第三章 培优课 活用基本不等式求最值-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件系统梳理了基本不等式求最值的核心内容，通过配凑法、常数代换法、消元法、换元法等题型分类，结合通性通法提炼解题思路，构建了“题型-方法-应用”的知识网络，清晰呈现各方法间的逻辑联系。 其亮点在于采用“题型精讲-通法总结-分层训练”模式，如跟踪训练从基础题到综合题逐步提升，随堂检测融入多选和解答题，培养学生数学思维与表达能力。这种设计既帮助学生巩固知识，又为教师提供精准复习方案，提升教学效率。

培优课　活用基本不等式求最值 第三章　不等式 1 　　 题型一　配凑法求最值 已知0＜x＜2，则3x（2－x）的最大值是（　　） A. －3 B. 3 C. 1 D. 6 √ 解析： 　因为0＜x＜2，所以0＜2－x＜2，所以3x（2－x）≤3× （ ）2＝3，当且仅当x＝2－x，即x＝1时，等号成立.故选B. 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 配凑法求最值的思路 　　观察已知与所求的结构特点，通过配凑系数，合理地变换新元，将问 题转化为熟悉的模型，将问题明朗化，从而使问题得以解决. 　　配凑法的关键是配凑出和为常数（积有最值），积为常数（和有最 值）的形式，再利用基本不等式求解. 数学·必修第一册（SJ） （2026·宿迁质检）已知x＞0，则2＋3x＋ 的最小值为（　　） A. 4 －1 B. 4 ＋2 C. 4 ＋1 D. 6 √ 解析： 　因为x＞0，所以x＋1＞0， ＞0，所以2＋3x＋ ＝3（x＋ 1）＋ －1≥4 －1，当且仅当3（x＋1）＝ ，即x＝ －1时，等 号成立.所以2＋3x＋ 的最小值为4 －1.故选A. 数学·必修第一册（SJ） 题型二　常数代换法求最值 （1）已知a＞0，b＞0，a＋4b＝ab，则a＋4b的最小值为 （　　） A. 36 B. 25 C. 16 D. 9 （2）a＞0，b＞0，且a＋2b＝1，不等式 ＋ －m≥0恒成立，则实 数m的取值范围为 　　　　. 数学·必修第一册（SJ） 破题思维 题目信息 信息读取 a＋2b＝1，不等式 ＋ －m≥0 看到条件中的a＋2b＝1和式子 ＋ 的分母中出现a＋b，联想到将条件a＋2b ＝1变形为（a＋b）＋b＝1，借助常值代 换法求最值 不等式 ＋ －m≥0恒 成立 联想到m≤ ＋ 恒成立，即m≤（ ＋ ）min 数学·必修第一册（SJ） 答案：（1）C　（2）{m｜m≤ ＋ } 解析：（1）由a＋4b＝ab两边同除以ab得 ＋ ＝1，所以a＋4b＝（a ＋4b）· ＝8＋ ＋ ≥8＋2 ＝16，当且仅当 ＝ ， a＝4b＝8时等号成立，所以a＋4b的最小值为16.故选C. 数学·必修第一册（SJ） （2）因为a＋2b＝1，所以 ＋ ＝（ ＋ ）·[（a＋b）＋b] ＝ ＋ ＋1＋ ＝ ＋ ＋ ≥ ＋2 ＝ ＋2 ＝ ＋ ，当且仅当 ＝ ，即a＝（ －1）b时，等号成立，因 为不等式 ＋ －m≥0恒成立，所以m≤（ ＋ ）min，所以 m≤ ＋ . 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 常数代换法的关注点 （1）题目原型：条件式可化为ax＋by＝1（或 ＋ ＝1）的形式，求 ＋ （或ax＋by）的最小值； （2）求解原理：（ax＋by）（ ＋ ）＝ac＋bd＋ ＋ ≥（ ＋ ）2. 数学·必修第一册（SJ） 1. （2026·南京一中月考）已知正实数a，b满足a＋2b＝1，则 ＋ 的 最小值为（　　） A. 1＋2 B. 1＋ C. 4 D. 2 √ 解析： 　因为正实数a，b满足a＋2b＝1，所以 ＋ ＝ ＋ ＝1＋ ＋ ≥1＋2 ＝1＋2 ，当且仅当a＝ b＝ －1时，等号成 立.故选A. 数学·必修第一册（SJ） 2. 已知a＞0，b＞0， ＋ ＝2，则a＋b的最小值为（　　） A. B. C. 3－2 D. 3＋2 √ 解析： 　因为a＞0，b＞0，且 ＋ ＝2，所以a＋b＝ （ ＋ ）（a ＋b）＝ （3＋ ＋ ）≥ （3＋2 ）＝ ，当且仅当b＝ a，即a＝ ，b＝ 时，a＋b有最小值 .故选B. 数学·必修第一册（SJ） 题型三　消元法求最值 已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值. 解：由x＋2y＋2xy＝8，可得y＝ ， 因为x＞0，y＞0，所以0＜x＜8. 所以x＋2y＝x＋ ＝x＋ ＝x＋ －1＝x＋1＋ －2≥2 －2 ＝4， 当且仅当x＋1＝ ，即x＝2时等号成立. 所以x＋2y的最小值为4. 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 消元法求最值的思路 　　对含有多个变量的最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝 试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个变量，再代入代数式中 转化为只含有一个变量的最值问题. 数学·必修第一册（SJ） 　已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值 为 ⁠. ​ 解析：由2a＋b＝ab－1，得a＝ ，因为a＞0，b＞0，所以a＝ ＞ 0，b＋1＞0，所以b＞2，所以a＋2b＝ ＋2b＝ ＋2（b－ 2）＋4＝2（b－2）＋ ＋5≥2 ＋5＝5＋2 ，当且 仅当2（b－2）＝ ，即b＝2＋ 时等号成立.所以a＋2b的最小值为5 ＋2 . 数学·必修第一册（SJ） 题型四　换元法求最值 已知x＞1，则 的最大值为 　​ 　. 解析：令x－1＝t，则x＝t＋1，t＞0，则 ＝ ＝ ＝ .∵t＋ ≥2 ，当且仅当t＝ 时，“＝”成立，∴ ≤ ＝ ，∴ 的最大值为 . ​ 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 换元法求最值的思路 　　观察已知与所求的结构特点，通过将复杂的表达式或方程中某一部分 用一个新的变量（元）来代替，从而简化原问题，使其更容易求解. 数学·必修第一册（SJ） 　若a＞0，b＞0，且 ＋ ＝1，则a＋2b的最小值为 　 ＋ 　. ＋ 解析：设 则 所以 ＋ ＝1，因为a＋2b＝ ＋2y－2＝ ，又因为x＋3y＝（x＋3y）（ ＋ ）＝1＋ ＋ ＋3≥2 ＋4＝4＋2 ，当且仅当 时等号成立，所以 a＋2b≥ ＝ ＝ ＋ . 数学·必修第一册（SJ） 1. 若x＞0，y＞0，且x＋y＝xy，则2x＋y的最小值为（　　） A. 2＋2 B. 5 C. 3＋2 D. 6 √ 解析： 　由x＋y＝xy得， ＋ ＝1，则2x＋y＝（2x＋y） ＝3 ＋ ＋ ≥3＋2 ＝3＋2 .当且仅当 ＝ ，即y＝ x＝ ＋1 时取等号.故2x＋y的最小值为3＋2 .故选C. 数学·必修第一册（SJ） 2. 〔多选〕（2026·东海期中）设a，b为正数，且ab＝1，x＝a＋b， y＝ ＋ ，则下列选项中正确的是（　　） A. x的最小值为2 B. y的最小值为2 C. xy的最小值为9 D. x＋y的最小值为6 √ √ 数学·必修第一册（SJ） 解析： 　因为a，b为正数，且ab＝1，对于A，x＝a＋b≥2 ＝ 2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故A正确；对于B，y＝ ＋ ≥2 ＝4，当且仅当b＝4a，即a＝ ，b＝2时，等号成立，故B错 误；对于C，xy＝（a＋b）·（ ＋ ）＝5＋ ＋ ≥5＋2 ＝9， 当且仅当b＝2a，即a＝ ，b＝ 时，等号成立，故C正确；对于D，x ＋y＝a＋b＋ ＋ ＝a＋b＋b＋4a＝5a＋2b≥2 ＝2 ，当 且仅当2b＝5a，即a＝ ，b＝ 时，等号成立，故D错误.故选A、C. 数学·必修第一册（SJ） 3. 已知x≥0，y≥0，且2x＋y＝1，则 ＋ 的最小值为 　​ 　. 解析：由2x＋y＝1，x≥0，y≥0，可得（2x＋1）＋（y＋2）＝4，且 2x＋1＞0，y＋2＞0.则 ＋ ＝ （ ＋ ）[（2x＋1）＋（y ＋2）]＝ ［1＋4＋ ＋ ］，由基本不等式，得 ＋ ≥2 ＝4，故 ＋ ≥ ×（5＋4）＝ ， 当且仅当 ＝ 且2x＋y＝1，即x＝ ，y＝ 时，等号成立. 故 ＋ 的最小值为 . ​ 数学·必修第一册（SJ） 课时作业 >> 22 　　 1. 已知a＞0，b＞0， ＋ ＝ ，则2a＋b的最小值为（　　） A. 24 B. 30 C. 45 D. 54 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 解析： 　由已知，可得6（ ＋ ）＝1，∴2a＋b＝6（ ＋ ）（2a＋ b）＝6（5＋ ＋ ）≥6×（5＋4）＝54，当且仅当 ＝ ，即a＝b＝ 18时，等号成立.故选D. 数学·必修第一册（SJ） 2. 若正数x，y满足x2＋xy－2＝0，则3x＋y的最小值是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 √ 解析： 　因为x2＋xy－2＝0，所以y＝ ＝ －x，所以3x＋y＝3x＋ －x＝2x＋ ≥4，当且仅当x＝1时，等号成立.所以3x＋y的最小值是4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（SJ） 3. 已知a＞0，b＞0，则 的最小值为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 √ 解析： 　a＞0，b＞0，则a＋ ≥2，当且仅当a＝1时取等号，b＋ ≥2，当且仅当b＝1取等号，所以 ≥4，当且仅当a＝b＝1 时取等号，则 的最小值为4.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（SJ） 4. （2026·盐城质检）已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，则xy（　　） A. 有最大值为1 B. 有最小值为1 C. 有最大值为 D. 有最小值为 √ 解析： 　∵x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，∴xy＝ x·2y≤ ×（ ）2 ＝ ，当且仅当x＝2y＝1，即x＝1，y＝ 时，等号成立，故xy的最大值 是 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（SJ） 5. 已知x，y为正实数，则 ＋ 的最小值为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 √ 解析： 　 ＋ ＝ ＋ ，设 ＝t（t＞0），则t＋ ＝t＋2＋ －2≥2 －2＝8－2＝6，当且仅当t＝2，即y＝2x时取等 号.所以 ＋ 的最小值为6.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（SJ） 6. 〔多选〕（2026·宜兴期中）已知x＞0，y＞0，2x＋y＝1，则 （　　） A. xy的最大值为 B. x2＋y2的最小值为 C. ＋ 的最大值为1 D. ＋ 的最小值为4 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（SJ） 解析： 　对于A，xy＝ ·2x·y≤ · ＝ × ＝ ，当且 仅当2x＝y，即x＝ ，y＝ 时，等号成立，故xy的最大值为 ，故A正 确；对于B，由2x＋y＝1，则y＝1－2x，则0＜y＜1，x2＋y2＝x2＋（1－ 2x）2＝5x2－4x＋1＝5（x－ ）2＋ ≥ ，故x2＋y2的最小值为 ，当且 仅当x＝ 时，等号成立，故B正确；对于C，（ ＋ ）2＝2x＋y＋ 2 ≤1＋2x＋y＝2，当且仅当2x＝y，即x＝ ，y＝ 时，等号成 立，故 ＋ ≤ ，故C错误；对于D， ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋2≥2 ＋2＝4，当且仅当 ＝ ，即x＝y＝ 时，等号成立，故 ＋ 的最小值为4，故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（SJ） 7. 若x，y为正数，则（x＋ ）2＋（y＋ ）2的最小值为 ⁠. 解析：（x＋ ）2＋（y＋ ）2＝（x2＋ ）＋（y2＋ ）＋（ ＋ ）≥2 ＋2 ＋2 ＝4，当且仅当x2＝ ，y2＝ 且 ＝ ，即x＝y＝ 时，等号成立，此时原式取得最小值4. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（SJ） 解析：由题意得， ≤ ，由x＞1，得x－1＞0， ＞0， x＋ ＝（x－1）＋ ＋1≥2 ＋1＝5，当且仅当x－1 ＝ ，即x＝3时，等号成立，∵ ≤x＋ 恒成立，∴ ≤5， ∴ ≥0，∴m＞0或m≤－ .故实数m的取值范围是 ∪ （0，＋∞）. 8. 若当x＞1时，不等式 ≤x＋ 恒成立，则实数m的取值范围 是 ⁠. （－∞，－ ］∪（0，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（SJ） 9. 已知a＞0，b＞0，若a＋3b＝1，求a2＋9b2＋7ab的最大值. 解：∵a＞0，b＞0，a＋3b＝1， ∴a2＋9b2＋7ab＝（a＋3b）2＋ab＝1＋ ·a·3b， ∵a·3b≤ ＝ ，当且仅当a＝3b，即a＝ ，b＝ 时，等号成 立， ∴a2＋9b2＋7ab≤1＋ × ＝ ， ∴a2＋9b2＋7ab的最大值是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（SJ） 10. 已知x＞0，y＞0，且x＋y＝2，求 的最小值. 解：因为x＋y＝2， 所以 ＝ ＝ ＝ （ ＋ ）. 因为 ＋ ＝ （x＋y）（ ＋ ）＝ （10＋ ＋ ）≥ （10＋ 2 ）＝8，当且仅当 ＝ ，即x＝ ，y＝ 时，等号成立， 所以 （ ＋ ）≥4，即 ≥4，故 的最小值是4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·必修第一册（SJ） $