2.1 等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦等式性质、恒等式、十字相乘法及方程的解集，课前预习通过诊断分析夯实基础，课中探究设四个递进探究点，从性质应用到恒等变形、因式分解再到方程求解，构建连贯学习支架。 其亮点在于以素养小结贯穿始终，如十字相乘法“拆两头，凑中间”原则培养数学思维，参数方程分类讨论发展推理能力，诊断分析助学生用数学眼光发现问题。学生提升解题逻辑，教师可依托丰富例题与评价体系优化教学。

2.1 等式 1 2.1.1 等式的性质与方程的解集 2 探究点一 等式的性质的应用 探究点二 利用恒等关系化简、证明 探究点三 十字相乘法的应用 探究点四 方程的解集 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.熟练掌握等式的性质,会用等式性质解决恒等式问题,会求方程 的解； 2.了解恒等式,熟练掌握分解因式的一般步骤; 3.能利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，求方程的解集. 4 知识点一 等式的性质 性质 符号语言 对称性 传递性 , 可加减性 可乘性 可除性 , 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）由，得 .( ) √ [解析] 等式两边同加2，得 ，所以正确. （2）由，得 .( ) × [解析] 等式两边同乘2，得 ，所以错误. 课 前 预 习 6 （3）由,得 .( ) √ [解析] 当时，,则 ，所以正确. （4）由，得 .( ) √ [解析] 等式两边同加2，得， 两边同加 ，得，两边同加，得， 两边同除以3，得 ，所以正确. 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） 课 前 预 习 7 （5）由,得， .( ) √ [解析] 等式两边同加，得 ， 两边同时乘个，得 ， 又因为，所以 ，所以正确. 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） 课 前 预 习 8 知识点二 恒等式 1.定义 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取__________时等式都 成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等.恒等式是进行_________ __的依据之一. 任意实数 代数变形 2.常用恒等式 ①对任意的，，，都有 __________________; ②平方差公式： ______________; ③完全平方公式： ______________； ④立方和、立方差公式： _____________________. 课 前 预 习 9 【诊断分析】 （1）化简 _________. （2） ____________________. （3）多项式 分解因式的结果是____________________. 课 前 预 习 10 知识点三 十字相乘法 （1）给定式子，如果能找到和，使得____且 ______,则 ，如图所示，其中两条交叉 的线表示对应数相乘后相加要等于___，因此，这种因式分解的方法 称为“十字相乘法”. 课 前 预 习 11 （2）形如 的二次三项式十字相乘法： 因为 ，所以 二次项系数可分解成，常数项可分解成 ，把二次项系数 分解得到的写到第一列，常数项分解得到的 写到第二列， 写成 的形式，按斜线交叉相乘再相加，就得到 ， 如果它正好等于的一次项系数，那么 就 可以分解成 . 十字相乘要遵循“拆两头，凑中间”的原则. 课 前 预 习 12 ①当常数项为正数时，应把它分解为两个同号因子的积，因子的符 号与一次项系数的符号相同. ②当常数项为负数时，应把它分解为两个异号因子的积，使十字连 线上绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同. ③当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数变为正数， 然后再按照上述方法求解即可. 课 前 预 习 13 【诊断分析】 （1）因式分解： ______________. （2）因式分解： _______________. （3）因式分解： _________________. 课 前 预 习 14 知识点四 方程的解集 1.方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的________的值.一 般地，把一个方程所有解组成的______称为这个方程的解集. 2.方程，当 时解集为_________,当 时解集为_____. 未知数 集合 ， 课 前 预 习 15 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）方程的解集为 .( ) √ [解析] 方程无实数解，所以解集为 . （2）方程的解集为 .( ) √ [解析] 由十字相乘法得 ， 所以方程的解集为 . 课 前 预 习 16 （3）方程的解集为 .( ) √ [解析] ，即，所以 , 所以方程的解集为 . 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） 课 前 预 习 17 探究点一 等式的性质的应用 例1（1）下列说法不正确的是( ) A.若3x-1=2x-1,则x=0 B.若ac=bc,则a=b C.若=,则= D.若=,则y=x √ 课 中 探 究 18 [解析] 对于A,等式两边同时减去(2x-1),得x=0,故A中说法正确; 对于B,当c=0时,满足ac=bc,但a与b不一定相等,故B中说法不正确; 对于C,易知a≠0,在等式两边同时乘a,得到=,故C中说法正确; 对于D,在等式两边同时乘5,得到y=x,故D中说法正确.故选B. 课 中 探 究 19 （2）如果，那么 __. [解析] 由两边同减去，得，将 两边同乘6， 得，因为，所以两边同除以，得 ， 所以 . 课 中 探 究 20 变式 已知,,, ，则下列命题中为假命题的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 √ 课 中 探 究 21 [解析] 对于A，若，则 ，故A为真命题； 对于B，因为,，所以 ， 故B为真命题； 对于C，当时， 无意义，故C为假命题； 对于D，若，则 ，故D为真命题.故选C. 课 中 探 究 22 ［素养小结］ 在运用等式的性质时要注意:等式两边不能同除以0,即0不能作除数 或分母. 课 中 探 究 23 探究点二 利用恒等关系化简、证明 例2（1）化简下列各式. ① ； 解：方法一：原式 . 方法二：原式 . 课 中 探 究 24 例2（1）化简下列各式. ② . 解：方法一：原式 . 方法二：原式 . 课 中 探 究 25 （2）证明下面各个公式. ①三数和平方公式： ； 证明： . ②两数和立方公式： ； 证明： . 课 中 探 究 26 （2）证明下面各个公式. ③两数差立方公式： . 证明： . 课 中 探 究 27 ［素养小结］ 化简的步骤为“一提”“二套”“三检查”“四检验”： （1）先看是否能提取公因式； （2）再看能否套用公式； （3）再检查因式分解是否彻底； （4）最后用多项式乘法检验分解是否正确. 课 中 探 究 28 探究点三 十字相乘法的应用 例3 用十字相乘法分解因式. （1） ； 解：由图①，得 . 课 中 探 究 29 例3 用十字相乘法分解因式. （2） ； 解：由图②，得 . 课 中 探 究 30 例3 用十字相乘法分解因式. （3） ; 解：由图④，得 . 课 中 探 究 31 例3 用十字相乘法分解因式. （4） . 解：先以 为主元，由图⑤， 得 ； 再以 为主元，在 中应用十字相乘法进行因式分解， 得； 最后用求根公式法对 进行因式分解， 得 . 故 &11 课 中 探 究 32 变式 用十字相乘法分解因式. （1） ； 解：由图①，得 . 课 中 探 究 33 变式 用十字相乘法分解因式. （2） ； 解：由图②，得 . 课 中 探 究 34 变式 用十字相乘法分解因式. （3） ； 解：由图③，得 . 课 中 探 究 35 变式 用十字相乘法分解因式. （4） ． 解：先以 为主元，由图④， 得 ， 再由平方差公式得 , 故 ． 课 中 探 究 36 变式 用十字相乘法分解因式 （5）,为常数 ； 解：由图③，得 . 课 中 探 究 37 ［素养小结］ （1）十字相乘法本质是一种针对二次三项式因式分解的方法，其核 心在于将二次项系数和常数项拆分为两组数的乘积，通过交叉相乘 验证中间项系数的匹配性.（2）十字相乘法的局限性：当二次项或常 数项系数为质数且无法满足交叉相乘条件时需用求根公式. 课 中 探 究 38 探究点四 方程的解集 例4（1）求下列方程的解集. ① ； 解：原方程可化为， 整理得，解得 ，故其解集为 . ② ； 解：因为 ，所以原方程可化为 ，解得或，故其解集为, . 课 中 探 究 39 例4（1）求下列方程的解集. ③ . 解：因为 ,所以原方程可化为 ，解得或，故其解集为 . 课 中 探 究 40 （2）［2025·上海普陀区高一期中］已知为实数，求关于 的方程 的解集. 解： 原方程可化为， 当 时，. 若，则方程为 ，显然不成立，方程无解； 若，则方程为，方程的解为； 若 ，解方程得 . 综上，当时，方程的解集为 ；当 时，方程的解集为； 当时，方程的解集为 . 课 中 探 究 41 变式（1）一元二次方程 的解集是( ) A. B. C., D., [解析] 由题得 ， 即，所以或 ， 解得或，所以所求解集为, .故选C. √ 课 中 探 究 42 （2）已知关于的方程的解集为 ，则实数 的值为 ( ) A.0 B.1 C. D. [解析] 由，得， 因为关于的方程 的解集为 ， 所以，解得 .故选C. √ 课 中 探 究 43 （3）如果关于的方程 的解集为单元素集，那么该方程 的解集是( ) A. B. C. D. [解析] 由题意可知且，则原方程可化为 ， 即，由题意可得，解得 ， 故，解得，所以所求解集为 .故选A. √ 课 中 探 究 44 ［素养小结］ （1）求解方程问题的关键是通过同解变形，得到满足等式成立时对 应的<m></m>的值，一些变形过程要注意对等式性质的应用； （2）求解一元一次方程,若一次项系数含参数,则要对其是否为0进行 讨论. 课 中 探 究 45 1.下列说法中正确的是( ) A.如果，那么 B.如果 ，那么 C.如果，那么 D.如果，那么 [解析] 如果，那么当时， 不成立，故A错误； 由 ，可知，则，即 ，故B正确； 如果,那么当时，，无意义，故C错误； 如果 ，那么或 ，故D错误.故选B. √ 课 堂 评 价 46 2.下列各数中,不属于方程|x3-4x|·=0的解集的是 ( ) A.2 B.-2 C.0 D.-1 [解析] 由|x3-4x|·=0可得x3-4x=0或x+1=0且x+1≥0, 解得x=0或x=2或x=-1.故选B. √ 课 堂 评 价 47 3.下列因式分解正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，应该是 ，故A错误; 对于B，应该是 ，故B错误； 对于C，D， ，故C错误，D正确.故选D. √ 课 堂 评 价 48 4.［2025·上海青浦区高一期中］已知 ，则方程 的解集为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 评 价 49 [解析] 当时,原方程可化为 ,解得； 当时,原方程可化为 ,解得,舍去； 当 时,原方程可化为,解得,舍去； 当 时，原方程可化为，解得 . 综上，方程的解集为 . 故选D. 课 堂 评 价 50 5.已知等式2x2+3x+5=2ax2+a(3x+1)+c恒成立,则c-a=　　. 3 [解析] 因为2x2+3x+5=2ax2+a(3x+1)+c恒成立, 所以2x2+3x+5=2ax2+3ax+(a+c)恒成立, 所以解得所以c-a=3. 课 堂 评 价 51 课后习题 52 1.下列等式中，属于恒等式的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，当时，，故A错误； 对于B，取 , ，则 ，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，取 ,可得,与 无意义，故D错误.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 2.已知多项式分解因式为 ，则( ) A., B., C., D., [解析] , ， .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 3.将分别加上下列各项，其中不能化成 的形式的是 ( ) A. B. C. D. [解析] 对于A， ，故A不符合题意； 对于B， ，故B不符合题意； 对于C， ，故C不符合题意； 对于D， 不能运用完全平方公式分解因式， 故D符合题意.故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 4.已知，其中, ,则符合条件的 整数 的个数为( ) A.3 B.4 C.6 D.8 [解析] , 整数的值可以为,, ，共6个.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 5.若，则 的值为( ) A. B. C. D. [解析] , 解得 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 6.若对任意x∈R,不等式|x|≥ax恒成立,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,-1) B.[-1,1] C.(-1,1) D.(1,+∞) [解析]当x=0时,不等式|x|≥ax恒成立; 当x>0时,不等式|x|≥ax即为x≥ax,解得a≤1; 当x<0时,不等式|x|≥ax即为-x≥ax,解得a≥-1. 综上,要使对任意x∈R,不等式|x|≥ax恒成立,则实数a的取值范围是[-1,1]. 故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 7. 若关于x的方程=的解集为∅,则m=　　.  1 [解析]对方程=变形,可得x-3=-m(x≠2),所以x=3-m(x≠2), 因为方程的解集为∅,所以3-m=2,解得m=1. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 8.分解因式x2+ax+b时,甲看错a的值,分解的结果是(x+6)(x-1),乙看 错b的值,分解的结果是(x-2)(x+1),则正确的因式分解结果为　　　　.  (x-3)(x+2) [解析] (x+6)(x-1)=x2+5x-6,甲看错a的值,则b=-6.(x-2)(x+1)=x2-x-2, 乙看错b的值,则a=-1,∴x2+ax+b=x2-x-6=(x-3)(x+2). 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 9.（13分） （1）已知关于的方程的解集为 ，求 的值. 解：由题知2是方程的解，所以 ，解得 ，所以 . （2）求关于的方程 的解集. 解：原方程可以化为 ,即. 当时,方程的解集为 ；当时，方程的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 10.［2025·上海普陀区高一期末］下列说法正确的是( ) A.解方程时，可以在方程两边同时除以 ， 得，解得 B.解方程时，对比方程两边知 ， ，解得 C.解方程 时，只要将两边开平方，方程就变形 为，从而解得 D.若一元二次方程的常数项为0，则0必为它的一个根 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 [解析] 对于A，在解方程的过程中，两边同时除以 ， 就产生失根即，所以原方程的根为或 ， 故A错误； 对于B，对比方程可知 或 可得或 ，故B错误； 对于C，对方程，两边开平方， 可得 ，解得或 ，故C错误； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 对于D，若一元二次方程的常数项为0， 则方程为，即 ， 解得或，则 必为方程的一个根，故D正确.故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.（多选题）下列分解因式正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，根据十字相乘法分解因式可知A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，根据平方差公式可知C正确； 对于D，根据完全平方公式可知D正确.故选 . √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 12.化简:(x+1)3-(x-1)3=　　　　.  6x2+2 [解析] (x+1)3-(x-1)3=[(x+1)-(x-1)][(x+1)2+(x+1)(x-1)+(x-1)2]= 2(3x2+1)=6x2+2. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 13.已知集合A={x|2x2-x-3=0},B={x|ax2-x-3=0},若B⊆A,则实数a的取值 范围为  　 　 　 　 　 　　. [解析] A={x|2x2-x-3=0}=. 当B=∅时,a≠0且Δ=1+12a<0,解得a<-,满足题意. 当B≠∅时,①当B中只有一个元素时,若B中的方程为一元二次方程, 则可得a=-,此时B={-6},不满足B⊆A; 若B中的方程为一元一次方程,则a=0,此时B={-3},不满足B⊆A. ∪{2} 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 ②当B中有两个元素时,B=A,易得a=2,满足题意. 综上,实数a的取值范围为∪{2}. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 14.（15分）将下列各式应用十字相乘法进行因式分解. （1） ； 解：由十字相乘法，得 （2） ； 解：由十字相乘法，得 （3） ； 解：先提取，得 ， 再由十字相乘法，得 , 故 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 （4） ； 解：先提取 ,再由十字相乘法，得 . （5） . 解：将 看作一个整体，应用十字相乘法进行因式分解， 而后在每个因式里应用十字相乘法进行因式分解，所以原式 . 14.（15分）将下列各式应用十字相乘法进行因式分解. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 70 15.在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形 （如图①），将余下的部分剪接拼成一个长方形（如图②），根据 两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为( ) ① ② A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 [解析] 图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积 为 ，因为两个图形中阴影部分的面积相等， 所以 .故选B. ① ② 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 16. （15分） 已知等式对任意的实数 恒成立，求所有实数对 的集合. 解: 由题得对任意的实数 恒成立， 所以所以或或或 所以所有实数对的集合为,,, ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 73 $