1.2 常用逻辑用语 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（人教B版）

本高中数学讲义聚焦全称量词命题与存在量词命题的否定这一核心知识点，先通过命题的否定概念奠定基础，再系统梳理含有量词命题的否定规律（全称量词命题否定为存在量词命题，存在量词命题否定为全称量词命题），最后结合实例应用解决参数范围问题，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料设计亮点突出，通过诊断分析题（如判断“所有矩形都是平行四边形”的否定正误）帮助学生夯实基础，探究点例题与变式（如例2对全称/存在量词命题的否定及真假判断）培养数学思维中的推理能力，素养小结提炼关键方法提升数学语言表达。课中辅助教师实施分层教学，课后练习题助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 【学习目标】 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,并会判断真假; 2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定,并会判断真假. ◆ 知识点一　命题的否定 一般地,对命题p加以否定,就得到一个新的命题,记作“􀱑p”,读作“非p”或“p的否定”. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题􀱑p的否定是p. (　 ) (2)命题p是真命题,则其否定一定是假命题.(　 ) (3)命题p:若x>1,则x2>1的否定􀱑p是真命题. (　 ) ◆ 知识点二　含有量词的命题的否定 含有量词 的命题 p 􀱑p 结论 全称量词 命题 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,􀱑p(x) 全称量词命题的否定是　　　　　  存在量词 命题 ∃x∈M,p(x) ∀x∈M,􀱑p(x) 存在量词命题的否定是　　　　　  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)“存在一个质数不是奇数”的否定是“所有质数都是奇数”. (　 ) (2)“∀x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“∃x∈R,x3-x2+1>0”. (　 ) (3)“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“所有的矩形都不是平行四边形”. (　 ) (4)“∃x∈M,p(x)”与“∀x∈M,􀱑p(x)”的真假性相反. (　 ) ◆ 探究点一　命题的否定及真假的判断 例1 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假. (1) p:4>2;(2)q:方程x2+2x-4=0有实数根;(3)r:正方形都是菱形. (2) 变式 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假. (1)p:空集是集合A的子集; (2)q:若xy=0,则x与y中至少有一个为0; (3)s:平行四边形的对角线互相平分. [素养小结] 􀱑p是对命题p的全盘否定,对一些词语的正确否定是写􀱑p的关键,如“都”的否定是“不都”,“至多两个”的否定是“至少三个”等. ◆ 探究点二　含有量词的命题的否定 例2 [2025·湖南长沙高一期末] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,写出这些命题的否定,并判断这些命题的否定的真假. (1)对任意的实数x,都有x2≥|x|; (2)存在实数x,使得x2+x-2≤0; (3)所有的素数都是奇数; (4)方程x2-3x+1=0的每一个根都是正数. 变式 [2026·江西九江高一期中] 写出下列命题的否定,并判断否定后的命题的真假. (1)任意两个无理数的积是有理数; (2)存在某个菱形的对角线相等; (3)能被3整除的整数,其各位数字之和也能被6整除. [素养小结] (1)全称量词命题的否定:将全称量词变为存在量词,再否定它的结论. (2)存在量词命题的否定:将存在量词变为全称量词,再否定它的结论. (3)若命题为真命题,则该命题的否定就是假命题;若命题为假命题,则该命题的否定就是真命题. ◆ 探究点三　全称量词命题、存在量词命题否定的应用 [探索] 若全称量词命题为假命题,则该如何处理?若存在量词命题为假命题,则该如何处理? 例3 (1)已知命题“∀x∈R,ax2+2x+1≠0”为假命题,则实数a的取值范围是 (　 ) A.{a|a≤-1} B.{a|a≤1} C.{a|a≥1} D.{a|a≥-1} (2)[2025·广东广州高一期末] 若“∃x∈[1,4],2x+a+1≥0”是假命题,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-9) B.(-∞,-3) C.(-9,+∞) D.(-3,+∞) 变式 已知p:“至少存在一个实数x∈[1,2],使不等式x2+2-a>0成立”的否定为假命题,则实数a的取值范围为　　　　.  [素养小结] 注意:p与􀱑p一真一假,解决问题时通常基于p与􀱑p中的真命题进行求解. 1.命题“∀x∈Q,x+是无理数”的否定是(　 ) A.∃x∈Q,x+不是无理数 B.∀x∈Q,x+不是无理数 C.∃x∉Q,x+不是无理数 D.∀x∉Q,x+不是无理数 2.已知命题p:“存在a∈{x|x<0},使得a2-2a-1>0”,那么命题p的否定是 (　 ) A.存在a∈{x|x>0},使得a2-2a-1≤0 B.存在a∈{x|x<0},使得a2-2a-1≤0 C.对任意a∈{x|x>0},都有a2-2a-1≤0 D.对任意a∈{x|x<0},都有a2-2a-1≤0 3.已知命题p:任意的菱形四条边都相等,则􀱑p是 (　 ) A.若四边形为菱形,则它的四条边不全相等 B.存在一个四边形为菱形,它的四条边不全相等 C.若四边形不是菱形,则它的四条边不全相等 D.存在一个四边形为菱形,它的四条边相等 4.若“∀x∈[1,3],mx+3-2m>0”是假命题,则实数m的取值范围为　　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 【课前预习】 知识点一 诊断分析 (1)√　(2)√　(3)×　[解析] (2)如果一个命题是真命题,那么这个命题的否定就是假命题,反之亦然. (3)因为命题p:若x>1,则x2>1是真命题,所以其否定􀱑p:若x>1,则x2≤1是假命题. 知识点二 存在量词命题　全称量词命题 诊断分析 (1)√　(2)√　(3)×　(4)√　[解析] (3)“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“有些矩形不是平行四边形”. 【课中探究】 例1　解:(1)􀱑p:4≤2,假命题. (2)􀱑q:方程x2+2x-4=0没有实数根,假命题. (3)􀱑r:正方形不都是菱形,假命题. 变式　解:(1)􀱑p:空集不是集合A的子集.因为命题p是真命题,所以􀱑p是假命题. (2)􀱑q:若xy=0,则x与y均不为0. 因为命题q是真命题,所以􀱑q是假命题. (3)􀱑s:有的平行四边形的对角线不互相平分.因为命题s是真命题,所以􀱑s是假命题. 例2　解:(1)全称量词命题.原命题的否定:存在实数x,使得x2<|x|.原命题的否定是真命题. (2)存在量词命题.原命题的否定:对任意的实数x,都有x2+x-2>0.原命题的否定是假命题. (3)全称量词命题.原命题的否定:存在一个素数不是奇数.原命题的否定是真命题. (4)全称量词命题.原命题的否定:方程x2-3x+1=0至少有一个根不是正数.原命题的否定是假命题. 变式　解:(1)原命题的否定为:存在两个无理数的积是无理数,该命题是真命题. (2)原命题的否定为:任意菱形的对角线不相等,该命题是假命题. (3)原命题的否定为:存在能被3整除的整数,其各位数字之和不能被6整除,该命题是真命题. 探索 解:若全称量词命题为假命题,则通常转化为其否定,即存在量词命题为真命题来解决问题.同理,若存在量词命题为假命题,则通常转化为其否定,即全称量词命题为真命题来解决问题. 例3　(1)B　(2)A　[解析] (1)由题知命题“∃x∈R,ax2+2x+1=0”为真命题,则关于x的方程ax2+2x+1=0有实根.当a=0时,满足题意;当a≠0时,Δ=4-4a≥0,即a≤1且a≠0.综上,a≤1.故实数a的取值范围是{a|a≤1}.故选B. (2)由于“∃x∈[1,4],2x+a+1≥0”是假命题,因此“∀x∈[1,4],2x+a+1<0”是真命题,则2×4+a+1<0,则a<-9.故选A. 变式　(-∞,6)　[解析] 由题意知,p为真命题,即关于x的不等式x2+2-a>0,即x2+2>a在[1,2]上有解,当1≤x≤2时,3≤x2+2≤6,所以a<6.故实数a的取值范围为(-∞,6). 【课堂评价】 1.A　[解析] 命题“∀x∈Q,x+是无理数”的否定是“∃x∈Q,x+不是无理数”.故选A. 2.D　[解析] 由题意知,原命题为存在量词命题,故其否定为全称量词命题,所以其否定为“对任意a∈{x|x<0},都有a2-2a-1≤0”. 3.B　[解析] 因为p:任意的菱形四条边都相等,所以􀱑p:“存在一个四边形为菱形,它的四条边不全相等”.故选B. 4.(-∞,-3]∪[3,+∞)　[解析] 由“∀x∈[1,3],mx+3-2m>0”是假命题,得“∃x∈[1,3],mx+3-2m≤0”是真命题,则m+3-2m≤0或3m+3-2m≤0,解得m≥3或m≤-3,故实数m的取值范围为(-∞,-3]∪[3,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $