3.3.1 从函数观点看一元二次方程-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦二次函数零点概念，系统阐释其与一元二次方程根的关系及判别式应用。课堂导入通过回顾一次函数与方程的联系，以表格对比引导学生思考二次函数与方程的关联，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于融合数学抽象、直观想象与逻辑推理，情境导入结合一次函数实例直观呈现联系，新知初探明确零点定义，典例研析分题型总结通性通法，如零点分布问题通过判别式和韦达定理推理求解。学生能循序渐进掌握知识，教师可利用分层练习和即时诊断提升教学效率。

3.3　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 3.3.1　从函数观点看一元二次方程 第三章　不等式 1 课标 要求 1.正确理解二次函数零点的概念（数学抽象）. 2.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及 实根的个数，了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系（直观 想象、逻辑推理）. 3.掌握图象法解一元二次方程（直观想象、数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　 　　函数与方程有着一定的联系，如一次函数y＝ax＋b与一元一次方程 ax＋b＝0之间关系的探究： a＞0 a＜0 一次函数y＝ax＋b的图象 一元一次方程ax＋b＝0的根 有一个实数根 有一个实数根 数学·必修第一册（SJ） 目录 　　通过探究，我们发现一次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应方程 的解. 【问题】　你能否对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象与x轴交点的 横坐标和对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解建立联系？ 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点一　二次函数的零点 　一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根就是二次函数y＝ ax2＋bx＋c（a≠0）当函数值取 时自变量x的值，即二次函数y＝ ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的 ，也称为二次函数y ＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点. 提醒：函数的零点不是点，是函数的图象与x轴交点的横坐标. 零　 横坐标　 数学·必修第一册（SJ） 目录 知识点二　一元二次方程的根、二次函数的图象、二次函数的零点之间的 关系 　当a＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx ＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如表所示： 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 方程ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异的实数根 x1，2＝ 有两个相等的实 数根x1＝x2＝－ 没有实 数根 数学·必修第一册（SJ） 目录 判别式Δ＝b2－ 4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2 ＋bx＋c的图象 二次函数y＝ax2 ＋bx＋c的零点 有两个零点 x1，2 ＝ ⁠ 有一个零点 ⁠ ⁠ 无零点 　 x ＝－ 　 数学·必修第一册（SJ） 目录 提醒：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点⇔一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0（a≠0）的实数根⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与 x轴交点的横坐标. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. （2026·扬州月考）函数y＝－x2－2x＋3的零点为（　　） A. 1 B. －3 C. 1和－3 D. （1，0）和（－3，0） √ 解析： 由－x2－2x＋3＝0，即x2＋2x－3＝0，解得x1＝1，x2＝－3.故 函数y＝－x2－2x＋3的零点为1和－3.故选C. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 〔多选〕以下四个命题正确的是（　　） A. 二次函数的零点是其图象与x轴的交点 B. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）一定有零点 C. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点即为对应方程ax2＋bx＋c＝ 0的根 D. 二次函数y＝4x2－4x＋1有一个零点为 √ √ 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　对于A，零点不是点，是图象与x轴交点的横坐标，故A错 误；对于B，当Δ＝b2－4ac＜0时，没有零点，故B错误；对于C，由二次 函数的零点与方程根的关系，易知C正确；对于D，由Δ＝（－4）2－ 4×4×1＝0，知二次函数y＝4x2－4x＋1有一个零点为x＝－ ＝－ ＝ .故D正确. 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. （2026·南京九中月考）设m为实数，若函数y＝x2－mx＋1有且只有 一个零点，则m的值是 ⁠. 解析：因为函数y＝x2－mx＋1有且只有一个零点，所以Δ＝（－m）2－ 4×1×1＝0，解得m＝±2. 4. 若二次函数y＝x2＋ax＋b的两个零点分别是2和3，则a＋b＝ ⁠. 解析：由题意，2＋3＝－a，2×3＝b，解得 ∴a＋b＝1. ±2　 1 数学·必修第一册（SJ） 目录 典例研析 >> 目录 15 题型一　二次函数的零点 （链接教科书第64页练习3题）（1）二次函数y＝x2－7x＋12的零点 为 ⁠； 解析： 由x2－7x＋12＝0得x1＝3，x2＝4.所以函数y ＝x2－7x＋12的零点为3和4. 3和4　 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）若函数y1＝x2－ax－b的图象如图所示，则函数y2＝bx2－ax－1的零 点是 ⁠. 解析： 由题图可知函数y1＝x2－ax－b的零点是2和 3，由函数的零点与对应方程根的关系知方程x2－ax－b ＝0的两根为2和3，再由根与系数的关系得a＝2＋3＝5， －b＝2×3＝6，即a＝5，b＝－6.所以y2＝－6x2－5x－1，易得y2＝－6x2－5x－1的零点为－ 和－ . － 和－ 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 　　求解二次函数的零点，即转化为求二次函数所对应一元二次方程 的根. 数学·必修第一册（SJ） 目录 求下列函数的零点： （1）y＝3x2－2x－1； 解： 由3x2－2x－1＝0解得x1＝1，x2＝－ ，所以函 数y＝3x2－2x－1的零点为1和－ . 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）y＝ax2－x－a－1（a∈R）； 解： ①当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝ －1，所以函数的零点为－1. ②当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0得（ax－a－1）· （x＋1）＝0，解得x1＝ ，x2＝－1， 当a＝－ 时，x1＝x2＝－1，函数有唯一的零点－1. 当a≠－ 且a≠0时，x1≠x2，函数有两个零点－1和 . 综上：当a＝0或－ 时，函数的零点为－1. 当a≠－ 且a≠0时，函数有两个零点－1和 . 数学·必修第一册（SJ） 目录 （3）y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示. 解： 由图象可知，函数有两个零点－1和3. 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型二　二次函数零点个数的判断与证明 （链接教科书第64页例1）求证：函数y＝－x2－2x＋5有两个零点. 证明：考察一元二次方程－x2－2x＋5＝0， 因为Δ＝（－2）2－4×（－1）×5＝24＞0，所以方程－x2－2x＋5＝0有 两个不相等的实数根， 因此，二次函数y＝－x2－2x＋5有两个零点. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点个数的判断 　　一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2－4ac. （1）Δ＞0⇔函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）有两个零点； （2）Δ＝0⇔函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）有一个零点； （3）Δ＜0⇔函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）无零点. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 若a＞2，则函数y＝（a－2）x2－2（a－2）x－4的零点个数为 （　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 √ 解析： 　考察一元二次方程（a－2）x2－2（a－2）x－4＝0，因为Δ＝4 （a－2）2＋16（a－2）＝4（a－2）·（a＋2），又a＞2，所以Δ＞0， 所以函数y＝（a－2）x2－2（a－2）x－4有两个零点. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 求证：函数y＝ax2－x－a（a∈R）有零点. 证明：当a＝0时，y＝－x，该函数有零点0； 当a≠0时，对于一元二次方程ax2－x－a＝0，Δ＝1＋4a2＞0，函数y＝ ax2－x－a有两个零点. 综上，函数y＝ax2－x－a（a∈R）有零点. 数学·必修第一册（SJ） 目录 题型三　二次函数零点的分布探究 （链接教科书第64页例2）（1）判断二次函数y＝－x2－2x＋1在（－ 3，－2）上是否存在零点； 解： 由－x2－2x＋1＝0得x1＝－1＋ ，x2＝－1－ ，因为－3 ＜－1－ ＜－2，所以二次函数y＝－x2－2x＋1在（－3，－2）上存 在零点. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （2）若二次函数y＝x2－5x＋1－m的两个零点均大于2，求实数m的取值 范围. 解： 设二次函数的两个零点分别为x1，x2， 因为二次函数y＝x2－5x＋1－m的两个零点均大于2， 所以方程x2－5x＋1－m＝0有两个不相等的根且两根均大于2， 则x1－2＞0，x2－2＞0， 所以 即 解得－ ＜m＜－5，所以实数m的取值范围是（－ ，－5）. 数学·必修第一册（SJ） 目录 通性通法 　　由二次函数的零点分布求参数范围问题，一般要结合对应一元二次方 程的根的判别式及根与系数的关系，列出不等式组进行求解；或结合二次 函数图象，得出开口方向、对称轴、判别式及端点函数值符号（此端点指 的是与方程的根比较大小的数），列出不等式组进行求解. 数学·必修第一册（SJ） 目录 已知函数y＝x2－x－a2＋a（a∈R）. （1）若该函数有两个不相等的正零点，求a的取值范围； （1）因为该函数有两个不相等的正零点，所以 解得0＜a＜ 或 ＜a＜1， 所以a的取值范围是 ∪ . 解：由x2－x－a2＋a＝0得x1＝a，x2＝1－a， 数学·必修第一册（SJ） 目录 解：因为函数有两个零点，一个大于1，另一个小于1， 所以 或 解得a＞1或a＜0. 所以a的取值范围是（－∞，0）∪（1，＋∞）. （2）若该函数有两个零点，一个大于1，另一个小于1，求a的取值范围. 数学·必修第一册（SJ） 目录 1. 函数y＝2x2－5x＋2的零点是（　　） A. （2，0），（ ，0） B. （－2，0），（－ ，0） C. 2， D. －2，－ √ 解析： 　由2x2－5x＋2＝0得x1＝2，x2＝ ，故函数y＝2x2－5x＋2的零 点为2， .故选C. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 若函数y＝kx2－x＋1（k≠0）有零点，则k的取值范围是（　　） A. k＞ B. k＜ 且k≠0 C. k≤ 且k≠0 D. k＜ √ 解析： 依题意得Δ＝1－4k≥0，解得k≤ ，又k≠0.故k的取值范围为 k≤ 且k≠0.故选C. 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 已知函数y＝x2－ax－3a的一个零点是－2，则它的另一个零点 是 ⁠. 解析：由题意知，4＋2a－3a＝0，解得a＝4，故方程为x2－4x－12＝0， 解出另一个根为6. 6 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 讨论函数y＝（ax－1）（x－2）（a∈R）的零点. 解：当a＝0时，函数为y＝－x＋2，则函数的零点为2； 当a＝ 时，则 （x－2）＝0， 解得x1＝x2＝2，则函数的零点为2； 当a≠0且a≠ 时， 由（ax－1）（x－2）＝0， 解得x1＝ ，x2＝2， 则函数的零点为 和2. 数学·必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 35 1. （2026·连云港月考）设x1，x2是函数y＝6x2－x－2的两个零点，则 ＋ 的值为（　　） A. 2 B. －2 C. D. － √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析： 　由题意得，x1，x2是方程6x2－x－2＝0的根，则x1＋x2＝ ， x1x2＝－ ， ＋ ＝ ＝－ .故选D. 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 〔一题多解〕函数y＝x2－（a＋1）x＋a的零点个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 0 √ 解析： 　法一　由x2－（a＋1）x＋a＝0得x1＝a，x2＝1，当a＝1时函 数的零点有1个，当a≠1时，函数的零点有2个，所以该函数的零点个数是 1或2.故选C. 法二　Δ＝（a＋1）2－4a＝（a－1）2，当a＝1时，Δ＝0，函数有1个零 点；当a≠1时，Δ＞0，函数有2个零点.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. 函数y1＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点为－2和3，a＜0，那么函数y2＝ cx2－bx＋a的零点为（　　） A. － 和 B. 和－ C. －3和2 D. 无法确定 √ 解析： 　由题意知，－2＋3＝－ ，－2×3＝ ，∴b＝－a，c＝－ 6a，由cx2－bx＋a＝0得－6ax2＋ax＋a＝0，即6x2－x－1＝0，解得x1 ＝－ ，x2＝ ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. 关于x的函数y＝x2－2ax－8a2（a＞0）的两个零点为x1，x2，且x2－ x1＝15，则a＝（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝ 2a，x1x2＝－8a2.由（x2－x1）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（2a）2－4× （－8a2）＝36a2＝152，解得a＝ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 5. 〔多选〕（2026·靖江高中月考）已知函数y＝m2x2＋（m－1）x＋ 1，若该函数恰有一个零点，则实数m的值可以为（　　） A. 0 B. 1 C. －1 D. √ √ √ 解析： 　当m＝0时，函数为y＝－x＋1，恰有一个零点，符合题 意；当m≠0时，函数y＝m2x2＋（m－1）x＋1是二次函数，由Δ＝（m －1）2－4×m2×1＝0，化简得3m2＋2m－1＝0，解得m＝ 或m＝－1.综 上，m＝0或m＝ 或m＝－1.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕对于函数y＝ax2－x－2a，下列说法中正确的是（　　） A. 函数一定有两个零点 B. a＞0时，函数一定有两个零点 C. a＜0时，函数一定有两个零点 D. 函数的零点个数是1或2 √ √ √ 解析： 　当a≠0时，相应方程ax2－x－2a＝0中Δ＝1＋8a2＞0，所以 函数一定有两个零点，故B、C正确.当a＝0时，函数有唯一零点为0，故D 正确，A不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 7. 若函数y＝2x2－3x－7的两个零点为a，b，则a2＋b2＝ ⁠. 解析：因为函数y＝2x2－3x－7，所以由根与系数的关系可知，两个零点 a，b满足a＋b＝ ，ab＝－ ，所以a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝（ ）2 －2×（－ ）＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 8. 设实数m＞0，若函数y＝x2－mx＋2有且只有一个零点，则实数m的值 为 ⁠. 解析：函数y＝x2－mx＋2有且只有一个零点，即一元二次方程x2－mx＋2 ＝0有两个相等的实数根，则Δ＝（－m）2－4×2＝0，又m＞0，解得m＝ 2 ，即实数m的值为2 . 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 9. 函数y＝x2＋x＋m的两个零点都是负数，则m的取值范围为 ⁠ . 解析：因为函数y＝x2＋x＋m的两个零点都是负数，所以 解得0＜m＜ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 10. 〔一题多解〕求证：函数y＝x2－ax－a－2（a∈R）一定有两个零 点. 证明：法一　对于一元二次方程x2－ax－a－2＝0，Δ＝a2＋4a＋8＝（a ＋2）2＋4＞0， 所以函数y＝x2－ax－a－2（a∈R）一定有两个零点. 法二　因为函数y＝x2－ax－a－2（a∈R）的图象为开口向上的抛物线， 无论a为任何实数，当x＝－1时，y＝（－1）2＋a－a－2＝－1，即函数 的图象始终经过点M（－1，－1）. 所以函数y＝x2－ax－a－2（a∈R）一定有两个零点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 11. 函数y＝ax2－2x＋1在区间（－1，1）和区间（1，2）上分别有一个 零点，则实数a的取值范围是（　　） A. （－3，－1） B. （ ，1） C. （－3， ） D. （－∞，－3）∪（ ，＋∞） √ 解析： 　当a＝－2时，y＝－2x2－2x＋1，此时函数有两个零点 ， 不符合题意，排除A、C选项.当a＝1时，y＝x2－2x＋1＝（x－1）2，此 时函数只有一个零点1，不符合题意，排除D选项，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 12. 〔多选〕若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）＝m有实数根 x1，x2，且x1＜x2，则下列结论中正确的是（　　） A. 当m＝0时，x1＝2，x2＝3 B. m＞－ C. 当m＞0时，2＜x1＜x2＜3 D. 当m＞0时，x1＜2＜3＜x2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 解析： 　对于A，m＝0时，方程为（x－2）·（x－3）＝0，解得x1 ＝2，x2＝3，所以A正确；对于B，将方程整理可得x2－5x＋6－m＝0，由 于方程有两个不同的实数根，所以Δ＝25－4（6－m）＞0，解得m＞－ ，所以B正确；对于C和D，当m＞0时，x1，2＝ ，则x2＝ ，又m＞0，所以x2＝ ＞ ＝3，又x1＋x2＝5，所以x1 ＜2.故选项C不符合题意，选项D符合题意.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 13. 已知y＝（x－a）（x－b）－2（a＜b），并且α，β是方程y＝0的 两根（α＜β），则实数a，b，α，β的大小关系是 .（用 “＜”连接） 解析：设y1＝（x－a）（x－b），则a，b是y1＝（x －a）·（x－b）的两个零点，函数y＝（x－a）（x －b）－2的图象可以看成y1＝（x－a）（x－b）的图 象向下平移2个单位长度得到，且a＜b，α＜β，如图所 示.∴α＜a＜b＜β. α＜a＜b＜β 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 14. 若x1，x2是函数y＝x2－2mx＋m2－m－1的两个不同零点，且x1＋x2 ＝1－x1x2，求实数m的值. 解：因为x1，x2是函数y＝x2－2mx＋m2－m－1的两个不同零点， 则x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个不相等的实数根，所以x1 ＋x2＝2m，x1x2＝m2－m－1， Δ＝4m2－4（m2－m－1）＞0，即m＞－1. 因为x1＋x2＝1－x1x2，所以2m＝2－m2＋m， 解得m＝1或m＝－2， 又m＞－1，所以m＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第一册（SJ） 目录 $