1.1 集合 1.1.2 集合的基本关系(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（人教B版）

本讲义聚焦集合的基本关系这一核心知识点，系统梳理子集与真子集的文字、符号及图形语言，集合相等的判定方法，构建从概念理解（学习目标）到基础巩固（诊断分析）再到综合应用（探究点）的学习支架。 资料通过诊断分析题培养学生用数学眼光辨析集合关系，探究点例题与变式训练发展逻辑推理的数学思维，维恩图与符号表达强化数学语言运用，素养小结提炼方法，课中助力教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺。

1.1.2　集合的基本关系 【学习目标】 1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; 2.能用维恩图表达集合的基本关系. ◆ 知识点一　子集与真子集 类别 文字语言 图形语言 符号表示、读法 子 集 如果集合A的　　　　　元素都是集合B的元素,那么集合　　　称为集合　　　的子集,两个集合有　　　关系  符号表示:　　　(或　　).  读作:A　　B(或B　　　A)  对应地,如果A不是B的子集,则记作A⊈B(或B⊉A),读作“　　　　　　”(或“　　　　　　”)  真 子 集 如果集合A是集合B的子集,并且B中　　　　　元素不属于A,那么集合A称为集合B的真子集  符号表示:　　　(或　　　).  读作:A　B(或B　 　A)  任意集合A都是它自身的　　　　,即A⊆A.  空集是任意一个集合的　　　　.  【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)0⊆{x|x<5,x∈R}. (　 ) (2)任何一个集合的子集至少有两个. (　 ) (3)设A是一个集合,则A⫋A. (　 ) (4)若集合A中有3个元素,则集合A共有7个真子集. (　 ) 2.下列关系中正确的是　　　　　　.(填序号)   ①∅=0;②∅={0};③∅={∅};④∅∈{∅};⑤0∈{0};⑥∅⊆{0};⑦∅⫋{∅}. 3.(1)正整数集N*与自然数集N之间是什么关系?自然数集N与有理数集Q之间是什么关系? (2)若高一(3)班有男生也有女生,集合A={x|x是全体高一(3)班学生},B={x|x是高一(3)班的男生},C={x|x是高一(3)班的女生},集合B,C与集合A是什么关系? ◆ 知识点二　集合的相等与子集的关系 1.性质:如果A⊆B且B⊆A,则A=B;反之,如果A=B,则A⊆B且B⊆A. 2.维恩图:如图所示. ◆ 探究点一　集合间关系的判断 例1 (1)已知集合A={x|x<-2或x>0},B={x|0<x<1},则 (　 ) A.A>B B.A⫋B C.B⫋A D.A<B (2)(多选题)[2026·广东江门高一阶段练习] 下列关系表示正确的是 (　 ) A.{0}∈{0,1,2} B.{0,1,2}⊆{2,1,0} C.∅⊆{0,1,2} D.{0,1}={(0,1)} 变式 (1)已知集合A={x∈Z||x|<3},B={-3,-2,-1,0,1,2,3},则以下说法正确的是 (　 ) A.{0}∈A B.2∉B C.A⊆B D.B=A (2)下列能正确表示集合M={x|x2+3x=0},N={-3,0,3}关系的维恩图是 (　 ) A　　B　　C　　D [素养小结] 判断集合间关系的方法: (1)用定义判断: ①对任意x∈A,都有x∈B,则A⊆B; ②当A⊆B时,存在x∈B且x∉A,则A⫋B; ③若既有A⊆B,又有B⊆A,则A=B. (2)数形结合判断: 利用数轴或维恩图进行判断,对于不等式表示的数集,可在数轴上表示出集合,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍. ◆ 探究点二　集合的子集与真子集 例2 (1)设集合A={0,2,3,4},列举出集合A的所有子集. (2)写出集合B={0,2,3},C={0,2},D={0}的子集个数,并讨论“元素个数”与“子集个数”之间的关系. 变式 (1)写出满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}的所有的集合A. (2)满足{1,2}⫋A⫋{1,2,3,4,5}的集合A有多少个? [素养小结] (1)求集合子集、真子集的步骤 注意:要注意两个特殊的子集,∅和自身. (2)已知集合A中有n(n∈N*)个元素,则有下列结论: ①A的子集的个数为2n; ②A的非空子集的个数为2n-1; ③A的真子集的个数为2n-1; ④A的非空真子集的个数为2n-2. 拓展 集合A={x|mx2-2x+m=0}仅有两个子集,则实数m的取值集合为　　　　　　.  ◆ 探究点三　集合间关系的应用 例3 (1)已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且B⊆A,则a=　　　　.  (2)[2025·山西大同高一期末] 已知集合A={x|x≤-2或x>1},B={x|ax+2≤0},且B⊆A,则实数a的取值范围是　　　　　　.  变式 (1)[2026·河北秦皇岛高一月考] 已知集合A={1,2},B={x|-1<x<5,x∈N},则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为 (　 ) A.4 B.7 C.15 D.8 (2)已知集合A={x|x2+5x-6=0},B={x|x2+2(m+1)x+m2-3=0}.若B⊆A,则实数m的取值范围是　　　　.  [素养小结] (1)由集合之间的包含关系求参数的两类问题: ①若集合中的元素是一一列举出来的,则依据集合之间的关系,可转化为解方程(组)求解,此时要注意集合中元素的互异性. ②若集合中的元素有无限多个,无法一一列举(如不等式的解集),则常借助于数轴转化为不等式(组)求解,此时要注意端点值能否取到. (2)由集合之间的包含关系求参数的注意点: 空集是任何集合的子集,因此在解A⊆B(或A⫋B且B≠∅)的含参数问题时,要注意讨论A=∅和A≠∅两种情况,前者常被忽视,造成解析不完整. 1.集合{x|x3=1},{x|x2=1},{1},中,与其他集合不相等的集合是 (　 ) A.{x|x3=1} B.{x|x2=1} C.{1} D. 2.下列表示错误的是 (　 ) A.{a}∈{a,b} B.{a,b}⊆{b,a} C.{-1,1}⊆{-1,0,1} D.∅⊆{-1,1} 3.(多选题)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},B⊆A,由实数a组成集合C,则下列选项中正确的是 (　 ) A.集合C的非空真子集的个数是2 B.集合C的非空真子集的个数是6 C.集合C的子集的个数是4 D.集合C的子集的个数是8 4.已知集合A=[-3,4],B={x|2m-1<x<m+1},且B⊆A,则实数m的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.2　集合的基本关系 【课前预习】 知识点一 任意一个　A　B　包含　A⊆B　B⊇A　包含于　包含 A不包含于B　B不包含A　至少有一个　A⫋B　B⫌A 真包含于　真包含　子集　子集 诊断分析 1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　[解析] (1)“⊆”用来表示集合与集合间的关系. (2)任意集合都是它自身的子集,空集是任意一个集合的子集,所以任何一个非空集合的子集至少有两个,而空集的子集只有空集,仅一个. (3)集合A是它本身的子集,但不是真子集. (4)一般地,若集合A中元素的个数为n(n∈N*),则其真子集的个数为2n-1. 2.④⑤⑥⑦　[解析] ∅表示空集,集合中不含有任何元素,所以①②③不正确;当∅作为{∅}中的一个元素时,有∅∈{∅},所以④正确;{0}是单元素集,只含有一个元素0,所以⑤正确;因为空集是任意一个集合的子集,是任意一个非空集合的真子集,所以⑥与⑦正确.故填④⑤⑥⑦. 3.解:(1)N*是N的子集,也是N的真子集. N是Q的子集,也是Q的真子集. (2) B,C都是A的子集,也都是A的真子集. 【课中探究】 例1　(1)C　(2)BC　[解析] (1)在数轴上标记两个集合,如图,由图知B⫋A.故选C. (2)对于A,{0}⊆{0,1,2},故A错误;对于B,{0,1,2}⊆{2,1,0},故B正确;对于C,∅⊆{0,1,2},故C正确;对于D,{0,1}是数集,{(0,1)}为点集,这两个集合不相等,故D错误.故选BC. 变式　(1)C　(2)D　[解析] (1)∵A={x∈Z||x|<3},∴A={-2,-1,0,1,2},∴{0}⊆A,故A错误;∵B={-3,-2,-1,0,1,2,3},∴2∈B,故B错误;∴A≠B,A⊆B,故C正确,D错误.故选C. (2)由已知得集合M={x|x2+3x=0}={-3,0}.∵N={-3,0,3},∴M⫋N,∴表示集合M={x|x2+3x=0},N={-3,0,3}关系的维恩图是D选项中的图.故选D. 例2　解:(1)集合A的子集按子集中元素的个数可分为5类: ①子集中没有元素:∅; ②子集中有一个元素:{0},{2},{3},{4}; ③子集中有两个元素:{0,2},{0,3},{0,4},{2,3},{2,4},{3,4}; ④子集中有三个元素:{0,2,3},{0,2,4},{0,3,4},{2,3,4}; ⑤子集中有四个元素:{0,2,3,4}. (2)将(1)中集合A={0,2,3,4}的所有含有元素4的子集去掉,剩余其他集合即为集合B的子集,共8个,同理可得集合C的子集个数为4,集合D的子集个数是2. 一个集合的元素个数为n,则这个集合的所有子集个数为2n,非空子集个数为2n-1,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2. 变式　解:(1)当集合A含有2个元素时,A为{1,2};当集合A含有3个元素时,A为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5};当集合A含有4个元素时,A为{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5}; 当集合A含有5个元素时,A为{1,2,3,4,5}. 故满足条件的集合A为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}. (2)因为包含变成了真包含,所以在(1)中所得集合的基础上去掉{1,2}和{1,2,3,4,5},故满足条件的集合A有6个. 拓展　{0,1,-1}　[解析] 由题意知A中仅有一个元素.①当m=0时,方程为-2x=0,解得x=0,此时A={0},满足集合A仅有两个子集;②当m≠0时,方程有两个相等实根,所以Δ=4-4m2=0,解得m=±1,此时A={1}或A={-1},满足集合A仅有两个子集.故实数m的取值集合为{0,1,-1}. 例3　(1)-1或2　(2){a|-2<a≤1}　[解析] (1)因为B⊆A,所以a2-a+1=3或a2-a+1=a.①由a2-a+1=3得a2-a-2=0,解得a=-1或a=2.当a=-1时,A={1,3,-1},B={1,3},满足B⊆A;当a=2时,A={1,3,2},B={1,3},满足B⊆A.②由a2-a+1=a得a2-2a+1=0,解得a=1,当a=1时,不满足集合元素的互异性.综上,a=-1或a=2. (2)①当a=0时,B=∅⊆A,满足题意; ②当a>0时,B={x|ax+2≤0}=,则-≤-2,又a>0,所以0<a≤1; ③当a<0时,B={x|ax+2≤0}=,则->1,又a<0,所以-2<a<0. 综上所述,实数a的取值范围是{a|-2<a≤1}. 变式　(1)D　(2)(-∞,-2]　[解析] (1)∵B={x|-1<x<5,x∈N},∴B={0,1,2,3,4},又A⊆C⊆B,A={1,2},∴C可能为{1,2},{0,1,2},{1,2,3},{1,2,4},{0,1,2,3},{0,1,2,4},{1,2,3,4},{0,1,2,3,4},∴集合C的个数为8.故选D. (2)A={x|x2+5x-6=0}={-6,1}.当B为空集时,Δ=4(m+1)2-4(m2-3)<0,解得m<-2.当B不为空集时,若Δ=4(m+1)2-4(m2-3)=0,则m=-2,此时B={x|x2+2(m+1)x+m2-3=0}={1},满足题意;若Δ=4(m+1)2-4(m2-3)>0,则m>-2,由根与系数的关系得此时m无解.综上,实数m的取值范围是(-∞,-2]. 【课堂评价】 1.B　[解析] 由题知{x|x3=1}={1},{x|x2=1}={1,-1},={1}.故选B. 2.A　[解析] 在A中,因为{a}为一个集合,所以{a}⊆{a,b},故A中表示错误;在B中,集合中的元素具有无序性,一个集合是它本身的子集,故B中表示正确;在C中,{-1,1}中的元素都在{-1,0,1}中,故{-1,1}⊆{-1,0,1},故C中表示正确;在D中,空集是任何集合的子集,故D中表示正确.故选A. 3.BD　[解析] 由题意得,A={x|x2-3x+2=0}={2,1}.当B=∅时,a=0,符合题意;当B≠∅时,a≠0,B=,因为B⊆A,所以=2或=1,所以a=1或a=2.故C={0,1,2}.集合C的子集个数为23=8,故D正确,C错误;集合C的非空真子集个数为23-2=6,故B正确,A错误.故选BD. 4.[-1,+∞)　[解析] 当B=∅时,m+1≤2m-1,解得m≥2;当B≠∅时,解得-1≤m<2.综上,实数m的取值范围为[-1,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $