1.1 集合 1.1.1 集合及其表示方法 第2课时 集合的表示(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦集合的表示方法，涵盖列举法、描述法及区间表示，通过课前预习的知识点梳理与诊断分析，衔接初中数集知识，搭建从具体元素列举到抽象特征描述的学习支架，引导学生逐步掌握集合表示的规范。 其亮点在于以“数学眼光”辨析元素属性（如点集与数集的区别），“数学思维”训练逻辑推理（如例2通过元素乘积求集合N），“数学语言”强化符号规范（如区间端点的开闭判断）。采用“诊断-探究-评价”闭环设计，例题结合方程求解等情境，帮助学生夯实基础，提升符号运用能力，教师可利用分层习题和素养小结优化教学效率。

1.1 集合 1.1.1 集合及其表示方法 1 第2课时 集合的表示 2 探究点一 列举法表示集合 探究点二 用描述法表示集合 探究点三 用区间表示集合 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 能用符号语言刻画集合,能正确使用区间符号表示某些集合. 4 知识点一 集合的表示法 1.列举法：把集合中的元素__________出来（相邻元素之间用逗号分 隔），并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法. 一一列举 2.描述法：一般地，如果属于集合的任意一个元素 都具有性质 ，而不属于集合的元素都不具有这个性质，则性质 称为集 合的一个特征性质.此时，集合可以用它的特征性质 表示为 __________，这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为 描述法. 集合中所有在另一个集合 中的元素组成的集合，可以表示 为____________. 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）方程的实数根组成的集合可以写作, 或{1,-2}或{x|(x-1)(x+2)=0}. ( ) √ [解析]解方程得x=-2或x=1,用列举法表示其组成的集合为{-2,1}或{1,-2}, 用描述法表示其组成的集合为{x|(x-1)(x+2)=0}. （2）由直线 上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的 集合为,, .( ) × [解析] 直线上的点是点集，不是数集，因此用描述法表示为 , }. 课 前 预 习 6 （3）集合 中的元素是1和2.( ) × [解析] 所给集合的元素是有序实数对，所以元素应当为 . （4）集合与集合 表示同一个集合．( ) √ [解析] 由得，故集合和 表示同一个集合. 课 前 预 习 7 知识点二 区间及其表示 1.已知,是两个实数，且 . 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 ______ _____________________________________ _____________ 开区间 _____________________________________ 半开半闭区间 ______ _____________________________________ _____________ 半开半闭区间 _____________________________________ 课 前 预 习 8 2.如果用“ ”表示“正无穷大”，用“ ”表示“负无穷大”，则实数 集 可表示为区间__________. 定义 区间 数轴表示 ________ ___________________________________ __________ ___________________________________ __________ __________________________________ ________ ____________________________________ 课 前 预 习 9 【诊断分析】 （1）在集合中，当时，集合为 ，那么在区间 中,, 是否可以相等？ 解：无论是闭区间还是开区间，区间中的两个端点都不能相等. （2）空集能否用区间表示？ 解：由于空集没有任何元素,故在数轴上找不到实数与之对应, 所以空集不能用区间表示. 课 前 预 习 10 探究点一 列举法表示集合 例1 用列举法表示下列集合,并指出是有限集还是无限集. （1）方程组 的解集; 解：由解得 故方程组的解集为 ，该集合是有限集. （2）集合 ; 解：由，解得 ，则 ,该集合 是有限集. 课 中 探 究 11 （3）被3除余2的正整数组成的集合； 解：被3除余2的正整数可表示为 ,所以被3除余2的 正整数组成的集合是,5,8, ,, ，该集合是无限集. （4）N*. 解：N*为正整数集,故N*用列举法表示为{1,2,3,…},该集合为无限集. 课 中 探 究 12 例2 [2026·云南昭通高一期中] 已知集合M={-2,0,1},N={xy|x∈M,y∈M}, 则集合N= ( ) A.{0,1,4} B.{-4,-2,0,1} C.{-2,0,1,4} D.{-4,-2,0,1,4} [解析] ∵M={-2,0,1},x∈M,y∈M,∴x可取-2,0,1且y可取-2,0,1, 又-2×(-2)=4,1×1=1,-2×0=1×0=0×0=0,-2×1=-2,∴xy=-2,0,1,4, ∴N={-2,0,1,4}.故选C. √ 课 中 探 究 13 ［素养小结］ 列举法表示集合的步骤及注意事项: （1）列举法表示集合要分清元素的属性，即元素是数、是点还是图 形，若是点，则要用坐标表示，元素与元素之间用“，”隔开. （2）列元素时要做到不重复、不遗漏. （3）元素个数较少的有限集或元素间存在明显规律的无限集可用列 举法表示.但具有一定规律的无限集,如<m></m>,2,3,4,<m></m>,就要考虑元素间的 规律性,不能写成<m></m>,1,4,3,<m></m>.列举法在表示无限集时若用到字母,则需 要在集合后注明字母范围. 课 中 探 究 14 探究点二 用描述法表示集合 例3 用描述法表示下列集合,并指出是有限集还是无限集. （1）二次函数 的图象上所有的点组成的集合； 解：二次函数 的图象上所有的点组成的集合为 ，该集合是无限集. （2）满足不等式的实数 组成的集合; 解：由不等式,解得,则所求集合为 ， 该集合是无限集. 课 中 探 究 15 （3）平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； 解：设点在第四象限,则, ,所以平面直角坐标系中第 四象限内的点组成的集合为且 ，该集合是无限集. （4）所有正偶数组成的集合. 解：所有正偶数组成的集合为， ，该集合是无限集. 课 中 探 究 16 例4 [2026·江西九江高一期中] 已知集合A={x|1<x<k,x∈N},若集合A中 恰有5个元素,则 ( ) A.6<k<7 B.6≤k<7 C.6<k≤7 D.6≤k≤7 [解析] 若集合A={x|1<x<k,x∈N}中恰有5个元素,则A={2,3,4,5,6}, 所以6<k≤7.故选C. √ 课 中 探 究 17 ［素养小结］ 描述法表示集合的步骤及注意事项： （1）确定集合中元素的特征. （2）给出其满足的性质. （3）根据描述法的形式写出其满足的集合. （4）用描述法表示集合时,要注意表示形式的规范,在通常情况下,集 合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如,方程 <m></m>的实数解组成的集合可表示为<m></m>,也可 写成<m></m>. 课 中 探 究 18 探究点三 用区间表示集合 例5 用区间表示下列集合： （1） ； 解： . （2） ； 解： . （3） . 解： . 课 中 探 究 19 变式（1）已知区间，则 的取值范围是__________. [解析] 由题意得，解得，即 的取值范围为 . （2）用区间表示且 为_______________. [解析] 且用区间表示为 . （3）使有意义的 的取值范围为________（用区间表示）. [解析] 要使有意义，则，即 ，用区间表示为 . 课 中 探 究 20 ［素养小结］ 解决区间问题应注意的五点： （1）区间的左端点<m></m>必须小于右端点<m></m>，有时我们将<m></m>称为区间 长度.对于只有一个元素的集合，我们仍然用集合来表示，如当<m></m> 时，用<m></m>表示. （2）注意开区间<m></m>与点<m></m>在具体情景中的区别. （3）用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别. 课 中 探 究 21 （4）对于一个不等式的所有解组成的集合，我们既可以用集合形式 来表示，也可以用区间形式来表示. （5）要注意区间表示实数集的几条原则：数集是连续的、左小、右 大、开或闭不能混淆、用“ ”或“ ”作为区间端点时要用开区 间符号. 课 中 探 究 22 1.集合 可用区间表示为( ) A. B. C. D. [解析] 集合可表示为 . √ 课 堂 评 价 23 2.集合 表示( ) A.方程 B.点 C.平面直角坐标系中所有点组成的集合 D.函数 的图象上所有点组成的集合 [解析] 表示坐标平面上的点，且点在函数 的图 象上.故选D. √ 课 堂 评 价 24 3.已知集合，则用列举法表示 为( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以,2,3,6，可得,1,0, ， 因为，所以,2，则集合 .故选B. √ 课 堂 评 价 25 4.直角坐标平面中除去两点， 可用集合表示为( ) A.,,, B. C. D. √ 课 堂 评 价 26 [解析] A选项中除去的是四条线,,, ，故A选 项错误； B选项中除去的是或除去的是 或者同时除去两个点， 故B选项错误； C选项中 且，即除去 两点， ，故C选项正确； D选项中任意点 都不能使 成立，即不能同时排除， 两点，故D选项错误.故选C. 课 堂 评 价 27 5. 已知集合，其中为常数，且 . （1）若是空集，求实数 的取值范围； 解：若是空集，则方程 无解，此时 ，解得 ， 故实数的取值范围为 . 课 中 探 究 28 （2）若中只有一个元素，求 的值； 解：若中只有一个元素，则方程 有且只有一个实根. 当时，该方程为一元一次方程，满足条件; 当 时，有，解得. 综上，或 . （3）若中至多只有一个元素，求实数 的取值范围. 解：若中至多只有一个元素，则为空集，或 中有且只有一个元素, 由（1）（2）得满足条件的实数的取值范围是 . 5. 已知集合，其中为常数，且 . 课 中 探 究 29 课后习题 30 1.［2025·云南红河高一期中］若集合 中只 有一个元素，则 ( ) A.0 B.1 C.0或 D.0或1 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 [解析] 当时，方程只有一个解 ，则集合 中只有一个元素，因此满足题意； 当 时，由集合中只有一个元素，得 有两个相等 的实根，则，解得，满足题意. 综上可得，或 .故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.下列叙述正确的是( ) A.用区间可表示为 B.用区间可表示为 C.用集合可表示为 D.用集合可表示为 [解析] 对于A，用区间可表示为 ，故A错误； 对于B，用区间可表示为 ，故B错误； 对于C，用集合可表示为，故C错误； 对于D， 用集合可表示为 ，故D正确.故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 3.［2025·山东威海高一期末］给出下列说法： ①在平面直角坐标系内，第一、三象限内的点组成的集合为 ； ②所有奇数组成的集合为 ； ③集合与 是同一集合. 其中正确说法的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.0 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 [解析] 第一象限内的点的坐标满足,，即 ，第 三象限内的点的坐标满足,，即 ，故①正确； 所有奇数组成的集合为, ，故②错误； 集合是点集，集合 表示数集，不是同一 集合，故③错误.故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 4. [2026·河南郑州高一期中] 已知集合A={1,9},B={x|x2∈A},则B中的元素 个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 [解析] ∵A={1,9},B={x|x2∈A},∴B={-3,-1,1,3},∴B中共有4个元素. 故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 5.在直角坐标系内，坐标轴上的点构成的集合可表示为( ) A.，或， B.且 C. D.， 不同时为零} √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 [解析] A中的集合表示轴和 轴上的点，但不包含原点，故A错误； B中的集合只有一个元素，就是原点，故B错误； 对于C，由 可知或 ，即表示坐标轴上的点构成的集合， 故C正确； D中的集合表示平面中的点，但不包含原点，故D错误.故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知集合,，, ， ,，,，若 ， ，则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 因为，，所以， ，其中 ,，所以，其中 ，所以 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 7.(多选题)[2026·湖南岳阳高一期中] 下列说法正确的是 ( ) A.奇数集可以表示为{x∈Z|x=2k+1,k∈Z} B.“小于10的整数”构成的集合可以表示为{x|x<10} C.{x|x>2}表示大于2的全体实数 D.不等式≥0的解集为{x|x≤-1或x≥1} √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 [解析]对于A,当k∈Z时,2k+1表示所有的奇数,故A正确; 对于B,{x|x<10}表示小于10的实数集,故B错误; {x|x>2}表示大于2的全体实数,故C正确; 对于D,x=±1不是不等式≥0的解,故D错误.故选AC. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 8.若[a,3a+1]为一个确定区间,则a的取值范围是 　 　 　 　. [解析] 根据区间表示数集的方法原则可知,3a+1>a,解得a>-, 所以a的取值范围是. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 9.方程组的解集为　　　　　　.  {(2,6),(6,2)} [解析]由x+y=8,得y=8-x,代入xy=12,可得x2-8x+12=0,解得x=2或x=6, 当x=2时,y=6,当x=6时,y=2,所以方程组的解集为{(2,6),(6,2)}. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 10.（13分）用适当的方法表示下列集合： （1）奇数的集合； 解：奇数的集合用描述法表示为, }. （2）正偶数的集合； 解：正偶数的集合用描述法表示为, . （3）,, ； 解：,,,, . （4）不等式 的解集. 解：由，解得，所以不等式的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 11.已知集合M={-1,1,2},则集合N={y|x∈M,y-x∈M}中元素的个数是 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 √ [解析] 当x=-1时,y的可能取值为-2,0,1,当x=1时,y的可能取值为0,2,3, 当x=2时,y的可能取值为1,3,4.故N={-2,0,1,2,3,4},共包含6个元素.故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 12.下列说法中正确的是( ) A.方程 的解能用集合表示 B.集合 是有限集 C.区间 是只含2,3两个元素的集合 D.对于区间， 可以取任何数 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 [解析] 对于A,原方程无解,所以其解能用空集表示,故A正确; 对于B,满足的有无数个,集合 是无限集,故B错误； 对于C，区间 表示的是大于等于2且小于等于3的所有实数，故C错误； 对于D，由，得 ，故D错误.故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.（多选题）下列四个说法中正确的是( ) A.方程的解集为, B.由所确定的实数集合为,0, C.集合,,}用列举法表示为 , , D. 中含有3个元素 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 [解析] 对于A,方程的解为 解集为 ，故A错误. 对于B，当，同为正数时， ； 当，一正一负时，； 当，同为负数时， . 故由所确定的实数集合为,0, ，故B正确. 对于C，因为,,，所以当时， ； 当时，；当时，.故集合 , ,}可以化简为,, ，故C正确. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 对于D，因为,，所以当时，； 当时， ；当时，；当时， . 故,0,1,，则 中含有4个元素，故D错误. 故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.（13分）已知集合， ， 试问集合与 中有几个相同的元素？并写出由这些相同元素组成的 集合． 解：因为，，所以当时，； 当 时， ；当时， . 所以，，所以集合与 中有2个相同的元素， 集合,中的相同元素组成的集合为 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 ★15.已知集合, }中只有一个整数元素， 则实数 的取值范围为______. [解析] 因为集合, }中只有一个整数元 素，所以，即，此时，所以 可得 ，故实数的取值范围为 . [易错] 本题不等式组中,两个不等式均不能取等,无论哪一个不等式取到等号,集合A中的整数元素都不止一个. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 16. （15分）［2025·上海普陀区高一期末］对正整数，记 ,2,3, , , .用列举法表示集合. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 [解析] 当时，.对于 ， 当，时，；当，时，； 当 ，时，.当，时，； 当 ，时，；当，时，. 当 ，时，；当，时， ； 当，时， . 综上， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 $