第四章 指数与对数 章末整合提升——体系构建·素养培优-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件系统梳理了指数与对数的核心知识，通过体系构建中的知识框架图，将指数函数与对数函数的定义、运算性质、图像及性质串联起来，建立两者内在逻辑联系，帮助学生形成完整知识网络。 其亮点在于“素养培优-真题体验”的分层设计，如指数幂运算例题培养数学思维中的运算能力，高考真题一题多解发展推理意识，既满足基础巩固又实现能力提升，助力教师精准教学，提升复习效率。

章末整合提升——体系构建·素养培优 第四章　指数与对数 1 目 录 CONTENTS 体系构建 素养培优 真题体验 体系构建 >> 目录 3 数学·必修第一册（SJ） 目录 素养培优 >> 目录 5 培优一　根式的化简与求值 根式的化简与求值要使用根式的运算性质： 当n为任意正整数时，（ ）n＝a；当n为奇数时， ＝a；当n为偶 数时， ＝｜a｜＝ 数学·必修第一册（SJ） 目录 计算： （1） ＋ － ＝ 　​ 　； 解析： 原式＝ ＋ － ＝ ＋ － ＝ . （2） ＝ 　－ 　. 解析： 要使原式有意义，须使 成立，所以a＝－1，原 式＝ ＝－ . ​ － 数学·必修第一册（SJ） 目录 反思感悟 根式化简或求值的注意点 　　解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根 式，然后运用根式的性质进行化简或求值. 数学·必修第一册（SJ） 目录 培优二　指数幂的运算 对有理数指数幂的运算性质的三点说明： （1）有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可 以用文字语言叙述为： ①同底数幂相乘，底数不变，指数相加； ②幂的乘方，底数不变，指数相乘； ③积的乘方等于每个因数分别乘方. （2）有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相 减，幂相乘； （3）化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含 有负指数. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （1）化简 （a＞0，b＞0）的结果为（　　） A. B. ab C. D. √ 解析： 　原式＝ ＝ · ＝ab－1.故选A. （2）计算： － －（π－3）0＋3π× . 解：原式＝（22 － －1＋3π× ＝2－ －1＋1＝ . 数学·必修第一册（SJ） 目录 反思感悟 指数幂运算的一般原则 （1）有括号先算括号里的； （2）无括号先做指数运算； （3）负指数幂化为正指数幂的倒数； （4）底数是负数，先确定符号；底数是小数，先要化成分数；底数是带 分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数的运 算性质. 数学·必修第一册（SJ） 目录 培优三　对数的运算 　　对数的运算性质是对数运算的依据，利用对数的运算性质时，要注意 公式成立的前提条件.对数的运算性质，可以把乘、除、乘方运算转化为 加、减、乘的运算，加快计算速度. 数学·必修第一册（SJ） 目录 求下列各式的值： （1）4lg 2＋3lg 5－lg ； 解：原式＝lg（24×53×5）＝lg（24×54）＝lg（2×5）4＝4. （2） ； 解：原式＝ ＝ ＝ . （3）2log32－log3 ＋log38－ ； 解：原式＝2log32－（5log32－2）＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋ 3log32－3＝－1. 数学·必修第一册（SJ） 目录 （4）log5（log3（log2a））＝0，计算3 的值. 解：因为log5（log3（log2a））＝0，所以log3（log2a）＝1，即log2a ＝3，所以a＝23＝8，所以原式＝（62 ＝ ＝a2＝64. 数学·必修第一册（SJ） 目录 反思感悟 对数的运算性质在解题中的两种应用 数学·必修第一册（SJ） 目录 真题体验 >> 目录 16 　　 1. 〔一题多解〕（2020·全国Ⅰ卷文8题）设alog3 4＝2，则4－a＝（　　） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 √ 解析： 　法一　因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4 －a＝ ＝ ，故选B. 数学·必修第一册（SJ） 目录 法二　因为alog34＝2，所以－alog34＝－2，所以log34－a＝－2，所以4－a ＝3－2＝ ＝ ，故选B. 法三　因为alog34＝2，所以 ＝ ＝log43，所以 ＝3，两边同时平方 得 4a＝9，所以4－a＝ ＝ ，故选B. 法四　因为alog34＝2，所以a＝ ＝ ＝log49，所以4－a＝ ＝ ， 故选B. 1 2 3 4 5 6 数学·必修第一册（SJ） 目录 法五　令4－a＝t，两边同时取对数得log34－a＝log3t，即alog34＝－log3t ＝log3 ，因为alog34＝2，所以log3 ＝2，所以 ＝32＝9，所以t＝ ，即4 －a＝ ，故选B. 法六　令4－a＝t，所以－a＝log4t，即a＝－log4t＝log4 .由alog34＝2， 得a＝ ＝ ＝log49，所以log4 ＝log49，所以 ＝9，t＝ ，即4－a ＝ ，故选B. 1 2 3 4 5 6 数学·必修第一册（SJ） 目录 2. 〔一题多解〕（2021·天津高考7题）若2a＝5b＝10，则 ＋ ＝（　　） A. －1 B. lg 7 C. 1 D. log710 √ 解析： 法一　∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴ ＋ ＝ ＋ ＝lg 2＋lg 5＝1. 法二　由题意可得2ab＝10b　①，5ab＝10a　②，①×②可得10ab＝10a＋ b，故ab＝a＋b⇒ ＝ ⇒ ＋ ＝1. 1 2 3 4 5 6 数学·必修第一册（SJ） 目录 3. （2022·浙江高考7题）已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝（　　） A. 25 B. 5 C. D. √ 解析： 　由2a＝5两边取以2为底的对数，得a＝log25.又b＝log83＝ ＝ log23，所以a－3b＝log25－log23＝log2 ＝ ＝2log4 ＝log4 ，所 以4a－3b＝ ＝ ，故选C. 1 2 3 4 5 6 数学·必修第一册（SJ） 目录 4. （2021·全国甲卷4题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况 可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分 记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V. 已知某同学视力的 五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（ ≈1.259）（　　） A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 √ 解析： 4.9＝5＋lg V⇒lg V＝－0.1⇒V＝1 ＝ ≈ ≈0.8， 所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8. 1 2 3 4 5 6 数学·必修第一册（SJ） 目录 5. （2024·北京高考7题）生物丰富度指数d＝ 是河流水质的一个评价 指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富 度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化， 生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（　　） A. 3N2＝2N1 B. 2N2＝3N1 C. ＝ D. ＝ √ 解析： 　由题意，得 ＝2.1， ＝3.15.若S不变，则2.1ln N1＝ 3.15ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以 ＝ . 1 2 3 4 5 6 数学·必修第一册（SJ） 目录 6. （2024·全国甲卷15题）已知a＞1且 － ＝－ ，则a ＝ ⁠. 解析：根据题意有 － ＝－ ，即3loga2－ ＝－ ，设t＝ loga2（a＞1），则t＞0，故3t－ ＝－ ，得t＝ （t＝－1舍去），所 以loga2＝ ，所以 ＝2，所以a＝64. 64 1 2 3 4 5 6 数学·必修第一册（SJ） 目录 $