25.2.2 公式法 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦公式法解一元二次方程，涵盖求根公式推导、根的判别式及解题步骤。通过复习配方法步骤，为求根公式推导搭建知识支架，衔接前后内容。 此资料亮点在于引导学生经历求根公式推导的探究过程，通过分类讨论根的判别式（Δ>0、Δ=0、Δ<0）培养推理能力，例题与检测规范步骤提升应用意识。采用探究法与合作交流，助学生构建知识体系，提升解题熟练度，也为教师提供清晰教学流程。

25.2.2 公式法 教学设计 课题 25.2.2 公式法 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 1课时 课型 新授课 教学目标 1.理解求根公式的推导过程，掌握公式法的概念，能利用判别式判断一元二次方程根的情况，熟练运用求根公式求一元二次方程的根； 2.经历探索求根公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力和渗透分类讨论。 教学重点 求根公式的推导过程。 教学难点 熟练运用公式法解一元二次方程。 教学方法 讲授法、探究法、合作交流、练习巩固 教学准备 多媒体课件 课后练习 完成课本第25.2.2节随堂练习及课后巩固练习 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、复习回顾 教师提问：说一说用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 1.移项，将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边； 2.二次项系数化为1，方程左、右两边同时除以二次项系数； 3.配方，方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； 4.降次，利用平方根的意义降次； 5.解两个一元一次方程，移项、合并同类项。 也可给出两道具体例题，让学生通过配方法求解，在一起回顾解题步骤。 口述配方法解一元二次方程的一般步骤：移项→二次项系数化为1→配方→降次→解两个一元一次方程；可随例题用配方法求解以回顾五步流程 通过循序渐进的方法，复习配方关键过程，为求根公式的推导作铺垫，可以更有效地突出本节的教学重点。 二、探究新知 探究1 求根 公式推导 探究1：公式法。 教师提问：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式，能否也用配方法得出它的解呢？ 解：用配方法推导求根公式： ①移项，得 ②二次项系数化为1，得 ③配方，加 ，得 ④即 提问：此时我们直接开平方去解方程，应注意什么？ 答：注意 b²−4ac 的非负性。 因为 a≠0，所以 4a²>0。式子 b²−4ac 的值有以下三种情况： （1）当 时，，由①得 ，方程有两个不相等的实数根。 （2）当 时，，由①可知，方程有两个相等的实数根。 （3）当 时，，由①可知，而 x 取任何实数都不能使 成立，因此方程无实数根。 概念：当 b²−4ac≥0 时，方程 ax²+bx+c=0(a≠0) 的实数根可写为： 这个式子叫作一元二次方程 ax²+bx+c=0 的求根公式。 公式法：解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法。 跟随推导：由 移项 ，化二次项系数为1 ，配方加 得 ；讨论 的正负零，归纳出求根公式 ，理解公式法概念 让学生探究用配方法解一元二次方程一般形式 的过程，经历对 三类情况的分类讨论，理解求根公式 的推导过程，从而理解公式法的由来。 三、探究新知 探究2 根的 判别式 探究2：根的判别式。 提问：上述对式子 b²−4ac 的值及方程的根的情况的讨论，你有什么发现？ 解：方程的根的情况由 b²−4ac 决定。 概念：式子 b²−4ac 可以判别一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0) 的根的情况，因此把它叫作一元二次方程的根的判别式，用“Δ”表示，即： 归纳总结： （1）当 时，方程有两个不相等的实数根； （2）当 时，方程有两个相等的实数根； （3）当 时，方程无实数根； （4）当 时，方程有两个实数根。 观察讨论发现根的情况由 决定，归纳判别式 ： 两个不等实根、 两个相等实根、 无实根、 有两个实数根 由求根公式推导中对 b²−4ac 的分类讨论，抽象出根的判别式的概念，梳理其与根的情况的对应关系，加深对根的判别式作用的理解。 四、典型例题 例3 用公式法 解一元二次方程 例3（教材P11）。学生独立完成解题过程，教师点评，规范格式。 教师用课件展示例题答案。 归纳总结：用公式法解一元二次方程的一般步骤： （1）将一元二次方程化为一般形式； 【小技巧】若系数是分数通常将其化为整数，方便计算。 （2）确定 a、b、c 的值； （3）求出 的值； （4）若 ，则利用求根公式求解；若 ，则方程无实数根。 独立完成例3用公式法解方程的解题过程，按“化一般形式→定 a、b、c →求 →代求根公式”四步书写，集体评议、订正格式 通过例题讲解，强化学生对公式法解方程的练习，起到巩固的作用，同时发现学生做题中的错误并及时纠正，对学生做题中出现的问题展开辨析，有利于学生思维的发展。 五、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知。 检测围绕求根公式的应用、根的判别式判断根的情况、公式法步骤的完整性展开。 独立完成用公式法解一元二次方程、利用根的判别式判断根的情况的当堂练习，完整书写“化一般式→定a、b、c→求Δ→代公式”步骤，集体评议订正 当堂检验学生对公式法与根的判别式的掌握情况，反馈矫正，巩固公式法解题的规范与熟练度。 六、课堂小结 提问：今天我们学习了哪些知识？ 1.求根公式： 2.公式法解一元二次方程的步骤：化一般式→确定 a、b、c→求 b²−4ac→代入求根公式求解。 3.根的判别式与根的情况的关系：Δ>0 两个不等实根；Δ=0 两个相等实根；Δ<0 无实数根。 回顾求根公式 的形式与条件（），公式法解一元二次方程的“化一般式→定 a、b、c→求 →代入求根公式”四步，以及根的情况与 的对应关系，畅谈公式法解方程的体会 梳理求根公式、公式法步骤与根的判别式的关系，帮助学生建构用公式法解一元二次方程的完整认知，强化分类讨论意识。 板书设计 25.2.2 公式法 一、求根公式 二、根的判别式 Δ=b²−4ac Δ>0 不等实根；Δ=0 相等实根 Δ<0 无实根；Δ≥0 两个实数根 三、公式法四步 化一般式→定a,b,c→求Δ→代公式 板演：公式法解一元二次方程 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $