3 C.2 D.1 6.若方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(4,+∞) B.(0,+∞) C.(0,4) D.(2,4) 7.(多选题)下列说法中正确的是 (　 ) A.f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为(-1,0) B.f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为-1 C.函数f(x)的零点即为f(x)的图象与x轴的交点 D.函数f(x)的零点即为f(x)的图象与x轴交点的横坐标 8.[2025·江西上饶高一期末] 函数f(x)=x的零点为　　　　.  9.[2026·河北衡水高一期中] 如图,网格纸上的小正方形的边长均为1,一次函数f(x)的图象不仅平分正方形ABCD的面积,也平分矩形EFGH的面积,则f(x)=　　　　,函数y=f[f(x)]的零点为　　　　.  10.(13分)求下列函数的零点: (1)f(x)=2x+3; (2)g(x)=x2(1-x)3(x2-2); (3)F(x)= 11.已知函数f(x)=若方程f(x)=a(x+3)有四个不同的实数根,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,4-2) B.(4-2,4+2) C.(0,4-2] D.(0,4-2) 12.(多选题)[2026·湖北武汉高一期中] 已知函数f(x)=关于x的方程f(x)-k=0,下列判断中正确的是 (　 ) A.当k=1时,方程f(x)-k=0有3个不同的实数根 B.方程f(x)-k=0至少有2个不同的实数根 C.若方程f(x)-k=0有3个不同的实数根,则k的取值范围为(0,1] D.若方程f(x)-k=0有3个不同的实数根x1,x2,x3,则x1+x2+x3的取值范围为[-1,+∞) 13.已知符号函数sgn(x)=则函数f(x)=sgn(x)-2x的所有零点构成的集合为　　　　.  14.(13分)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,求实数k的取值范围. 15.已知函数f(x)=若互不相等的实数x1,x2,x3满足 f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围为　　　　.  16.(15分)已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x. (1)写出函数y=f(x)的解析式; (2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2　函数与方程、不等式之间的关系 第1课时　函数的零点 1.C　[解析] 令y=0,则1+=0,解得x=-1,即函数的零点是-1.故选C. 2.D　[解析] 当m=0时,f(x)=1,此时f(x)无零点,符合题意;当m≠0时,令f(x)=0,则x=,所以x=<0或x=>1,解得0<m<1或m<0.综上,m<1.故选D. 3.C　[解析] 因为x=-1是函数f(x)=+b(a≠0)的一个零点,所以-a+b=0,所以a=b,所以g(x)=ax2-ax=ax(x-1)(a≠0),令g(x)=0,得x=0或x=1.故选C. 4.B　[解析] 函数g(x)=f(x)-x的零点即为方程f(x)-x=0的根.当x∈(-∞,-1]∪[2,+∞)时,方程f(x)-x=0,即为x2-2x-1=0,解得x=1+或x=1-,因为1-∉(-∞,-1]∪[2,+∞),所以x=1+;当x∈(-1,2)时,方程f(x)-x=0,即为1-x=0,则x=1,符合题意.综上,函数g(x)的零点为1+和1.故选B. [易错点] 与分段函数有关的方程问题,一定要在各段区间之内分别求解. 5.B　[解析] 函数f(x)=令f(x)=1,得或由解得x=0或x=-2;由解得x=2.所以函数y=f(x)-1有3个零点.故选B. 6.C　[解析] 由|x2-4x|-a=0,得a=|x2-4x|,作出函数y=|x2-4x|的图象(如图),则由图象可知,要使方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则0<a<4. 7.BD　[解析] 根据函数零点的定义可知,f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为-1,函数f(x)的零点即为f(x)的图象与x轴交点的横坐标.故选BD. 8.3,-1　[解析] 由f(x)=x·=0得x=0或x2-2x-3=0,则x=0或x=3或x=-1.由x2-2x-3≥0得x≤-1或x≥3,所以x=0不合题意,故函数f(x)的零点为3,-1. 9.-x+　-　[解析] 由图可知正方形ABCD的对称中心的坐标为(2,4),矩形EFGH的对称中心的坐标为,如图,当且仅当一次函数f(x)的图象经过这两个对称中心时,正方形ABCD与矩形EFGH的面积能被f(x)的图象平分.设f(x)=ax+b,则解得所以f(x)=-x+.由f[f(x)]=-+=0,解得x=-,故函数y=f[f(x)]的零点为-. 10.解:(1)解方程2x+3=0,得x=-,所以f(x)的零点为-. (2)解方程x2(1-x)3(x2-2)=0,得x=0或x=1或x=或x=-,所以函数g(x)的零点为0,1,,-. (3)令F(x)=0,则当x≥0时,可得3x-2=0,解得x=,满足题意;当x<0时,可得=0,此方程无解. 故函数F(x)的零点为. 11.D　[解析] 设y=a(x+3),则直线y=a(x+3)恒过点(-3,0).方程f(x)=a(x+3)有四个不同的实数根,则f(x)的图象与直线y=a(x+3)有四个不同的交点.作出函数y=f(x)的图象,如图.由图得a>0,所以直线y=a(x+3)与曲线y=-x2-2x,x∈(-2,0)有两个不同的公共点,所以关于x的方程x2+(2+a)x+3a=0在(-2,0)上有两个不等实根.令g(x)=x2+(2+a)x+3a,则解得0<a<4-2,所以实数a的取值范围是(0,4-2).故选D. 12.ACD　[解析] 方程f(x)-k=0的根的问题可以转换成直线y=k和y=f(x)的图象的交点问题,如图.对于A,由图可知,当k=1时,y=f(x)的图象与直线y=k有3个交点,则方程f(x)-k=0有3个不同的实数根,故A正确;对于B,当k<0时,由图知y=f(x)的图象与直线y=k无交点,则方程无解,故B错误;对于C,由图可知y=k和y=f(x)的图象有3个交点时,k的取值范围为(0,1],故C正确;对于D,不妨设x1<x2<x3,结合图象可知x1+x2=-2,x3≥1,所以x1+x2+x3≥-1,故D正确.故选ACD. 13.　[解析] 当x>0时,函数f(x)=sgn(x)-2x=1-2x,令1-2x=0,得x=,即当x>0时,函数f(x)的零点是;当x=0时,函数f(x)=0,此时函数f(x)的零点是0;当x<0时,函数f(x)=-1-2x,令-1-2x=0,得x=-,即当x<0时,函数f(x)的零点是-.综上可得,函数f(x)=sgn(x)-2x的所有零点构成的集合为. 14.解:画出函数f(x)的图象,如图所示. 若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数f(x),g(x)的图象有两个不同的交点,由图可知k>且k<1.故实数k的取值范围是. 15.(-7,-3]　[解析] 当x<-2时,f(x)=-2x-11,函数单调递减,此时f(x)∈(-7,+∞);当-2≤x<0时,f(x)=-x2+2x+3,函数单调递增,此时f(x)∈[-5,3);当x≥0时,f(x)=-x2-2x+3,函数单调递减,此时f(x)∈(-∞,3].作出函数f(x)= 的图象,如图所示.不妨设x1<x2<x3,f(x1)=f(x2)=f(x3)=t,则t∈[-5,3).当x<-2时,令f(x)=-5,得x=-3;令f(x)=3,得x=-7.所以-7<x1≤-3<-2≤x2<0<x3≤2,又函数y=-x2-2|x|+3为偶函数,所以x2+x3=0,又x1∈(-7,-3],所以x1+x2+x3∈(-7,-3]. 16.解:(1)当x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞), ∵y=f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x,∴f(x)= (2)当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,最小值为-1;当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值为1.作出函数y=f(x)的图象,如图所示,根据图象得,若方程f(x)=a恰有3个不同的解,则实数a的取值范围是(-1,1). 学科网（北京）股份有限公司 $