2.2 不等式 2.2.1 不等式及其性质 第1课时 不等式及其性质(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦不等式及其性质，涵盖概念、比较大小、性质应用及取值范围求解，通过课前预习梳理定义与性质，课中探究分四个要点层层递进，构建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于结合实际问题培养数学眼光，如用不等式表示物品尺寸关系，通过作差法推理和性质应用训练数学思维，以变式训练和素养小结提升数学语言表达能力，助力学生形成逻辑思维，便于教师高效教学。

2.2 不等式 1 2.2.1 不等式及其性质 第1课时 不等式及其性质 2 探究点一 用不等式（组）表示不等关系 探究点二 作差法比较大小 探究点三 不等式性质的简单应用 探究点四 利用不等式性质求取值范围 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.会用作差法比较两实数（代数式）的大小； 2.通过对比,理解等式和不等式的共性与差异，掌握不等式的基 本性质，并能运用性质解决相关问题. 4 知识点一 不等式的概念 1.不等式的定义 用数学符号“”“ ”“ ”“ ”“ ”连接两个数或代数式，以表示它 们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式. 2.文字语言与数学符号间的常见转换 文字 语言 大于、高 于、超过 小于、低 于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 数学 符号 课 前 预 习 5 知识点二 比较实数大小 1. ______或______； ______或______. 2.实数大小的依据 __________； __________； __________. 课 前 预 习 6 知识点三 不等式的性质 1.不等式的性质 性质 别名 内容 性质1 可加性 如果，那么___ 性质2 可乘性 如果,，那么___ 性质3 如果,，那么___ 性质4 传递性 如果, ，那么______ 性质5 对称性 课 前 预 习 7 2.不等式性质的推论 推论 别名 内容 推论1 移项法则 如果，那么 推论2 同向不等式相加 如果, ，那么_____________ 推论3 同向不等式相乘 如果， ，那么 ___________________ 推论4 可乘方性 如果 ，那么_________ 推论5 可开方性 如果，那么 课 前 预 习 8 （1）推论1表明不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的 符号后，从不等式的一边移到另一边； （2）推论2表明两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式 与原不等式同向； （3）推论3表明两个两边都是正数的同向不等式分别相乘，所得到 的不等式与原不等式同向. 课 前 预 习 9 3.不等式性质的拓展——倒数法则 （1）如果，，那么； . （2）如果，那么 . （3）如果，那么 . 课 前 预 习 10 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若，则 一定成立.( ) × [解析] 由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘一个负数时，不等 号方向改变，因此若，则 不一定成立，故此说法错误. （2）若，则 .( ) [解析] 在不等式两边同时加上， 可得 ，故此说法正确. √ 课 前 预 习 11 （3）若，则， .( ) [解析] 取，，，， 满足 ，但不满足 ，故此说法错误． × （4）若，，则 .( ) [解析] 取，，，， 满足， ，但 不成立，故此说法错误. （5）若，则 .( ) [解析] 根据推论5，将不等式两边同时开 次方即可. × √ 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） 课 前 预 习 探究点一 用不等式（组）表示不等关系 例1 某物品的外部尺寸长、宽、高之和不超过 ，体积不超过 ，设该物品外部尺寸长、宽、高分别为，， （单位： ），则下列数学关系式正确的是( ) A.且 B.且 C.且 D.且 [解析] 由长、宽、高之和不超过得 ， 由体积不超过得 .故选C. √ 课 中 探 究 13 变式 （多选题）［2025·河北石家庄高一期末］ 火车站有某公司待 运的甲种货物306吨，乙种货物230吨.现计划用， 两种型号的货箱 共50节运送这批货物.已知7吨甲种货物和3吨乙种货物可装满一节 型货箱，5吨甲种货物和7吨乙种货物可装满一节 型货箱，据此安排 ， 两种货箱的节数，下列方案可以满足题意的是( ) A.货箱28节，货箱22节 B.货箱29节， 货箱21节 C.货箱31节，货箱19节 D.货箱30节， 货箱20节 √ √ √ 课 中 探 究 14 [解析] 设安排种型号的货箱节，种型号的货箱 节， 则则 ， 解得， ， 解得，所以， 所以或或 故选 . 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 在实际问题中通常要注意“不超过”“不低于”等,以此构建不等式. 课 中 探 究 16 探究点二 作差法比较大小 例2 [2026·江苏南京高一期中] 已知a>b>1,d<c<-2.求证:ac+bd>bc+ad. 证明:ac+bd-bc-ad=c(a-b)+d(b-a)=(c-d)(a-b), 又a-b>0,c-d>0,所以ac+bd-bc-ad=(c-d)(a-b)>0, 即ac+bd>bc+ad,得证. 课 中 探 究 17 变式 设，，则___（填“ ”或“ ”）. [解析] , , 故,即 . 课 中 探 究 18 ［素养小结］ (1)作差法比较两个实数(或代数式)大小的一般步骤: 作差、变形、判断差的符号、得出结论. (2)代数式如果含有根式,也可以先平方再作差,但此时一定要注意 代数式的符号. (3)作差时应该对差式进行恒等变形(如配方、因式分解、有理化、 通分等),直到能明显看出其正负号为止. (4)使用作商法比较两个实数(或代数式)大小时,若>1,则|a|>|b|, 需要再根据a,b的正负情况去掉绝对值,与此种方法相比,作差法 则不需要考虑两个实数(或代数式)的正负情况. 课 中 探 究 19 拓展 已知c>1,且x=-,y=-,则x,y之间的大小关系是( ) A.x>y B.x=y C.x<y D.x,y的关系随c而定 [解析] 由题知x>0,y>0,∵==<1,∴x<y.故选C. √ 课 中 探 究 20 探究点三 不等式性质的简单应用 例3（1）给出下列说法： ①若，，则 ； ②若，，则 ； ③对于正数，，，若，则 . 其中正确说法的序号是______． ①③ 课 中 探 究 21 [解析] 对于①，若，则， 又，所以 ，所以，故①正确； 对于②，若，，， ， 则，故②错误； 对于③，对于正数，， ，若，则， 所以 ，所以， 又，所以 ，故③正确． 综上可得，正确说法的序号是①③. 课 中 探 究 22 （2）已知，，求证： . 证明：因为，所以，所以 . 又因为，所以，所以 ， 即，所以 . 课 中 探 究 23 变式 （多选题）已知,, ，那么下列说法中正确的是( ) A.若，则 B.若且，则 C.若且，则 D.若，则 [解析] 对于A,若,当时, ,故A错误； 对于B,若,,当,时, ,故B错误； 对于C,若,,则或,所以 ,故C正确； 对于D,若,则,所以,故D正确.故选 . √ √ 课 中 探 究 24 ［素养小结］ （1）运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱 化条件，尤其是不能随意捏造性质. （2）解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意 取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单， 便于验证计算. （3）在研究不等式时,需要特别注意“符号问题”,即在作乘（除）法 运算时,符号会影响不等式中的不等号方向. 课 中 探 究 25 探究点四 利用不等式性质求取值范围 例4（1）已知，，设，则 的取值 范围是_______. [解析] 因为，，所以 ， ，所以，即的取值范围是 . 课 中 探 究 26 （2）若且，则 的最大值 是___. 7 [解析] 设 ， 则解得即 . 因为且，所以 ， 所以，故 的最大值为7. 课 中 探 究 27 变式（1）（多选题）［2026·四川成都高一期末］ 若实数， 满足 则下列叙述正确的是( ) A.的取值范围是 B.的取值范围是 C.的取值范围是 D.的取值范围是 √ √ √ 课 中 探 究 28 [解析] 实数,满足 由不等式的可加性可得，则，故A正确； 由题意可得 由不等式的可加性可得，则 ，故B正确； 课 中 探 究 29 设 ， 则解得所以 ， 易知 由不等式的可加性可得 ,故C正确,D错误.故选 . 课 中 探 究 （2）设，，则 的取值范围是_______， 的取值范围是_______， 的取值范围是______. [解析] ，， ， ，，， ， ， . 课 中 探 究 31 ［素养小结］ 利用不等式的性质求取值范围的策略： （1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，然后利用一次 不等式的性质进行运算，求得待求的范围. （2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是 等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其 取值范围. （3）求解不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范 围，再去求其他式子的范围. 课 中 探 究 32 1.设实数,, ，则( ) A. B. C. D. [解析] ,, , ,, 即 .故选A. √ 课 堂 评 价 33 2. “x>”是“<4”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ [解析] 当x>时,<4,故充分性成立; 当<4时,若=-1<4,则x=-1<,故必要性不成立. 综上,“x>”是“<4”的充分不必要条件.故选A. 课 堂 评 价 34 3.已知，，，， ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] ，， ， ， .故选B. √ 课 堂 评 价 35 4.［2025·浙江温州高一期中］十六世纪中叶，英国数学家雷科德在 《砺智石》一书中首先把“ ”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥 特首次使用“ ”和“ ”符号表示不等关系，并逐渐被数学界接受， 不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，，满足 ， 且 ，则下列选项中一定成立的是( ) A. B. C. D. √ 课 堂 评 价 36 [解析] 对于A，当时， ，故A错误； 对于B，由，，得， 由，得 ，所以，故B正确； 对于C，由B可知， 由 ，得，所以，故C错误； 对于D，由 ，，得，， 所以 ，故D错误.故选B. 课 堂 评 价 37 5.已知 ， 满足则 的取值范围是______. [解析] 设 ， 则解得 ， 又，， ， 故 的取值范围是 . 课 堂 评 价 38 课后习题 39 1.若 ，则下列不等式不一定成立的是( ) A. B. C. D. [解析] 利用不等式的性质可得A，B，D中不等式一定成立， 当， 时，C中不等式不成立.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 2.已知，，那么，，， 的大小关系为( ) A. B. C. D. [解析] 由，得，由得 ， 所以，，所以 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 3.［2025·山东临沂高一期中］已知, ， 则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 设 ， 则解得所以 ， 又,，所以 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 4.已知，且 ，，则， 的大小 关系是( ) A. B. C. D.不能确定 [解析] 因为，所以，所以 ，所以 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 5.甲、乙两人都分两次到同一水果店购买同一种水果，甲每次购买3 千克，乙每次消费50元，若此种水果两次的单价不同，则甲、乙两 次购买此种水果的平均单价( ) A.一样多 B.甲比乙低 C.乙比甲低 D.无法比较 [解析] 设这种水果两次的单价分别为, ，则甲两次购买的 平均单价是，乙两次购买的平均单价是 ， 因为，所以 ， 所以乙两次购买的平均单价比甲低.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 6.如图，数轴上给出了表示实数，， 的三个点，下列判断正确的 是( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 [解析] 由题图可得,, , 所以,,所以 ,故A错误； ,故B错误； 因为,所以 ,又, 所以,又 ,所以,故C错误； 因为, ,且由图可知,即, 所以,又 ,所以 ,故D正确.故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 7.（多选题）已知 ，则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. [解析] 由,可得 ,故选项A不成立； 因为,所以,,所以 ,故选项B成立； 因为,所以,即 ,故选项C成立； 因为,所以,,所以 , 即,故选项D不成立.故选 . √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 8.若，，则与 的大小关系为______． [解析] ,, ,又,, ,即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 9.（13分）[2025·内蒙古包头高一月考] 已知1<x+y<4,2<x-y<3. (1)求y的取值范围; 解：设y=λ(x+y)+μ(x-y),则(λ+μ)x+(λ-μ)y=y,所以 解得所以y=(x+y)-(x-y). 因为1<x+y<4,所以<(x+y)<2①. 因为2<x-y<3,所以-<-(x-y)<-1②. 由①+②得,-1<(x+y)-(x-y)<1,即-1<y<1. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 9.（13分）[2025·内蒙古包头高一月考] 已知1<x+y<4,2<x-y<3. (2)求的取值范围; 解： 因为2<x-y<3,所以<<,又1<x+y<4,所以<<2. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 9.（13分）[2025·内蒙古包头高一月考] 已知1<x+y<4,2<x-y<3. (3)求3x+2y的取值范围. 解： 设3x+2y=a(x+y)+b(x-y),则3x+2y=(a+b)x+(a-b)y,所以解得所以3x+2y=(x+y)+(x-y). 因为1<x+y<4,2<x-y<3,所以<(x+y)<10③,1<(x-y)<④. 由③+④得,<(x+y)+(x-y)<,所以<3x+2y<. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 10.若条件，则下列条件中是条件 的必要条件的有 ( ) 条件；条件；条件 ； 条件 . A.条件和条件 B.条件和条件 C.条件和条件 D.条件和条件 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 [解析] 对于条件,因为,所以, , 所以,所以条件是条件的必要条件； 对于条件,若,则,所以条件不是条件 的必要条件； 对于条件,因为,所以,所以 , 即,所以条件不是条件的必要条件； 对于条件 ,,因为,所以, ,所以, 所以,所以,所以条件是条件 的必要条件. 故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 11.（多选题）已知 ， ，则下列不等式正确 的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 [解析] 对于A,,,即 , ,,故A正确; 对于B, ,,,故B正确; 对于C, ,,, ,故C错误; 对于D,,,又 ,, , ,故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 12.若关于的不等式只有一个整数解2，则实数 的取值范围为______． [解析] 由，得， 因为关于 的不等式只有一个整数解2，所以 解得 ，故实数的取值范围为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 13.设，，为非零实数，且 ，则下列判断正确的有 _______.（填序号） ;;;; . ③④ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 [解析] 对于①，取,,满足 ， 但不成立，故①错误； 对于②，取,, 满足， 但不成立，故②错误； 对于③， ，，，，故③正确； 对于④， , ，，故④正确； 对于⑤，取,, 满足， 但 不成立，故⑤错误.故答案为③④. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.（15分） (1)比较a2+b2与2(2a-b)-5的大小,并指出等号成立的条件; 解:因为a2+b2-[2(2a-b)-5]=a2+b2-(4a-2b-5)=(a-2)2+(b+1)2≥0, 当且仅当时取等号,所以a2+b2≥2(2a-b)-5, 当且仅当时,等号成立. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 14.（15分） (2)设a>b>0,比较与的大小. 解:由a>b>0,得a-b>0,则=>0,>0, 因此===1+>1,所以>. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 15.［2025·江苏南通高一期末］设,,表示，， 中最大的 数.若，且，则,, 的最 小值为__. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 [解析] 令,,,则,, ， ，，因为 ， 所以，所以 . 令,,,,，则 所以,即， 所以,, 的最小值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 16.（15分）［2025·河北邯郸高一期中］ （1）已知，，求 的取值范围； 解：令，， ， 即， 则解得 所以 . 又， ， 所以， ， 所以，即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 （2）已知，都是正实数，比较与 的大小. 解： . 因为，，所以， . 当时，，即 ； 当时，，即 . 综上所述，当时，； 当 时， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 $