3.1 函数的概念与性质 3.1.1 函数及其表示方法 第1课时 函数的概念(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦函数的概念与性质，涵盖函数定义、定义域、值域及同一个函数的判断。通过课前预习诊断分析衔接初中变量依赖关系，以集合语言构建函数概念，形成从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于课中探究结合实例与素养小结，培养数学眼光和思维。如通过图形判断函数、抽象函数定义域求解等例题，引导学生抽象函数本质，发展推理意识。学生能深化理解，教师可借助分层练习提升教学效率。

3.1 函数的概念与性质 1 3.1.1 函数及其表示方法 第1课时 函数的概念 2 探究点一 函数概念的理解 探究点二 函数的定义域 探究点三 函数求值问题和简单函数的值域 探究点四 同一个函数的判断 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言 和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关 系在刻画函数概念中的作用； 2.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域、值域. 4 知识点一 函数的有关概念 一般地，给定两个____________与，以及对应关系 ，如果对于 集合中的_____________，在集合中都有__________的实数与 对应，则称为定义在集合上的一个函数，记作, ,其 中称为自变量，称为因变量，自变量取值的范围（即数集 ）称 为这个函数的________.如果自变量取值，则由对应关系 确定的值 称为函数在处的函数值，记作或 ,所有函数值组成的 集合, 称为函数的______. 非空实数集 每一个实数 唯一确定 定义域 值域 课 前 预 习 5 【诊断分析】 （1）怎样理解函数概念中非空、任意性和唯一确定性？ 解：①，必须为非空数集，②集合中元素具有任意性，③集合 中元素必须有唯一确定性． （2）如果值域记作，上述定义中，集合， 有什么关系？ 解： . （3）已知函数，,,则与 有什么关系？ 解：是值域中的一个值，即当 时的函数值. 课 前 预 习 6 知识点二 同一个函数的概念 如果两个函数表达式表示的函数____________，________________， 则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数. 定义域相同 对应关系也相同 课 前 预 习 7 【诊断分析】 定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？ 解：不一定．因为定义域和值域不能确定函数的对应关系． 如与两个函数的定义域和值域均为实数集 ， 但这两个函数不是同一个函数，原因是对应关系不同． 课 前 预 习 8 知识点三 常见函数的定义域、值域 （1），定义域为，值域为 ; （2），定义域为 ,值域为 ； （3），定义域为，值域为 ； （4）,定义域为，若 ，则值域为 ，若,则值域为 ； （5）对于函数，或,若 的定 义域为，的定义域为,的定义域为，则 . 课 前 预 习 9 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数的定义域为 ，值域为 .( ) √ （2）函数的定义域为，值域为 .( ) √ （3）函数,的值域为 .( ) √ （4）函数的定义域为 .( ) × [解析] 函数的定义域为 . 课 前 预 习 10 （5）函数的定义域为 .( ) √ （6）函数的定义域是，值域是 .( ) √ 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） 课 前 预 习 11 探究点一 函数概念的理解 ［探索］ 是关于的函数，那么反之是关于 的函数吗？ 解：给定任意一个值都有唯一的值与之对应，反之给定任意一个 值可能存在两个值与之对应，故不是关于 的函数. 课 中 探 究 12 例1（1）已知集合,0,1,, ，给出下列四个对应关 系，请由函数的定义判断，其中能构成从集合到集合 的函数的是 ( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，当时， ，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时， ，当时，， 当时， ，故C正确； 对于D，当时， ,故D错误.故选C. √ 课 中 探 究 13 （2）下列图形中，可作为函数图象的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 [解析] ②⑤中的图形存在一个值有两个 值与之对应，所以不是函 数图象，①③④中的图形满足函数定义，是函数图象．故选B. √ 课 中 探 究 14 变式（1）［2025·山东聊城高一期末］已知集合, ， 则下列选项中是从集合到集合 的函数的为( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，定义域为 ，不满足函数的特性，故A错误； 对于B，值域为，当取集合中的元素0时，集合 中没有元 素与之对应，故B错误； 对于C，值域为，当取集合 中的元素为负值时，集合 中没有元素 与之对应，故C错误； 对于D，满足函数的定义，故D正确.故选D. √ 课 中 探 究 15 （2）［2025·陕西西安高一期末］下列图形中，可以表示函数的为 ( ) A. B. C. D. [解析] 选项A，C，D的图形中存在 对应多个不同的函数值，不可 以表示函数，故B正确.故选B. √ 课 中 探 究 16 ［素养小结］ （1）根据图象判断对应关系是否为函数的方法： ①作一条垂直于<m></m>轴的直线<m></m>； ②在<m></m>的取值范围内平移直线<m></m>； ③若直线<m></m>在平移的过程中与图象始终有且只有一个交点，则是函数， 若没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数. （2）判断对应关系是否为函数的两个条件： ①<m></m>，<m></m>必须是非空实数集； ②<m></m>中任意一个元素在<m></m>中有且只有一个元素与之对应，对应关系是 “一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系. 课 中 探 究 17 探究点二 函数的定义域 例2 求下列函数的定义域： （1）y=(x+1)0； 解：由x+1≠0,解得x≠-1,所以函数y=(x+1)0的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞). 课 中 探 究 18 （2）y= 解：由x+2>0,解得x>-2,所以函数y=的定义域为(-2,+∞). 例2 求下列函数的定义域： 课 中 探 究 19 （3） ； 解：由解得且 ， 所以函数的定义域为 . 例2 求下列函数的定义域： 课 中 探 究 20 变式 求下列函数的定义域： （1） ； 解：由题知，因为 ， 所以函数的定义域为 . 课 中 探 究 21 变式 求下列函数的定义域： （2） ； 解：由解得且 ，所以函数 的定义域为 . 课 中 探 究 22 （3） . 解：由题知，即，所以 ，所以函数 的定义域为 . 变式 求下列函数的定义域： 课 中 探 究 23 ［素养小结］ 求函数定义域的常用依据： （1）若<m></m>是分式，则分母不为零； （2）若<m></m>是偶次根式，则被开方数大于或等于零； （3）若<m></m>是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都 有意义； （4）若<m></m>是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题 有意义； （5）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不 同区间应该用“<m></m> ”连接. 课 中 探 究 24 例3（1）已知函数f(x)的定义域为(-2,1),则函数f(2x)的定义域为( ) A. B.(-5,1) C.(-4,2) D.(-2,1) [解析] 令t=2x,则f(t)的定义域为(-2,1),即-2<2x<1,解得-1<x<, 所以函数f(2x)的定义域为.故选A. √ 课 中 探 究 25 （2）已知y=f(x-1)的定义域为[1,3],则y=f(2x)的定义域为( ) A.[1,3] B.[0,1] C.[2,6] D.[0,4] [解析] 由y=f(x-1)的定义域为[1,3],得x∈[1,3],所以x-1∈[0,2], 即f(x)的定义域为[0,2]. 令2x∈[0,2],得x∈[0,1],所以y=f(2x)的定义域为[0,1].故选B. √ 课 中 探 究 26 变式（1）已知函数的定义域为，则 的定义域 为( ) A. B. C. D. [解析] 因为函数的定义域为， 所以 解得 .故选B. √ 课 中 探 究 27 （2）［2025·陕西咸阳高一期中］已知函数 的定义域 为，则函数 的定义域为( ) A. B. C. D. [解析] 由函数的定义域为，得 ， 所以，所以的定义域为， 又 ，所以， 所以函数的定义域为 .故选A. √ 课 中 探 究 28 ［素养小结］ 求抽象函数定义域的方法： （1）当对应关系<m></m>所施加的对象与解析式中表述的对象不一致时， 应将左、右两端统一，也可以用“换元法”，将较难配凑的式子化简. （2）若已知函数<m></m>的定义域为<m></m>，则函数<m></m>的定义域由 不等式<m></m>解出即得.若已知函数<m></m>的定义域为<m></m>， 则函数<m></m>在<m></m>时的取值范围即为所求函数<m></m>的定义域. 课 中 探 究 29 探究点三 函数求值问题和简单函数的值域 例4（1）已知且， ， . ①求，, 的值； 解：， . ， . 令，则 . ②求 的值. 解：， . 课 中 探 究 30 （2）求下列函数的值域： ① y=(x>0); 解： y=(x>0)是反比例函数y=(x∈R)的图象位于第一象限的部分, 根据图象可知函数y=(x>0)的值域为(0,+∞). 课 中 探 究 31 （2）求下列函数的值域： ② y=3x+1,x∈[-1,3); 解：当x=-1时,y=3×(-1)+1=-2; 当x=3时,y=3×3+1=10, 所以由一次函数的图象可得函数y=3x+1,x∈[-1,3)的值域为[-2,10). 课 中 探 究 32 ③, . 解： ， 由 ，结合函数的图象，可得函数的值域为 . （2）求下列函数的值域： 课 中 探 究 33 变式 若，则 ( ) A.1 B. C. D. [解析] 令，解得 ， 则 .故选C. √ 课 中 探 究 34 ［素养小结］ (1)求函数值域的原则: ①先确定相应的定义域; ②再根据函数的具体形式通过运算确定其值域. (2)求函数值域时,要结合函数的图象进行求解. 课 中 探 究 35 探究点四 同一个函数的判断 例5 ［2025·天津南开区高一期末］下列函数中与 是同一个 函数的为( ) A.， B.， C.， D.， √ 课 中 探 究 36 [解析] 对于A，的定义域是， 的定义域是 ，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数，故A错误； 对于B，与的定义域都是 ，且对应关系 相同，是同一个函数，故B正确； 对于C，与 的对应关 系不同，不是同一个函数，故C错误； 对于D，的定义域是 ，的定义域是 ，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数，故D错误. 故选B. 课 中 探 究 37 变式 下列各组函数是否表示同一个函数？为什么？ （1）， ； 解：与的定义域相同，， 与 的对应关系也相同，与 是同一个函数． 课 中 探 究 38 变式 下列各组函数是否表示同一个函数？为什么？ （2）， ； 解：的定义域为， 的定义域为 ，即两函数的定义域相同， ， 两函数的对应关系也相同， 与 是同一个函数． 课 中 探 究 39 （3）， . 解：与 的定义域相同， 但对应关系不同，与 不是同一个函数. 变式 下列各组函数是否表示同一个函数？为什么？ 课 中 探 究 40 ［素养小结］ 判断两个函数为同一个函数的条件： （1）判断两个函数是同一个函数的准则是两个函数的定义域和对应 关系分别相同,定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同 一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数； （2）函数是两个非空实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自 变量、因变量是没有限制的,另外，在化简解析式时，必须是等价变形. 课 中 探 究 41 1.若集合， ，则下列图形给出的 对应中能构成从到 的函数的是( ) A. B. C. D. [解析] 结合选项可知D正确． √ 课 堂 评 价 42 2.下列函数中，值域为 的是( ) A. B. C. D. [解析] 的值域为，的值域为, 的值域为，的值域为 . 故选B. √ 课 堂 评 价 43 3.已知，则 的值是( ) A.0 B. C. D.4 [解析] 令，解得 ， 所以 .故选B. √ 课 堂 评 价 44 4.下列选项中的两个函数表示同一个函数的是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 √ 课 堂 评 价 45 [解析] 对于A，的定义域为， 的定义域为 ， 两个函数不表示同一个函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为 ， 两个函数不表示同一个函数，故B错误； 对于C，两函数的定义域都为 ，又 ， 所以两个函数表示同一个函数，故C正确； 对于D，当时，无意义，而 ,故D错误.故选C. 课 堂 评 价 46 5.［2025·江苏苏州高一期中］函数 的定 义域为____________. [解析] 由解得且 ， 所以函数的定义域是 . 课 堂 评 价 47 课后习题 48 1. [2026·四川成都高一期中] 下列平面直角坐标系中的曲线可以表示 函数图象的是( ) [解析] 对于A,B,C选项中的曲线,不满足对于x的每一个取值,y都有唯一 确定的值与之对应;D选项中的曲线,符合函数的定义.故选D. √ B. C. D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 2. [2026·河南新乡高一期中] 若函数f(x)=的定义域为[2,4],则函数 f(x)的值域为( ) A.[3,6] B.[5,8] C.[2,3] D.[4,5] √ [解析] 由2≤x≤4,可得≥≥,则6≥≥3,即函数f(x)的值域为[3,6].故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 3.已知函数f(x)=的定义域为集合A,函数g(x)=x2-2x+5的 值域为集合B,则A∩B= ( ) A.[4,5] B.[-1,5] C.[2,5] D.[2,+∞) √ [解析] 由-x2+4x+5≥0,解得-1≤x≤5,故A=[-1,5]; 由g(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4≥4,得B=[4,+∞).故A∩B=[4,5].故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 4.［2025·山西太原高一期中］已知，则 ( ) A. B. C.1 D.7 [解析] 由题意，得，则 ， 所以 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 5.中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这 么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函 数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是 同一个函数的是( ) A.， B.， C.， D.， √ [解析] 对于A，和的定义域均为， ， ，对应关系不同，所以和 不是同一个函数，故A错 误； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 对于B，和的定义域均为， ，， 故和 的定义域相同，对应关系也相同，所以和是同 一个函数，故B正确； 对于C， 的定义域为，的定义域为，故和 的定义域不相同，所以和不是同一个函数，故C错误； 对于D， 的定义域为，的定义域为，故和 的定义域不相同，所以和 不是同一个函数，故D错误.故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 6.［2025·四川遂宁高一期末］已知 , ，给出下列四个图形，其中能表示从集合 到集合 的函数关系的是( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 [解析] 对于A，当时，在 中无元素与之对应，不满足函数 定义，故A错误； 对于B，集合中的每个值，在集合 中均有唯一值与之对应，满足函 数的定义，故B正确； A. B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 对于C，当 时，对应元素，不满足函数的定义，故C错 误； 对于D，当 时，在 中有两个元素与之对应，不满足函数的定义， 故D错误.故选B. C. D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 7. 已知函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数g(x)=f+f(x-2)的定义域为( ) A.(0,2) B.(1,2) C.(2,3) D.(-1,1) [解析] 由题得解得1<x<2,故g(x)的定义域为(1,2).故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 8.（多选题）下列对应关系是集合，2，到集合 ，2， 4， 的函数的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，当时， ,不符合函数的定义,故A错误； 对于B，当时，，当时，，当 时， ，不符合函数的定义，故B错误； 对于C，当 时，，当时，，当时， ， 符合函数的定义，故C正确； 对于D，当时，，当时， ， 当时，，符合函数的定义，故D正确.故选 . √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 9.已知函数的定义域为 ，则函数 的定义域为_______. [解析] 由题意得解得 ， 所以的定义域为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 10.（13分）已知 . （1）求，， 的值； 解：由已知可得， ， . （2）求函数 的值域； 解： ， 所以函数的值域为 . （3）若，求 的值. 解：因为，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 11.［2025·四川成都高一期中］定义在区间 上的函数 的图象如图所示. 若只有唯一的与对应，则 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. [解析] 由图象可知，若满足唯一的与对应， 则 的取值范围为 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 12.［2026·福建福州高一期中］已知函数 的定义域为 ，值域为，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 [解析] 函数 的图 象的对称轴方程为 ，且开口向上，如图. ， ，由图可知,要 使函数的定义域为 ，值 域为，则的取值范围是 .故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 13.已知函数的定义域为,值域为 ,且对 任意的,恒有 ,则满足条件的不同函数共有____个. 10 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 [解析] 如图,可知满足条件的不同函数共有10个. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 14.（15分）［2026·江苏盐城高一期中］ 为了增 强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容， 某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为 100平方米的矩形区域 修建一个羊驼养殖场， 规定的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形 为羊驼养殖 区，且点，，， 四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设 （单位：米），养殖区域的面积为 （单位：平方米）. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 （1）将表示为的函数，并写出 的取值范围. 解：因为，所以，， ， 所以 ， 因为，，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 （2）当为多长时， 取得最大值？并求出最 大值. 解： ， 当且仅当，即时，等号成立，所以当为 米 时，取得最大值，最大值为 平方米. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 15.规定符号*表示一种运算，且（， 为正实 数），，则正整数的值为___，函数 的值域为 _________． 1 [解析] 由已知得， ，可得 ，令 ， 则，所以 ，所以函数 的值域为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 70 16.（15分）函数为数学家高斯创造的取整函数， 表示不超 过的最大整数，如， .已知函数 ，求函数 的值域. 解：因为，所以 . 若，则 . 当时，，当且仅当 时等号成立， 所以，所以， 此时函数 的取值范围为， ； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 当时， ， 当且仅当时等号成立，所以， 所以 ，此时函数的取值范围为, . 综上所述，函数的值域是,0, . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 $