1.1 集合 1.1.1 集合及其表示方法 第1课时 集合的概念及几种常见的数集(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦集合的概念、元素与集合的关系、元素特征及常用数集，通过课前预习的知识点梳理与诊断分析导入，课中探究分四个层次递进，形成从概念理解到关系判断再到特征应用的学习支架，帮助学生逐步构建知识体系。 其亮点在于以探究式学习培养核心素养，如通过“视力较好的同学能否组成集合”等实例引导学生用数学眼光观察确定性，结合元素互异性求参数问题发展数学思维的推理能力，利用常用数集符号记法强化数学语言的符号意识。采用诊断分析、例题变式及素养小结，学生能深化理解，教师可明确教学重难点提升效率。

1.1 集合 1.1.1 集合及其表示方法 1 第1课时 集合的概念及几种常见的数集 2 探究点一 集合的概念 探究点二 元素与集合的关系 探究点三 集合中元素的特点 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 探究点四 常用数集及其记法 3 【学习目标】 1.正确了解集合的含义,会判断哪些研究对象能组成集合哪些不 能组成集合; 2.理解元素与集合的属于关系,了解空集的含义; 3.能正确判断两集合是否相等,并熟记常见数集的符号表示. 4 知识点一 集合、元素的相关概念及元素的特征 1.集合与元素的概念 定义 符号表示 集合 把一些能够________、________对 象汇集在一起，就说由这些对象组 成一个集合 用英文大写字母___，…表示 元素 组成集合的__________都是这个集 合的元素 用英文小写字母 ______，…表示 确定的 不同的 ， 每个对象 ,, 课 前 预 习 5 2.元素与集合的关系 （1）如果是集合的元素，就记作______，读作“______ ”. （2）如果不是集合的元素，就记作______，读作“________ ”. (3)一般地,我们把　　　　　　　　的集合称为空集,记作∅.  属于 不属于 3.集合中元素的特点：集合中元素的三个特点为_______、_______、无序性. 4.集合的相等：给定两个集合和 ,如果组成它们的元素__________, 就称这两个集合相等,记作 . 确定性 互异性 完全相同 5.集合的分类 根据它含有的元素个数分为两类:含有有限个元素的集合称为______ ___,含有无限个元素的集合称为________.空集是________. 有限集 无限集 有限集 不含任何元素 课 前 预 习 6 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）平面上到点 的距离等于1的点能够组成一个集合,每一个点都是 这个集合中的一个元素.( ) √ [解析] “平面上到点 的距离等于1的点”是确定的，能够组成集合, 组成集合的每个对象,也就是每个点,都是集合中的一个元素. （2）人教B版必修第一册课本上所有的难题能够组成一个集合.( ) × [解析] “人教B版必修第一册课本上所有的难题”不是确定的，不能组 成集合. （3）集合中的每个元素在集合中都只出现一次. ( ) √ [解析]集合中的元素应满足互异性,故每个元素在集合中均只出现一次. 课 前 预 习 7 (4)书包中有语文、数学等9本不同的书,若将这些书整理后再放回书包中, 设这些书整理前组成集合A,整理后组成集合B,由于这些书的顺序发生改 变,所以A≠B. ( ) [解析] 根据集合相等的定义可知A=B. × 课 前 预 习 8 2. 由空集的定义可得,0　　∅.(填“∈”或“∉”)  [解析] 空集中不包含任何元素,故0∉∅. ∉ 课 前 预 习 9 3. 下列集合中,哪些是有限集?哪些是无限集? (1)方程=0的所有实数解组成的集合; 解：方程=0无实数解,故方程=0的所有实数解组成的集合为空集, 是有限集. (2)使式子x+1>0成立的所有自然数组成的集合. 解：使式子x+1>0成立的所有自然数为0,1,2,…,是无限集. 课 前 预 习 10 知识点二 常用数集及其记法 名称 __________ __________ ______ __________ ______ 记法 或 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 课 前 预 习 11 （2）集合中含有元素 .( ) × [解析] 是无理数，不是 中的元素. （3） .( ) × [解析] 0是自然数. （4）方程在 中无解.( ) √ [解析] 方程的解是无理数，所以方程在 中无解. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）方程的解是集合 中的元素.( ) √ [解析] 1是整数. 课 前 预 习 12 探究点一 集合的概念 例1（1）［2025·黑龙江绥化高一期中］下列选项中能组成集合的是 ( ) A.某班视力较好的同学 B.某小区长寿的人 C. 的近似值 D.方程 的实数根 √ 课 中 探 究 13 [解析] 对于A，描述的对象“视力较好”的标准不明确，不能构成集合； 对于B，描述的对象“长寿”的标准不明确，不能构成集合； 对于C，没有给出精确度，描述的对象“ 的近似值”不明确，不能构成 集合； 对于D，方程的实数根是 和1，是确定的，能构成集合. 故选D. 课 中 探 究 14 （2）（多选题）下列选项中能组成集合的是( ) A.中国各地最美的乡村 B.单词look 的所有字母 C.参加第二十四届冬季奥林匹克运动会的各国运动员 D.小于10的自然数 [解析] 选项A中,中国各地最美的乡村没有确定的标准,不能组成集合, 选项B中,出现重复字母,不能组成集合, 选项C,D中的元素标准明确,能组成集合.故选CD. √ √ 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 确定性、互异性、无序性是判断一组对象能否构成集合的标准.如果 这组对象是“确定无疑”的,并且是互不相同的，无论以何种顺序排列 都可以构成集合. 课 中 探 究 16 探究点二 元素与集合的关系 [探索] 某中学2026级高一年级20个班组成集合A,高一(2)班所有学生组 成集合B. (1)高一(2)班、高二(8)班是集合A中的元素吗? (2)高一(4)班的学生是集合B中的元素吗? 解: 因为集合B是由高一(2)班的学生组成的,所以高一(4)班的学生不是 集合B中的元素. 解:因为集合A是由高一年级20个班组成的,所以高一(2)班是集合A中 的元素,高二(8)班不是集合A中的元素. 课 中 探 究 17 例2 设集合是由满足的有序实数对组成的，则 ___ ，___，___.（填 或 ） [解析] 因为不是有序实数对，所以；满足 ， 所以；不满足，所以 . 课 中 探 究 18 变式（1）已知2,3,4是集合中的元素,2,4,6是集合中的元素,若 且,则 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6 [解析] 集合中的元素3不在集合 中,且仅有这个元素符合题意， 故 . √ 课 中 探 究 19 （2）由所有能被3整除的数组成的集合为 ，则下列数中一定是集 合 的元素的是______. ①能被2整除的数； ②能被6整除的数； ③能被 整除的数； ④能被5整除的数. ②③ [解析] 能被2整除的数不一定能被3整除，能被6整除的数一定能被3 整除，能被 整除的数一定能被3整除，能被5整除的数不一定能被 3整除，所以一定是集合 的元素的是②③. 课 中 探 究 20 ［素养小结］ 判断元素与集合关系的方法: 当集合中的元素直接给出时,首先明确集合是由哪些元素构成的, 然后判断该元素在已知集合中是否出现. 课 中 探 究 21 探究点三 集合中元素的特点 [探索] 某中学2026级高一年级20个班组成集合A,若a∈A,b∈A,则元素 a,b有什么关系?为什么? 解:a与b是两个不同的班,这是因为集合A中的元素具有互异性. 课 中 探 究 22 例3（1）已知集合中含有两个元素,，若 ， 则实数 的值为( ) A. B.1 C.5或 D. 或1 √ 课 中 探 究 23 [解析] 因为中有两个元素，且，所以 或 . 当，即时， ，不满足集合元素的 互异性，舍去. 当时， 或. 若，则， ，此时不满足集 合元素的互异性，舍去； 若，则， ，此时集合中的元素为2，， 符合题意. 综上所述，实数 的值为1.故选B. 课 中 探 究 24 （2）已知集合中含有三个元素2，，，集合中含有三个元素 ， 2，，且中的元素均为中的元素.若，均是整数，则 ___， ___. 0 1 课 中 探 究 25 [解析] 根据集合中元素的互异性，有或解得 或或其中 不满足集合中元素的互异性， 不是整数.故满足题意的是， . 课 中 探 究 变式 已知集合是由0，， 三个元素构成的集合，且 ，则实数 的值为___. 3 [解析] 由题意知，或，解得或 或. 经验证，当或 时，不满足集合中元素的互异性； 当时，满足题意.故 . 课 中 探 究 27 ［素养小结］ 利用集合中元素的特点求参数的注意事项： （1）根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能取值，再 根据集合中元素的互异性对参数进行检验； （2）利用集合中元素的特点解题时，要注意分类讨论思想的应用. 课 中 探 究 28 探究点四　常用数集及其记法 例4 (1)下列关系中正确的个数为 ( ) ①∈Q;②-1∉N;③π∉R;④|-4|∈Z; ⑤±∈N;⑥若a是无理数,则a2∈Q. A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] ①∵是无理数,∴∉Q,故①错误;②-1∉N,故②正确; ③∵π是实数,∴π∈R,故③错误;④∵|-4|=4是整数,∴|-4|∈Z,故④正确; ⑤±=±5,而5∈N,-5∉N,故⑤错误; ⑥若a是无理数,则a2不一定是有理数,故⑥错误.故选B. √ 课 中 探 究 29 (2)(多选题)下列说法正确的有 ( ) A.N与N*是同一个集合 B.N中的元素都是Z中的元素 C.Q中的元素都是Z中的元素 D.Q中的元素都是R中的元素 [解析] 因为N*表示正整数集,N表示自然数集,Z表示整数集, Q表示有理数集,R表示实数集,所以A,C中的说法不正确,B,D中的说法正确. 故选BD. √ √ 课 中 探 究 30 1.下列说法正确的是( ) A.某个村子里的高个子组成一个集合 B.所有小的正数组成一个集合 C.集合中有3个元素,,,集合中有三个元素,,,则集合 与集合 表示同一个集合 D.1,,,,, 这六个数能组成一个集合 √ 课 堂 评 价 31 [解析] 在A中，某个村子里的高个子没有一个明确的标准，不符合 集合中元素的确定性，不能构成集合，故A错误； 在B中，所有小的正数没有一个明确的标准，不符合集合中元素的 确定性，不能构成集合，故B错误； 在C中，集合中有三个元素,,,集合 中有三个元素,,,由集合中 元素的无序性可知集合与集合 表示同一个集合，故C正确； 在D中，1,,,,, 中含有相同的数，不符合集合中元素的互异性， 故D错误.故选C. 课 堂 评 价 32 2.已知集合是由不小于的数组成的集合， ，则下列关 系中正确的是( ) A. B. C. D. [解析] ,， ,故选B. √ 课 堂 评 价 33 3.［2025·江苏镇江高一期中］下列关系中正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，因为不是正整数，所以 ，故A错误； 对于B，因为 不是有理数，所以 ，故B正确； 对于C，因为0是自然数，所以，故C错误； 对于D，因为不是整数，所以 ，故D错误.故选B. √ 课 堂 评 价 34 4.设集合中有两个元素，，若，则 ( ) A. B.0 C.1 D.3 [解析] 因为集合中有两个元素，，且 ，所以 ，可得，解得 .故选C. √ 课 堂 评 价 35 5.由实数，，，及 所组成的集合中，最多含有___个 元素. 2 [解析] 因为或，，，所以不论 取何 值，集合中最多含有2个元素， ． 课 堂 评 价 36 课后习题 37 1.下列说法正确的是( ) A.我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B.联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C.数1,0,5,,,, 组成的集合中有7个元素 D.由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1,2,3,4 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 [解析] 对于A，因为“很喜欢足球的同学”没有明确的标准，不符合 集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的 确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在 ，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为0,1,2,3,4，故D错误. 故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 2.集合中的元素满足 ，则( ) A. B. C. D. [解析] 因为集合中的元素满足，所以， ， ， .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 3.下列关系正确的个数为( ) ；；；； . A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 因为12是实数，所以 ，故①正确； 因为2是有理数，所以，故②正确； 因为是自然数，所以 ，故③正确； 因为是整数，所以 ，故④正确； 因为0是自然数，所以 ，故⑤不正确.故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 4.若以方程和 的所有的解为元素组成 集合，则集合 中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 方程的解为或 ，方程 的解为或，所以集合 中含有3个元素. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 5.若以集合中的四个元素，，， 为边长构成一个四边形，则这 个四边形可能是( ) A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 [解析] 由题知，，， 四个元素互不相同，则它们组成的四边形 的四条边长都不相等．故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 6.已知集合是由形如其中, 的数组成的，则下列属 于集合 的是( ) ；； . A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ [解析] 中，，，符合条件； 中，，，符合条件； 中，， ，不符合条件． 故属于集合 的是①②.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 7.（多选题）［2025·内蒙古赤峰高一期中］ 设集合 是以方程 的根为元素的集合，若集合 中只有一个元素，则 的值可能为( ) A. B.0 C.1 D.2 [解析] 当时，由方程，解得，此时 ， 符合题意； 当时，一元二次方程 有两个相等的实根， 则，解得 ，此时， 符合题意. 综上，或 .故选 . √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 8. (多选题)已知x,y,z为非零实数,代数式+++的值组成的集 合为A,则下列判断正确的是 ( ) A.-2∈A B.0∉A C.-4∈A D.4∈A [解析] 依题意,当x,y,z都为正数时,代数式的值为4; 当x,y,z中只有一个负数时,代数式的值为0; 当x,y,z中只有一个正数时,代数式的值为0; 当x,y,z都为负数时,代数式的值为-4.故选CD. √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 9.（13分）设x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x. (1)求实数x应满足的条件; (2)若-2∈A,求实数x的值. 解：因为x2-2x=(x-1)2-1≥-1,且-2∈A,所以x=-2. 解：根据集合中元素的互异性,可知解得x≠0且x≠3且x≠-1. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 10.若集合中有两个元素，，且，则实数 的值为 ( ) A. B.2 C.2或 D.2或4 [解析] 因为，所以或，且 ，可得 . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 11.（多选题）［2025·重庆江北区高一期中］ 已知集合中元素 满 足，，集合中元素满足， ，若 ,， ，则( ) A. B. C. D. [解析] 设,, ，则 ，故A错误，C正确； ，故B正确； ，故D正确. 故选 . √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 12.已知且且．若中只有1个元素， 则___；若中有2个元素，则 _____________． 2 0或1或3或4 [解析] 因为且，所以,1,2,3,4. 当 ,即时，中只有1个元素； 当，即或1或3或4时， 中有2个元素. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 13.已知集合A中的元素为2,a2-1,a2-a,集合B中的元素为0,a2-a-3, 若3∈A,则集合B中最大的元素为　　.  3 [解析]因为3∈A,所以a2-1=3或a2-a=3.由a2-1=3,解得a=2或a=-2. 当a=2时,集合A中元素不满足互异性; 当a=-2时,集合A中的元素为2,3,6,满足题意,此时集合B中的元素为0,3. 当a2-a=3时,集合B中元素不满足互异性.综上,集合B中最大的元素为3. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 14.（15分）已知集合A中的元素为a-3,2a+1,a2+1,集合B中的元素为0,1,x. （1）若，求 的值. 解：显然 . 当，即时，,，此时集合 不满 足集合的互异性； 当，即时，, ，此时 ,,.故 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 （2）是否存在和使得组成集合,的元素相同？若存在，求出 和 的值；若不存在，请说明理由. 解：由题意可得， . 若，则,，组成集合， 的元素不相同， 不符合题意； 若，则,，组成集合， 的元素不相 同，不符合题意. 故不存在实数和，使得组成集合， 的元素相同. 14.（15分）已知集合A中的元素为a-3,2a+1,a2+1,集合B中的元素为0,1,x. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 15. (多选题)[2026·贵州遵义高一期中] 已知由实数组成的非空集合A满足: 若x∈A,则∈A.则下列结论正确的是 ( ) A.若2∈A,则-∈A B.0∉A C.A可能仅含有2个元素 D.A所含元素的个数一定是4n(n∈N*) √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 [解析] 若2∈A,则-3∈A,则-∈A,故A正确. 若0∈A,则1∈A,又中分母不能为0,即x≠1,所以0∉A,故B正确. 若x∈A,则∈A,所以=-∈A,所以=∈A,所以=x∈A. 若=x,即x2+1=0,此方程无实数解,所以≠x; 若-=x,即x2=-1,此方程无实数解,所以-≠x; 若=x,即x2=-1,此方程无实数解,所以≠x. 所以若x∈A,则∈A,-∈A,∈A,且x,,-,互不相等. 所以A所含元素的个数一定是4n(n∈N*),非空集合A所含元素最少有4个, 故C错误,D正确.故选ABD. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 16.（15分）已知集合A中有三个元素1,x,y,集合B中有三个元素1,x2,2y, 若A=B,求x,y的值. 解：若x=x2,y=2y,则x=0,y=0或x=1,y=0,不满足集合中元素的互异性; 若x=2y,y=x2,则x=0,y=0(舍去)或x=,y=. 综上,x=,y=. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 $